Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 25 sur 25

exercice oral psi : recherche extrema



  1. #1
    tidav

    exercice oral psi : recherche extrema


    ------

    Bonjour à tous,

    Dans cet exercice, on considère la fonction f(x,y)=xy-xy²+yx²

    J'ai calculé les dérivés partielles par rapport à la 1ère et 2ème variable :

    d(f(x,y))/dx=y-y²+2xy
    d(f(x,y))/dy=x-2xy+x²

    Je trouve ainsi que les points critiques sont (0,0) ; (-1/3,1/3) ; (0,1) et (-1,0)

    Cependant je sais qu'un extrema est forcément un point critique, mais un point critique n'est malheureusement pas forcément un extrema.

    Mais je n'arrive pas à comprendre comment montrer que les points critiques que j'ai trouvé sont ou ne sont pas des extrema.

    Merci d'avance de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    manup

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Salut tidav,
    Je ne veux pas t'induire en erreur parce que je suis un peu rouillé sur la question, mais il me semble que tu doives étudier le signe de la dérivée seconde dans toutes les directions, pour voir si ta surface se trouve en dessus ou en dessous du plan dans lequel tu te trouves, ce qui me semble logique pour un extemum.

    pour cela la mieux est d'étudier la forme quadratique associée au déloppement limité de df puisqu' au premier ordre tu as l'équation d'un plan tangent, sauf que dans ce cas et logiquement, df=0, ce qui te même au second ordre. Là c'est du même acabi que pour le sens d'une dérivée classique : positif ou négatif, tu aura un maximum ou un minimum.
    Etant donné la forma quadratique, il y a un genre de "discriminant de la quadrature" pour ce faire, en analogie au "b²-4ac" et que je n'ai plus en tete malheureusement c'est pour cela que je t'invite à le chercher par toi même. Y'a du s et du t dedans. s²*truc-t*truc ?....
    Le résultat du discriminant doit répondre à ta question en faisant double emploi.

  5. #3
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Salut !

    Comme le dit manup, il te faut aller à l'ordre deux et calculer ainsi la matrice de la différentielle seconde (la Hessienne). En vertu du lemme de Schwarz, elle est symétrique :


    Tu dois calculer la signature de la forme quadratique asociée à cette matrice. Dans le cas où ta matrice est inversible, tu peux distinguer 3 cas :

    - det H > 0 et d2f/dx2 > 0 (signature (2,0), la forme quadratique est définie positive) : ton point critique correspond à un minimum;

    - det H > 0 et d2f/dx2 < 0 (signature (0,2), la forme quadratique est définie négative) : c'est un maximum.

    - det H < 0 (signature (1,1)) : le point est dit hyperbolique. Il y a une direction dans laquelle c'est un minimum, et une autre dans laquelle c'est un maximum (pense à une selle de cheval).

  6. #4
    supernico999

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par doudache
    - det H > 0 et d2f/dx2 > 0 (signature (2,0), la forme quadratique est définie positive) : ton point critique correspond à un minimum;

    - det H > 0 et d2f/dx2 < 0 (signature (0,2), la forme quadratique est définie négative) : c'est un maximum.
    Il me semble que c'est d2f/dx2 + d2f/dy2> 0 dans le premier cas et d2f/dx2 + d2f/dy2< 0 dans le second. Non?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Non pas forcément : par exemple, la matrice


    n'est pas définie positive. En fait, une CNS simple pour qu'une matrice symmétrique soit définie positive est que tous ses mineurs principaux soient strictement positifs.

    - dans le sens => c'est parce que toute restriction d'une forme quadratique définie positive est définie positive;

    - dans le sens <= ça se fait par récurrence : si A est une matrice de taille n dont tous les mineurs principaux sont > 0, alors la matrice extraire de taille n-1 en prenant les n-1 premières lignes et colonnes doit être définie positive (par hypothèse de récurrence). Donc il y a trois possibilité pour la signature de A : (n,0) (n-1,0) ou (n-1,1) mais les deux dernières sont à exclure vu que le déterminant de A est strictement positif.

  9. #6
    tidav

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    merci de vos réponses, le problème, c'est que dans les exemples de cours que nous avons fait, notre professeur utilisait la notion de voisinage.

    Pour le point (0,0) ; on voit que f(x,x) est positif et que f(x,-x) est négatif, donc en (0,0) il n'y a pas d'extremum

    Par contre pour le point (0,1) d'après les exemples que j'ai, il faudrait faire f(0+h,1+l), je l'ai calculé, je trouve f(0+h,1+l)=-hl-hl²+h²+lh²

    Mais je ne sais vraiment pas quoi en faire... Pouvez-vous m'aider ?

  10. Publicité
  11. #7
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par tidav
    Par contre pour le point (0,1) d'après les exemples que j'ai, il faudrait faire f(0+h,1+l), je l'ai calculé, je trouve f(0+h,1+l)=-hl-hl²+h²+lh²
    Il faut que tu ne gardes que les termes d'ordre total 2, c'est à dire -hl + h2. Dans ce cas, la matrice de ta forme quadratique vaut


    Le déterminant est négatif donc ce n'est pas un extremum.

