Inversion Inf-Sup

[invite3478a1d3]

Salut à tous!

Dans le cadre d'un problème, j'ai eu besoin à une étape de calcul d'intervertir un et un . En cherchant un peu, j'ai rien trouvé de bien dans le cas général, mais j'ai réussi à m'en sortir par le théorème de Von Neumann pour mon problème particulier.
Ceci dit, je me pose la question de savoir, en toute généralité, à quelle condition a-t-on le droit d'effectuer cette inversion.

En toute rigueur, le problème est le suivant :
Soient une fonction de dans , et , deux ensembles de . Existe-t-il une CNS (ou au moins une condition suffisante) sur , et pour que ?


Merci de vos idées!
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[invite10a6d253]

Question difficile en général. Un contre-exemple tout simple :
sur le carré unité ouvert.

[invite3478a1d3]

Oui, en fait je me suis rendu compte que c'était probablement plus subtil que ce que je pensais initialement... En fait, même si on suppose et des compacts connexes (par arcs), et si est partout en ses deux variables, alors l'égalité peut encore être fausse. Alors qu'on est alors dans un cas très régulier, quand même!