exercice oral psi : recherche extrema

[invite9d0b0e00]

Bonjour à tous,

Dans cet exercice, on considère la fonction f(x,y)=xy-xy²+yx²

J'ai calculé les dérivés partielles par rapport à la 1ère et 2ème variable :

d(f(x,y))/dx=y-y²+2xy
d(f(x,y))/dy=x-2xy+x²

Je trouve ainsi que les points critiques sont (0,0) ; (-1/3,1/3) ; (0,1) et (-1,0)

Cependant je sais qu'un extrema est forcément un point critique, mais un point critique n'est malheureusement pas forcément un extrema.

Mais je n'arrive pas à comprendre comment montrer que les points critiques que j'ai trouvé sont ou ne sont pas des extrema.

Merci d'avance de votre aide
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[invited877b256]

Salut tidav,
Je ne veux pas t'induire en erreur parce que je suis un peu rouillé sur la question, mais il me semble que tu doives étudier le signe de la dérivée seconde dans toutes les directions, pour voir si ta surface se trouve en dessus ou en dessous du plan dans lequel tu te trouves, ce qui me semble logique pour un extemum.

pour cela la mieux est d'étudier la forme quadratique associée au déloppement limité de df puisqu' au premier ordre tu as l'équation d'un plan tangent, sauf que dans ce cas et logiquement, df=0, ce qui te même au second ordre. Là c'est du même acabi que pour le sens d'une dérivée classique : positif ou négatif, tu aura un maximum ou un minimum.
Etant donné la forma quadratique, il y a un genre de "discriminant de la quadrature" pour ce faire, en analogie au "b²-4ac" et que je n'ai plus en tete malheureusement c'est pour cela que je t'invite à le chercher par toi même. Y'a du s et du t dedans. s²*truc-t*truc ?....
Le résultat du discriminant doit répondre à ta question en faisant double emploi.

[invite8b04eba7]

Salut !

Comme le dit manup, il te faut aller à l'ordre deux et calculer ainsi la matrice de la différentielle seconde (la Hessienne). En vertu du lemme de Schwarz, elle est symétrique :

Tu dois calculer la signature de la forme quadratique asociée à cette matrice. Dans le cas où ta matrice est inversible, tu peux distinguer 3 cas :

- det H > 0 et d²f/dx² > 0 (signature (2,0), la forme quadratique est définie positive) : ton point critique correspond à un minimum;

- det H > 0 et d²f/dx² < 0 (signature (0,2), la forme quadratique est définie négative) : c'est un maximum.

- det H < 0 (signature (1,1)) : le point est dit hyperbolique. Il y a une direction dans laquelle c'est un minimum, et une autre dans laquelle c'est un maximum (pense à une selle de cheval).

[invitef45cc474]

- det H > 0 et d²f/dx² > 0 (signature (2,0), la forme quadratique est définie positive) : ton point critique correspond à un minimum;

- det H > 0 et d²f/dx² < 0 (signature (0,2), la forme quadratique est définie négative) : c'est un maximum.

Il me semble que c'est d²f/dx² + d²f/dy²> 0 dans le premier cas et d²f/dx² + d²f/dy²< 0 dans le second. Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8b04eba7]

Non pas forcément : par exemple, la matrice

n'est pas définie positive. En fait, une CNS simple pour qu'une matrice symmétrique soit définie positive est que tous ses mineurs principaux soient strictement positifs.

- dans le sens => c'est parce que toute restriction d'une forme quadratique définie positive est définie positive;

- dans le sens <= ça se fait par récurrence : si A est une matrice de taille n dont tous les mineurs principaux sont > 0, alors la matrice extraire de taille n-1 en prenant les n-1 premières lignes et colonnes doit être définie positive (par hypothèse de récurrence). Donc il y a trois possibilité pour la signature de A : (n,0) (n-1,0) ou (n-1,1) mais les deux dernières sont à exclure vu que le déterminant de A est strictement positif.

[invite9d0b0e00]

merci de vos réponses, le problème, c'est que dans les exemples de cours que nous avons fait, notre professeur utilisait la notion de voisinage.

Pour le point (0,0) ; on voit que f(x,x) est positif et que f(x,-x) est négatif, donc en (0,0) il n'y a pas d'extremum

Par contre pour le point (0,1) d'après les exemples que j'ai, il faudrait faire f(0+h,1+l), je l'ai calculé, je trouve f(0+h,1+l)=-hl-hl²+h²+lh²

Mais je ne sais vraiment pas quoi en faire... Pouvez-vous m'aider ?

