Nombres Premiers

[invited6f327c1]

Salut a tous, voila j'me fais une p'tite série d'exos dans le but de réviser, mais y'a 4 exos où je blok (et n'ayant pas de correction je viens vous demander un peu d'aide ).



1°)Déterminer le reste de la division par 3 de 2^n, n étant un entier naturel. En déterminer le reste de la division par 3 de 2^14607.

2°)Quels sont les diviseurs du carré d'un nombre premier p.
Quels sont les entiers qui n'admettent qu'un seul diviseur, autre que 1 et lui-même?

3°)Soit n = (2^a)(3^b) où a et b sont des naturels.
a/Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
b/Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.

4°)Montrer que si n est premier, alors n + 7 n'est pas premier.


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Pour l'ex 1, je ne vois pas par où commencer, je tourne en rond en fait, puisque je reste sur : 2^n est congru à x modulo 3, donc x = -3k + 2^n, mais ça ne m'aide pas en fait...

L'ex 2, je sais que les diviseurs du carré de p sont : 1, p, racine(p), mais pour les entiers (question b) je ne vois pas.

L'ex 3, je sais que n possède (a+1)(b+1) diviseurs.
Donc 12n possèdent 2(a+1)(b+1) diviseurs, mais comment trouver a et b? je ne vois pas vraiment..

Et pour l'ex 4, je ne vois pas quel démonstration utiliser pour montrer que n + 7 n'est pas premier.
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[invite90ff40af]

Pour la question 4) tu peux dire que si n est premier il est impaire or si on ajoute 7 qui est lui aussi un nombre impaire on obtient donc un nombre paire

[invite90ff40af]

Et pour la question 2b) j'ai réfléchit et les nombres qui n'admettent qu'un seul diviseur autre que 1 et lui même sont tous les nombres carrés

Par exemple 4 -> qui est le carré de 2 (divisible que par 2)
9 -> carré de 3 (divisible que par 3)
16 -> carré de 4 (divisible que par 4)
25-> carré de 5 (divisible que par 5)....

(jpense que c'est sa après tu formules à ta façon

[invitee6ea268a]

Heu 16 est divisible par 4, c'est vrai mais aussi par 2 et 8...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite90ff40af]

ah oui désolé je me suis trompée!!! mais la réponse c'est les nombres premiers au carrée c'est parce que 4 n'est pas un nombre premier (désolé)

mais tu peux essayé avec 29 qui est un nombre premier 29²=841
841 n'est divisible que par 29

11²=121
121 n'est divisible que par 11

VOilà désolée pour l'erreur mais là normalement c'est sa tu peux essayé n'importe quel nombre premier son carré sera seulement divisible par ce nombre

[invited6f327c1]

D'acc merci pour les exos 2 et 4, reste plus que le 1 et le 3 ou je blok toujours :

1°)Déterminer le reste de la division par 3 de 2^n, n étant un entier naturel. En déterminer le reste de la division par 3 de 2^14607.

3°)Soit n = (2^a)(3^b) où a et b sont des naturels.
a/Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
b/Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.

[danyvio]

Pour la question 4) tu peux dire que si n est premier il est impaire or si on ajoute 7 qui est lui aussi un nombre impaire on obtient donc un nombre paire

Sauf si n=2 car 2 est pair ET premier ...

[invite2220c077]

"1°)Déterminer le reste de la division par 3 de 2^n, n étant un entier naturel. En déterminer le reste de la division par 3 de 2^14607."

2 = -1[3] donc 2^n = -1^n[3].

En d'autres termes, lorsque n est pair, 2^n est congru à 1 mod 3, et -1 lorsque n est impair puisque 14607 est impair, alors le reste est 4 (-1 = 4[3] d'où 2^14607 = 4[3] par transitivité, tu ne peux pas dire -1 car par définition, un reste est positif).

[invited6f327c1]

"1°)Déterminer le reste de la division par 3 de 2^n, n étant un entier naturel. En déterminer le reste de la division par 3 de 2^14607."

2 = -1[3] donc 2^n = -1^n[3].

En d'autres termes, lorsque n est pair, 2^n est congru à 1 mod 3, et -1 lorsque n est impair puisque 14607 est impair, alors le reste est 4 (-1 = 4[3] d'où 2^14607 = 4[3] par transitivité, tu ne peux pas dire -1 car par définition, un reste est positif).

D'acc, donc du coup r = 1 ? ( r est le reste de 4 par 3) ?

[invited6f327c1]

D'acc, donc du coup r = 1 ? ( r est le reste de 4 par 3) ?

EDIT :

Je viens de m'apercevoir qu'il y a un truc qui cloche, pourquoi 2^14607 = 4 [3]?.