  12. #8
    Nanoche

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    bonjour!
    Oui ici on voit que le déterminant est négatif, mais que faire s'il est nul? Merci beaucoup à tous ceux qui pourront m'éclairer.

  13. #9
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Salut !

    Quand le déterminant est nul, tu es dans un cas dégénéré. Par exemple, si tu prends une forme linéaire, ou bien la fonction (x,y) -> x2.

    Plus simplement, sur R, quand la dérivée seconde s'annule aussi, tu as un point d'inflexion. Dans le cas général, il faut parfois pousser à un ordre supérieur pour se rendre compte de ce qui se passe.

    Pour tidav : regarde au point (-1/3,1/3), il est intéressant.

  14. #10
    manup

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    un des moyens en physique pour lever les dégénérescences est de travailler sous contrainte. Une méthode existe qui se nomme les multiplicateurs de lagrange et qui ajoute de la redondance dans la forme quadratique. Seulement les fonctions associés aux multiplicateurs doivent être spécifiques à ton problème. Surement doudache pourra t'en dire plus sur le sujet.

  15. #11
    tidav

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    doudache, j'ai regardé le point (-1/3,1/3) en ne gardant que les termes du second ordre je trouve f(-1/3+h,1/3+l)=(1/3)h²+(1/3)hl+(1/3)l²
    le déterminant de la matrice associée vaut 1/12 donc il est positif donc, ce point est un extrema et même un minima car f(-1/3,1/3)=-1/27 et par exemple f(0,0)=0

    c'est ça, où je me trompe totalement?

  16. #12
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par tidav
    c'est ça, où je me trompe totalement?
    C'est presque ça ! C'est bien un minimum mais pas pour la raison que tu as indiquée. Si tu relis mon message, tu dois voir qu'il faut regarder le premier coefficient de la matrice pour pouvoir conclure (ici 1/3).

    En fait, quand on parle d'extremums on sous-entend "local", c'est-à-dire que l'on regarde les choses au voisinage du point. Les méthodes de recherches de points critiques traitent uniquement de ces cas-là. Ensuite, si tu veux montrer que c'est un minimum global, il faut que tu montres par exemple que tu peux te restreindre à un compact (par exemple si f(x,y) tend vers l'infini quand la norme du vecteur (x,y) tend vers l'infini).

    Et ici ça ne marche pas : f(1,y) tend vers moins l'infini quand y tend vers l'infini et f(x,1) tend vers plus l'infini. Donc ta fonction n'a pas d'extrema globaux.

  17. Publicité
  18. #13
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par manup
    Surement doudache pourra t'en dire plus sur le sujet.
    Désolé mais je n'y connais rien...
    Sûrement martini_bird ou Levesque savent peut-être quelque chose ?

  19. #14
    tidav

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    en fait pour qu'il y ait un extremum local, il faut que la matrice ait un déterminant positif et si le premier terme de la matrice est positif, c'est un minimum local et s'il est négatif, c'est un maximum local?

    Sinon, j'ai aussi cherchais pour le point (-1,0) et j'ai trouvé que ce n'était pas un extremum pour les même raison que le point (0,1) car on trouve l²-hl

    Donc pour conclure, ma fonction admet simplement un minimum local en (-1/3,1/3) et aucun extremum global ?

  20. #15
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par tidav
    en fait pour qu'il y ait un extremum local, il faut que la matrice ait un déterminant positif et si le premier terme de la matrice est positif, c'est un minimum local et s'il est négatif, c'est un maximum local?
    Oui c'est ça, mais attention, ça ne marche que pour n=2 ; sinon il faut regarder les mineurs principaux : s'ils sont > 0, alors c'est un minimum, et si ceux de taille paire sont > 0 et ceux de tailles impaires sont < 0, c'est un maximum.

    Citation Envoyé par tidav
    Sinon, j'ai aussi cherchais pour le point (-1,0) et j'ai trouvé que ce n'était pas un extremum pour les même raison que le point (0,1) car on trouve l²-hl
    Donc pour conclure, ma fonction admet simplement un minimum local en (-1/3,1/3) et aucun extremum global ?
    Oui je pense que c'est ça. Sous Maple, tu peux visualiser ta surface :

    si tu veux voir ton minimum :

    plot3d(x*y-x*y^2 +x^2*y,x=-0.5..0,y=0..0.5,axes=BOXED);


    si tu veux voir la courbe en plus grand :

    plot3d(x*y-x*y^2 +x^2*y,x=-2..2,y=-2..2,axes=BOXED);


    Ici tu vois bien l'effet "selle de cheval" au niveau de l'origine.

  21. #16
    manup

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    en image..
    3 points selle et 1 minimum local

    Images attachées Images attachées  

  22. #17
    manup

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    tiens, on a eu la même idée.... toi aussi t'es malade et tu t'emmerde chez toi ?