[invite8b04eba7]

Par contre pour le point (0,1) d'après les exemples que j'ai, il faudrait faire f(0+h,1+l), je l'ai calculé, je trouve f(0+h,1+l)=-hl-hl²+h²+lh²

Il faut que tu ne gardes que les termes d'ordre total 2, c'est à dire -hl + h². Dans ce cas, la matrice de ta forme quadratique vaut

Le déterminant est négatif donc ce n'est pas un extremum.

[invite2a937757]

bonjour!
Oui ici on voit que le déterminant est négatif, mais que faire s'il est nul? Merci beaucoup à tous ceux qui pourront m'éclairer.

[invite8b04eba7]

Salut !

Quand le déterminant est nul, tu es dans un cas dégénéré. Par exemple, si tu prends une forme linéaire, ou bien la fonction (x,y) -> x².

Plus simplement, sur R, quand la dérivée seconde s'annule aussi, tu as un point d'inflexion. Dans le cas général, il faut parfois pousser à un ordre supérieur pour se rendre compte de ce qui se passe.

Pour tidav : regarde au point (-1/3,1/3), il est intéressant.

[invited877b256]

un des moyens en physique pour lever les dégénérescences est de travailler sous contrainte. Une méthode existe qui se nomme les multiplicateurs de lagrange et qui ajoute de la redondance dans la forme quadratique. Seulement les fonctions associés aux multiplicateurs doivent être spécifiques à ton problème. Surement doudache pourra t'en dire plus sur le sujet.

[invite9d0b0e00]

doudache, j'ai regardé le point (-1/3,1/3) en ne gardant que les termes du second ordre je trouve f(-1/3+h,1/3+l)=(1/3)h²+(1/3)hl+(1/3)l²
le déterminant de la matrice associée vaut 1/12 donc il est positif donc, ce point est un extrema et même un minima car f(-1/3,1/3)=-1/27 et par exemple f(0,0)=0

c'est ça, où je me trompe totalement?

[invite8b04eba7]

c'est ça, où je me trompe totalement?

C'est presque ça ! C'est bien un minimum mais pas pour la raison que tu as indiquée. Si tu relis mon message, tu dois voir qu'il faut regarder le premier coefficient de la matrice pour pouvoir conclure (ici 1/3).

En fait, quand on parle d'extremums on sous-entend "local", c'est-à-dire que l'on regarde les choses au voisinage du point. Les méthodes de recherches de points critiques traitent uniquement de ces cas-là. Ensuite, si tu veux montrer que c'est un minimum global, il faut que tu montres par exemple que tu peux te restreindre à un compact (par exemple si f(x,y) tend vers l'infini quand la norme du vecteur (x,y) tend vers l'infini).

Et ici ça ne marche pas : f(1,y) tend vers moins l'infini quand y tend vers l'infini et f(x,1) tend vers plus l'infini. Donc ta fonction n'a pas d'extrema globaux.

[invite8b04eba7]

Surement doudache pourra t'en dire plus sur le sujet.

Désolé mais je n'y connais rien...
Sûrement martini_bird ou Levesque savent peut-être quelque chose ?

[invite9d0b0e00]

en fait pour qu'il y ait un extremum local, il faut que la matrice ait un déterminant positif et si le premier terme de la matrice est positif, c'est un minimum local et s'il est négatif, c'est un maximum local?

Sinon, j'ai aussi cherchais pour le point (-1,0) et j'ai trouvé que ce n'était pas un extremum pour les même raison que le point (0,1) car on trouve l²-hl

Donc pour conclure, ma fonction admet simplement un minimum local en (-1/3,1/3) et aucun extremum global ?

[invite8b04eba7]

en fait pour qu'il y ait un extremum local, il faut que la matrice ait un déterminant positif et si le premier terme de la matrice est positif, c'est un minimum local et s'il est négatif, c'est un maximum local?

Oui c'est ça, mais attention, ça ne marche que pour n=2 ; sinon il faut regarder les mineurs principaux : s'ils sont > 0, alors c'est un minimum, et si ceux de taille paire sont > 0 et ceux de tailles impaires sont < 0, c'est un maximum.

Sinon, j'ai aussi cherchais pour le point (-1,0) et j'ai trouvé que ce n'était pas un extremum pour les même raison que le point (0,1) car on trouve l²-hl
Donc pour conclure, ma fonction admet simplement un minimum local en (-1/3,1/3) et aucun extremum global ?

Oui je pense que c'est ça. Sous Maple, tu peux visualiser ta surface :

si tu veux voir ton minimum :

plot3d(x*y-x*y^2 +x^2*y,x=-0.5..0,y=0..0.5,axes=BOXED);

si tu veux voir la courbe en plus grand :

plot3d(x*y-x*y^2 +x^2*y,x=-2..2,y=-2..2,axes=BOXED);

Ici tu vois bien l'effet "selle de cheval" au niveau de l'origine.

