Plongement de l^inf dans L^inf

[invite51f4efbf]

Bonjour,

Est-ce qu'il existe un plongement isométrique de dans ? Pour les normes du sup bien sûr.

Merci d'avance
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[invite51f4efbf]

En fait je n'ai peut-être pas besoin de ça. Est-ce que est le dual topologique d'un espace métrique séparable ?

[invite8f53295a]

Tu parles de L^infini([0,1]) par exemple ?
A mon avis oui c'est possible, on choisit par exemple une suite dénombrable infini d'intervalles ouverts non vides de [0,1] deux à deux disjoints. On l'indexe par IN et on considère l'application qui à une suite u_n associe la fonction valant u_n sur le n-ième intervalle et ce pour tout n.

[invite8f53295a]

En fait je n'ai peut-être pas besoin de ça. Est-ce que est le dual topologique d'un espace métrique séparable ?

Oui c'est aussi le dual de l^1 qui est séparable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Je n'ai volontairement pas fixé les conditions sur l'espace de départ Merci pour tes deux réponses. Pour la première, il faudrait que je trouve dans quelles conditions un tel découpage de l'espace est possible, en faisant en sorte que soit Lebesgue-négligeable. Bon, dans R ça marche et ça me suffit

La deuxième réponse est parfaite également, merci

[invite4793db90]

Salut,

pour complétion, je cite ce théorème de représentation:

Soit . Alors il existe unique tel que

On a de plus

(On a donc bien une isométrie)

A noter aussi que si est le dual de , le dual de contient strictement , i.e n'est pas réflexif.

[invite51f4efbf]

Merci Martini, mais je cherchais un tel théorème pour en fait

[invite8f53295a]

C'est un cas particulier, ce qu'on note l^infini c'est L^infini(IN) où IN est muni de la mesure discrète invariante par translation habituelle.

[invite51f4efbf]

Une mesure de Haar ? C'est pas un groupe topologique :/ Mais OK pour ton explication