  23. #18
    doudache

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    C'est presque ça

  24. Publicité
  25. #19
    tidav

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    je tenais à tous vous remercier, et peut-être à bientôt

  26. #20
    manup

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    merci, j'aime bien les gens qui disent merci, même si on est pas sûr de le mériter.
    Alors surtout, pense à coller mon image qui tue en bas de ta copie : prochaine implémentation ,je suis entrain de travailler sur une sculture en pâte à modeler...

    ManuP qui commence à délirer
    ______
    1) il faudrait que la modération rajoute des smiley : honte du type je rougît; et honte du type ça craint.

    2) si quelqu'un peut me dire comment choisir les fonctions avec les muliplicateurs de lagrange, je suis TRES preneur, alors n'enfouissez pas trop vite ce topic.

  27. #21
    Scorp

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Salut à tous !
    C'est marrant, c'est éxactement l'un de mes exo que j'ai eu à l'oral de CCP cette année. Par contre, l'examinateur ne voulais absolument pas entendre parler de déterminant de matrice, de mineurs etc... pour résoudre ce type d'exo, car ce n'est pas à notre programme (en tout cas, pas celui de PSI/PSI*). Il fallait plutot utiliser la méthode de Tidav avec les "voisinages "etc...Mais c'est très interressant de voir d'autres méthodes de résolution, surtout que j'avais pas mal galéré pour le faire.
    Merci et a+

  28. #22
    Scorp

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    J'aurais besoin de quelques explications supplémentaires :
    - D'après Doudache, il faut utiliser la Hessienne qui grace à Schwartz est symétrique réelle. Pour le moment ca va. Il semble d'après ce qu'il dit qui faut, pour résoudre l'exercice, savoir si la forme quadratique est définie positive, négative ou rien du tout. Peut-on alors utiliser le spectre de la matrice ? Il me semble que le spectre d'une matrice définie positive est compris dans R+*. Cela permet-il de conclure. Par exemple, au point (-1/3, 1/3), on a H=(2/3, -1/3 |-1/3 2/3), son spectre est {1;1/3}, donc elle est défini positive, donc on a minimum local en ce point.
    - Doudache décrit 3 cas selon det(H) et le signe de d²f/dx². Question stupide : qu'est ce qui arrive si on a det(H)>0 et d²f/dx²=0 ? minimum, maximum, rien du tout, ca n'arrive jamais ???
    Merci à ceux qui pourront m'éclairer sur ce sujet

  29. #23
    Etile

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par Scorp
    - Doudache décrit 3 cas selon det(H) et le signe de d²f/dx². Question stupide : qu'est ce qui arrive si on a det(H)>0 et d²f/dx²=0 ? minimum, maximum, rien du tout, ca n'arrive jamais ???
    Merci à ceux qui pourront m'éclairer sur ce sujet
    C'est tout simplement imposible, car le determinant est d²f/dx² * d²f/dy² - d²f/dxdy * d²f/dydx
    Tu remarqueras donc, que tu soustrais au mieux, 0 de 0, donc la hessienne est dans le "pire des cas", nul.
    (Il faut aussi savoir, mais tu le sais surement, que d²f/dxdy = d²f/dydx, ce qui fait que le produit de ces deux termes est forcement positif.)
    Dernière modification par Etile ; 26/07/2006 à 10h04.

  30. #24
    Etile

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Citation Envoyé par manup
    2) si quelqu'un peut me dire comment choisir les fonctions avec les muliplicateurs de lagrange, je suis TRES preneur, alors n'enfouissez pas trop vite ce topic.
    Je ne sais pas si ca va t'aider, mais il faut déjà que tu choisisses un compacte, par exemple un cercle, une ellispe, etc, qui restreindra le domaine de définition de ta fonction d'origine f(x,y).
    Ensuite, il suffit de résoudre un systeme tel que grad f(x,y) = lambda grad g(x,y) avec g(x,y) ta restriction mais qui doit être égale à 0. Par exemple pour un cercle, g(x,y) serait tel que x² + y² - r² = 0
    Une fois que tu as résolu ce systeme, tu obtiens tous les point critiques sur ta restriction, donc le compacte g(x,y), et il te suffit de comparer ces points entre eux pour savoir s'ils sont des maxima globaux, etc.

  31. Publicité
  32. #25
    joojoo92

    Re : exercice oral psi : recherche extrema

    Bonjour,

    je débute dans maple et souhaite trouver le maximum d'une fonction de deux variables. J'ai visualisé la 'nappe' grâce à un plot3D mais j'aimerai obtenir la valeur exacte.

    Merci d'avance

Discussions similaires

  1. extrema
    Par razor2020 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 05/11/2007, 20h47
  2. TIPE 2006/2007 PSI lévitation magnétique : recherche des équations
    Par Baïkal dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 0
    Dernier message: 03/01/2007, 13h30
  3. Recherche études rhéologiques pour oral
    Par tony82 dans le forum Chimie
    Réponses: 0
    Dernier message: 03/11/2006, 15h06
  4. [Oral] un exercice sympa
    Par Gwyddon dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 26/05/2005, 21h00
  5. recherche des extrema sur un triangle
    Par goku9013 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 22/01/2005, 02h04