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Plongement de l^inf dans L^inf



  1. #1
    Stephen

    Plongement de l^inf dans L^inf

    Bonjour,

    Est-ce qu'il existe un plongement isométrique de dans ? Pour les normes du sup bien sûr.

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Stephen

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    En fait je n'ai peut-être pas besoin de ça. Est-ce que est le dual topologique d'un espace métrique séparable ?

  4. #3
    BS

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Tu parles de L^infini([0,1]) par exemple ?
    A mon avis oui c'est possible, on choisit par exemple une suite dénombrable infini d'intervalles ouverts non vides de [0,1] deux à deux disjoints. On l'indexe par IN et on considère l'application qui à une suite u_n associe la fonction valant u_n sur le n-ième intervalle et ce pour tout n.

  5. #4
    BS

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Citation Envoyé par Stephen
    En fait je n'ai peut-être pas besoin de ça. Est-ce que est le dual topologique d'un espace métrique séparable ?
    Oui c'est aussi le dual de l^1 qui est séparable.

  6. #5
    Stephen

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Je n'ai volontairement pas fixé les conditions sur l'espace de départ Merci pour tes deux réponses. Pour la première, il faudrait que je trouve dans quelles conditions un tel découpage de l'espace est possible, en faisant en sorte que soit Lebesgue-négligeable. Bon, dans R ça marche et ça me suffit

    La deuxième réponse est parfaite également, merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Salut,

    pour complétion, je cite ce théorème de représentation:
    Citation Envoyé par Analyse fonctionnelle, H. Brézis, Dunod, p.63
    Soit . Alors il existe unique tel que
    On a de plus
    (On a donc bien une isométrie)

    A noter aussi que si est le dual de , le dual de contient strictement , i.e n'est pas réflexif.
    Dernière modification par martini_bird ; 07/02/2005 à 08h16.

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  10. #7
    Stephen

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Merci Martini, mais je cherchais un tel théorème pour en fait

  11. #8
    BS

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    C'est un cas particulier, ce qu'on note l^infini c'est L^infini(IN) où IN est muni de la mesure discrète invariante par translation habituelle.

  12. #9
    Stephen

    Re : Plongement de l^inf dans L^inf

    Une mesure de Haar ? C'est pas un groupe topologique :/ Mais OK pour ton explication

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