Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?
Bonjour a tous;
on a la fonction suivante: f(x)= 1 sur [0,1]
on souhaite avoir la série de Fourier correspondante suivant les arcs multiples de cosinus.
on prolonge la fonction d' une façon paire :g(x)=1 sur [-1,1].
on prolonge ensuite en une fonction périodique : g*(x) de période T=2; et tel que pour x sur [-1,1] , g*(x)=g(x).
C'est maintenant que surgit la catastrophe:
- g*(x) n'admet pas d' extremums stricts , donc le nombre d' extremums stricts est fini et = 0.
néanmoins , le résultat est bizarre :
a0=2; a0/2=1.
an=0 pour tout n>0.
(et certainement bn est nul).
C'est comme si tout le travail ne sert a rien.
dans la faculté , il y avait un peu des combats et certains disent que cette fonction ne vérifie pas les conditions de Dirichlet car elle n'est pas périodique( puisque toute période est valable pour cette fonction), mais moi je n'ai pas entendu parler d'une telle condition dans celles de Dirichlet, et en plus si on l'admet on trouve bien que g*(x+2)= g*(x).
Je m'explique : les conditions de Dirichlet pour f(x) sur (a,b) ,sont les suivantes:
1- f est uniformément majorée.
2- Les points de discontinuité (sur 1 intervalle déterminé non infini) sont de 1ere espèce et de nombre fini.
3- f admet un nombre fini d'extremums stricts.
Ne me dites pas que c'est naturel d'avoir un tel résultat parce que la fonction est constante , en fait, si on fait les mêmes étapes avec un prolongement impair , on obtient des bn non nuls!
S'il vous plait si quelqu'un n'est pas certain ou s'il n'a pas des idées bien structurées , qu'il ne réponde pas , enfin les débats dans la faculté me suffisent.
Merci d'avance.
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