On a dit que 2^14607 = -1 [3], mais -1 n'est pas congru à 4 [3], car -1 = -1 X 3 + 2, et 4 = 1 X 3 + 1, les restes ne sont pas les mêmes, par contre - 1 = 2 [3], donc 2^14607 = 2 [3] et le reste de 2^14607 par 3 est 2.


C'est ça ou pas?

[invite2220c077]

Scuz j'ai dit n'imp quoi. Mae culpa

[invited6f327c1]

Tu as dans ton cours normalement :

Si a = b [n] et b = c[n] alors a = c[n] (*)

J'ai prouvé que pour tout n entier on a :

2^n = -1^n[3]

- Si n est pair, alors 2^n = 1[3]

- Si n est impair, alors 2^n = -1[3].

Maintenant on te demande le reste de la division enclidienne de 2^(14 607) par 3. Puisque n = 14 607 est impair, alors 2^(14 607) = -1[3]. Or un reste par définition est positif, donc tu ne peux pas dire "-1 est reste de la division". Parcontre nous avons :

-1 = 4 [3] (car 3 = 4 - 1 = 0[3] <=> -1 = 4[3]), d'où d'après (*) on a :

2^(14 607) = 4[3]

Nan mais d'accord j'ai tout compris, mais regard c'est le "-1 = 4 [3] (car 3 = 4 - 1 = 0[3] <=> -1 = 4[3]" qui me gène.

T'es d'accord que si a = b (n), alors (a - b)/n = k. (k est un entier)
Or (-1 - 4)/3 = -5/3 et ce n'est pas un entier...
Donc pour moi -1 n'est pas congru à 4 modulo 3

[invite2220c077]

Oui j'ai dit n'imp quoi

[invited6f327c1]

Oui j'ai dit n'imp quoi

Lol ok je comprenais plus la pourquoi tu insistait avec le congru à 4 ...
Donc c'est bon merci pour cet exo.

Il me reste le 3, où je n'arrête pas de tourner en rond :

3°)Soit n = (2^a)(3^b) où a et b sont des naturels.
a/Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
b/Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.

[invite2220c077]

Puisque 2 et 3 sont des nombres premiers alors n = 2^a*3^b est la décomposition en facteurs premiers de n, et d'après ton cours, le nombre de diviseurs d'un nombre n de la forme avec les des nombres premiers et les des nombres naturels, est donné par la formule : .

Ainsi pour ton problème, le nombre de diviseurs de n est (a + 1)(b + 1), soit ab + a + b + 1.

Pour 2) :

.

d'où . Mais l'hypothèse de l'exo stipule que :

qui équivaut à ou encore <=> .

Or 4 = 2² ainsi b = 2 et a - 1 = 2 d'où (a,b) = (2, 3). Ainsi n = 72

[invited6f327c1]

Puisque 2 et 3 sont des nombres premiers alors n = 2^a*3^b est la décomposition en facteurs premiers de n, et d'après ton cours, le nombre de diviseurs d'un nombre n de la forme avec les des nombres premiers et les des nombres naturels, est donné par la formule : .

Ainsi pour ton problème, le nombre de diviseurs de n est (a + 1)(b + 1), soit ab + a + b + 1.

Pour 2) :

.

d'où . Mais l'hypothèse de l'exo stipule que :

qui équivaut à ou encore <=> .

Or 4 = 2² ainsi b = 2 et a - 1 = 2 d'où (a,b) = (2, 3). Ainsi n = 72

Pour la 1) j'avais tout bon (cf 1er post) mais alors la 2) bien vu j'y avais pas du tout pensé, super, merci beaucoup.

[invite2220c077]

De rien

[invite2220c077]

Pour l'exo 4. Par définition, un nombre premier p > 2 est impair, i.e, p = 2k + 1, d'où p + 7 = 2k + 8 = 2(k + 8) qui n'est pas premier car il admet au moins 3 diviseurs (1, lui-même et 2). Pour le cas p = 2, bah tu as p + 7 = 9, qui n'est pas premier.

[invited6f327c1]

Pour l'exo 4. Par définition, un nombre premier p > 2 est impair, i.e, p = 2k + 1, d'où p + 7 = 2k + 8 = 2(k + 8) qui n'est pas premier car il admet au moins 3 diviseurs (1, lui-même et 2). Pour le cas p = 2, bah tu as p + 7 = 9, qui n'est pas premier.

Ouais celui la c'était bon, on m'a aidé un peu plus haut, mais c'était simple j'était débile de pas voir que c'était ça, j'était partis dans un calcul de ouf mais fallait pas..
PS: par contre je vois souvent le terme "i.e" sur le forum, ca veut dire quoi??
"un nombre premier p > 2 est impair, I.E., p = 2k + 1"

[invite2220c077]

"i.e" a la même signification que "c'est-à dire"

[invited6f327c1]

"i.e" a la même signification que "c'est-à dire"

ok merci