Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant (niveau math sup) que je dois impérativement résoudre. Pouvez vous m'aider ? merci
Soit p un nombre premier. Supposons qu'il existe un entier x tel que p/x*x+1
Montrer que p=1[4]. Que peut-on dire de la réciproque ?
Salut et bienvenue,
un indice: dans Z/4Z, x²+1 vaut 1 ou 2 et comme p divise x²+1...
Cordialement.
erf... je fais math spé moi aussi, et je suis censé être capable de faire ça normalement. Je n'ai pas bien compris l'indice en plus
a C b mod c <=> (a-b)/c=d avec d entier.
a est congruent à b modulo c si et seulement si la différence entre a et b est un multiple de c.
Par exemple modulo 4, il existe 4 classes :
la classe 0 : 0, 4, 8, 12, ...
la classe 1 : 1, 5, 9, 13, ...
la classe 2 : 2, 6, 10, 14, ...
la classe 3 : 3, 7, 11, 15, ...
par exemple 1 C 9 mod 4 car 9-1=8 et 8 est multiple de 4.
L'indice :
Soit x un multiple de 4.
x est dans la classe 0 modulo 4.
x+1 est dans la classe 1 modulo 4.
x+2 est dans la classe 2 modulo 4.
x+3 est dans la classe 3 modulo 4.
J'élève alors ces 4 nombres au carré.
x^2, qui est multiple de 4 car x est multiple de 4, donc dans la classe 0, congruent à x.
(x+1)^2=x^2+2x+1 C 1 C x+1 mod 4, donc dans la classe 1.
(x+2)^2=x^2+4x+4 C 4 C x+4 C x mod 4, donc dans la classe 0.
(x+3)^2=x^2+6x+9 C 9 C 1 C x+1, donc dans la classe 1.
Donc les carrés d'entiers se situent tous soit dans la classe 0, soit dans la classe 1 (selon pair ou impair).
Soit p un nombre premier (nombre entier positif à exactement deux diviseurs entiers positifs).
Hypothèse : il existe un x tel que p soit multiple de x^2+1.
p est multiple de 1 et de p uniquement !
Donc x^2+1 est égal soit à 1 soit à p.
Si x^2+1=1, x^2=0. Ce qui n'est pas possible car seul 0 est multiple de 0, or 0 n'est pas un nombre premier, donc 0 ne peut pas être égal à p.
Donc x^2+1=p.
Nous avons vu que x^2 est soit dans la classe 1 soit dans la classe 0.
Si x^2 est dans la classe 1 (x impair), x^2+1 est dans la classe 2, p également. Mais alors comme parmi les nombres premiers seul 2 est dans la classe 2, x^2+1=2 et x=1 (ou x=-1). Ce qui contredit ce que nous cherchons à démontrer.
Si x^2 est dans la classe 0, x^2+1 est dans la classe 1, p également ! ce qui démontre ce que nous cherchons à démontrer.
Pourtant tout nombre premier est multiple de 1, donc est multiple de x^2+1 avec x=0. Et tout nombre premier n'est pas forcément dans la classe 1.
Vous me dites tout de suite si je suis à côté de la plaque...
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Non ! p est diviseur de x²+1Envoyé par shokin
Je ne comprends pas pourquoi p=x*x+1 ... à mon avis ce résultat est faux.
Ah !j'ai compris l'inverse...
Alors l'hypothèe est qu'il existe un x tel que x^2+1 soit multiple de p ?
Démontrer que p C 1 mod 4.
Mais alors x^2+1 est soit dans la classe 1 soit dans la classe 2.
Soit p=2 un nombre premier.
...
Heu... soit x=5 x^2+1=26, 26 est multiple de 2 qui n'est pas dans la classe 1. ça est également un contre-exemple.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
il semblerait que l'hypothèse ait une faille, il faut ajouter p est impair!
Soit p un nombre premier impair.
Hypothèse : il existe un x tel que p soit diviseur de x^2+1.
...
je ne vois pas a priori de contre-exemple, nous sommes sur la bonne voie.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Moi j'essaierais d'élever x^2 à la puissance (p-1)/2 dans Z/pZ... (donc p doit être impair)
