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nombres premiers



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    nombres premiers


    ------

    bonjour,

    je dois résoudre un problème sur les nombres premiers. Il s´agit de prouver que la somme de la série des inverses des premiers diverge.

    Je viens de trouver sur wikipedia la formule qui résoudrait tout:

    P(n) ~ nln(n)

    Mais je sais pas comment prouver ça

    Quelqu´un a-t-il une idée?

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : nombres premiers

    Le théorème de Hadamard dit que le nombre de nombres premiers inférieurs à n varie comme n/Ln(n). Divisé, pas multiplié !
    Compte les nombres premiers entre n et 2 n et donne une limite inférieure de la somme des inverses.
    Ca devrait coller.

  3. #3
    martini_bird

    Re : nombres premiers

    Salut,

    le p(n) de christophe_de_Berlin est le n-ième nombre premier, et sa formule est donc correcte.

    Par contre, ce théorème est beaucoup plus difficile à démontrer que le théorème d'Euler.

    Pour démontrer ce dernier tu peux par exemple partir de l'identité d'Euler



    qui diverge pour , et prendre le logarithme de sorte que, après calculs:



    En faisant tendre , on voit que le terme responsable de la divergence de est .

    En étant soigneux, tu peux même montrer que:



    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 14/01/2006 à 10h29.

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