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Nombres premiers, diviseurs et modulo



  1. #1
    azilien

    Nombres premiers, diviseurs et modulo


    ------

    Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant (niveau math sup) que je dois impérativement résoudre. Pouvez vous m'aider ? merci

    Soit p un nombre premier. Supposons qu'il existe un entier x tel que p/x*x+1
    Montrer que p=1[4]. Que peut-on dire de la réciproque ?

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Salut et bienvenue,

    un indice: dans Z/4Z, x²+1 vaut 1 ou 2 et comme p divise x²+1...

    Cordialement.

  4. #3
    adrislas

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    erf... je fais math spé moi aussi, et je suis censé être capable de faire ça normalement. Je n'ai pas bien compris l'indice en plus

  5. #4
    shokin

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    a C b mod c <=> (a-b)/c=d avec d entier.

    a est congruent à b modulo c si et seulement si la différence entre a et b est un multiple de c.

    Par exemple modulo 4, il existe 4 classes :

    la classe 0 : 0, 4, 8, 12, ...
    la classe 1 : 1, 5, 9, 13, ...
    la classe 2 : 2, 6, 10, 14, ...
    la classe 3 : 3, 7, 11, 15, ...

    par exemple 1 C 9 mod 4 car 9-1=8 et 8 est multiple de 4.



    L'indice :

    Soit x un multiple de 4.

    x est dans la classe 0 modulo 4.
    x+1 est dans la classe 1 modulo 4.
    x+2 est dans la classe 2 modulo 4.
    x+3 est dans la classe 3 modulo 4.

    J'élève alors ces 4 nombres au carré.

    x^2, qui est multiple de 4 car x est multiple de 4, donc dans la classe 0, congruent à x.
    (x+1)^2=x^2+2x+1 C 1 C x+1 mod 4, donc dans la classe 1.
    (x+2)^2=x^2+4x+4 C 4 C x+4 C x mod 4, donc dans la classe 0.
    (x+3)^2=x^2+6x+9 C 9 C 1 C x+1, donc dans la classe 1.

    Donc les carrés d'entiers se situent tous soit dans la classe 0, soit dans la classe 1 (selon pair ou impair).



    Soit p un nombre premier (nombre entier positif à exactement deux diviseurs entiers positifs).

    Hypothèse : il existe un x tel que p soit multiple de x^2+1.

    p est multiple de 1 et de p uniquement !

    Donc x^2+1 est égal soit à 1 soit à p.

    Si x^2+1=1, x^2=0. Ce qui n'est pas possible car seul 0 est multiple de 0, or 0 n'est pas un nombre premier, donc 0 ne peut pas être égal à p.

    Donc x^2+1=p.

    Nous avons vu que x^2 est soit dans la classe 1 soit dans la classe 0.

    Si x^2 est dans la classe 1 (x impair), x^2+1 est dans la classe 2, p également. Mais alors comme parmi les nombres premiers seul 2 est dans la classe 2, x^2+1=2 et x=1 (ou x=-1). Ce qui contredit ce que nous cherchons à démontrer.

    Si x^2 est dans la classe 0, x^2+1 est dans la classe 1, p également ! ce qui démontre ce que nous cherchons à démontrer.

    Pourtant tout nombre premier est multiple de 1, donc est multiple de x^2+1 avec x=0. Et tout nombre premier n'est pas forcément dans la classe 1.

    Vous me dites tout de suite si je suis à côté de la plaque...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. #5
    adrislas

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Citation Envoyé par shokin
    Hypothèse : il existe un x tel que p soit multiple de x^2+1.
    Non ! p est diviseur de x²+1

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    azilien

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Je ne comprends pas pourquoi p=x*x+1 ... à mon avis ce résultat est faux.

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  10. #7
    shokin

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Citation Envoyé par adrislas
    Non ! p est diviseur de x²+1
    Ah ! j'ai compris l'inverse...

    Alors l'hypothèe est qu'il existe un x tel que x^2+1 soit multiple de p ?

    Démontrer que p C 1 mod 4.

    Mais alors x^2+1 est soit dans la classe 1 soit dans la classe 2.

    Soit p=2 un nombre premier.

    ...

    Heu... soit x=5 x^2+1=26, 26 est multiple de 2 qui n'est pas dans la classe 1. ça est également un contre-exemple.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  11. #8
    azilien

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    il semblerait que l'hypothèse ait une faille, il faut ajouter p est impair!

  12. #9
    shokin

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Soit p un nombre premier impair.

    Hypothèse : il existe un x tel que p soit diviseur de x^2+1.

    ...

    je ne vois pas a priori de contre-exemple, nous sommes sur la bonne voie.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    BS

    Re : Nombres premiers, diviseurs et modulo

    Moi j'essaierais d'élever x^2 à la puissance (p-1)/2 dans Z/pZ... (donc p doit être impair)

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