[invited877b256]

en image..
3 points selle et 1 minimum local

[invited877b256]

tiens, on a eu la même idée.... toi aussi t'es malade et tu t'emmerde chez toi ?

[invite8b04eba7]

C'est presque ça

[invite9d0b0e00]

je tenais à tous vous remercier, et peut-être à bientôt

[invited877b256]

merci, j'aime bien les gens qui disent merci, même si on est pas sûr de le mériter.
Alors surtout, pense à coller mon image qui tue en bas de ta copie : prochaine implémentation ,je suis entrain de travailler sur une sculture en pâte à modeler...

ManuP qui commence à délirer
______
1) il faudrait que la modération rajoute des smiley : honte du type je rougît; et honte du type ça craint.

2) si quelqu'un peut me dire comment choisir les fonctions avec les muliplicateurs de lagrange, je suis TRES preneur, alors n'enfouissez pas trop vite ce topic.

[Scorp]

Salut à tous !
C'est marrant, c'est éxactement l'un de mes exo que j'ai eu à l'oral de CCP cette année. Par contre, l'examinateur ne voulais absolument pas entendre parler de déterminant de matrice, de mineurs etc... pour résoudre ce type d'exo, car ce n'est pas à notre programme (en tout cas, pas celui de PSI/PSI*). Il fallait plutot utiliser la méthode de Tidav avec les "voisinages "etc...Mais c'est très interressant de voir d'autres méthodes de résolution, surtout que j'avais pas mal galéré pour le faire.
Merci et a+

[Scorp]

J'aurais besoin de quelques explications supplémentaires :
- D'après Doudache, il faut utiliser la Hessienne qui grace à Schwartz est symétrique réelle. Pour le moment ca va. Il semble d'après ce qu'il dit qui faut, pour résoudre l'exercice, savoir si la forme quadratique est définie positive, négative ou rien du tout. Peut-on alors utiliser le spectre de la matrice ? Il me semble que le spectre d'une matrice définie positive est compris dans R+*. Cela permet-il de conclure. Par exemple, au point (-1/3, 1/3), on a H=(2/3, -1/3 |-1/3 2/3), son spectre est {1;1/3}, donc elle est défini positive, donc on a minimum local en ce point.
- Doudache décrit 3 cas selon det(H) et le signe de d²f/dx². Question stupide : qu'est ce qui arrive si on a det(H)>0 et d²f/dx²=0 ? minimum, maximum, rien du tout, ca n'arrive jamais ???
Merci à ceux qui pourront m'éclairer sur ce sujet

[Etile]

- Doudache décrit 3 cas selon det(H) et le signe de d²f/dx². Question stupide : qu'est ce qui arrive si on a det(H)>0 et d²f/dx²=0 ? minimum, maximum, rien du tout, ca n'arrive jamais ???
Merci à ceux qui pourront m'éclairer sur ce sujet

C'est tout simplement imposible, car le determinant est d²f/dx² * d²f/dy² - d²f/dxdy * d²f/dydx
Tu remarqueras donc, que tu soustrais au mieux, 0 de 0, donc la hessienne est dans le "pire des cas", nul.
(Il faut aussi savoir, mais tu le sais surement, que d²f/dxdy = d²f/dydx, ce qui fait que le produit de ces deux termes est forcement positif.)

[Etile]

2) si quelqu'un peut me dire comment choisir les fonctions avec les muliplicateurs de lagrange, je suis TRES preneur, alors n'enfouissez pas trop vite ce topic.

Je ne sais pas si ca va t'aider, mais il faut déjà que tu choisisses un compacte, par exemple un cercle, une ellispe, etc, qui restreindra le domaine de définition de ta fonction d'origine f(x,y).
Ensuite, il suffit de résoudre un systeme tel que grad f(x,y) = lambda grad g(x,y) avec g(x,y) ta restriction mais qui doit être égale à 0. Par exemple pour un cercle, g(x,y) serait tel que x² + y² - r² = 0
Une fois que tu as résolu ce systeme, tu obtiens tous les point critiques sur ta restriction, donc le compacte g(x,y), et il te suffit de comparer ces points entre eux pour savoir s'ils sont des maxima globaux, etc.

[invite8aaf594c]

Bonjour,

je débute dans maple et souhaite trouver le maximum d'une fonction de deux variables. J'ai visualisé la 'nappe' grâce à un plot3D mais j'aimerai obtenir la valeur exacte.

Merci d'avance