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Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?



  1. #1
    CLAIRE II

    Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?


    ------

    Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?
    Bonjour a tous;
    on a la fonction suivante: f(x)= 1 sur [0,1]
    on souhaite avoir la série de Fourier correspondante suivant les arcs multiples de cosinus.
    on prolonge la fonction d' une façon paire :g(x)=1 sur [-1,1].
    on prolonge ensuite en une fonction périodique : g*(x) de période T=2; et tel que pour x sur [-1,1] , g*(x)=g(x).
    C'est maintenant que surgit la catastrophe:
    - g*(x) n'admet pas d' extremums stricts , donc le nombre d' extremums stricts est fini et = 0.
    néanmoins , le résultat est bizarre :
    a0=2; a0/2=1.
    an=0 pour tout n>0.
    (et certainement bn est nul).
    C'est comme si tout le travail ne sert a rien.
    dans la faculté , il y avait un peu des combats et certains disent que cette fonction ne vérifie pas les conditions de Dirichlet car elle n'est pas périodique( puisque toute période est valable pour cette fonction), mais moi je n'ai pas entendu parler d'une telle condition dans celles de Dirichlet, et en plus si on l'admet on trouve bien que g*(x+2)= g*(x).

    Je m'explique : les conditions de Dirichlet pour f(x) sur (a,b) ,sont les suivantes:
    1- f est uniformément majorée.
    2- Les points de discontinuité (sur 1 intervalle déterminé non infini) sont de 1ere espèce et de nombre fini.
    3- f admet un nombre fini d'extremums stricts.

    Ne me dites pas que c'est naturel d'avoir un tel résultat parce que la fonction est constante , en fait, si on fait les mêmes étapes avec un prolongement impair , on obtient des bn non nuls!

    S'il vous plait si quelqu'un n'est pas certain ou s'il n'a pas des idées bien structurées , qu'il ne réponde pas , enfin les débats dans la faculté me suffisent.

    Merci d'avance.

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  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?

    Pourrais-tu poster l'énoncé exact de ton problème ?

    Tel que tu le poses, tu ne peux bien évidemment que trouver la série (en cosinus) triviale
    qui converge bien de somme sur !!
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    CLAIRE II

    Re : Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?

    Bon , merci , ca veut dire maintenant que c' est légitime d' appliquer la méthode, que le résultat est bien vrai?
    si ca ne vous gêne pas , pouvez vous me donner alors 1 exemple d'une fonction qui ne vérifie pas les conditions de Dirichlet?

  5. #4
    God's Breath

    Re : Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?

    Attention, les conditions de Dirichlet sont des conditions suffisantes pour assurer la convergence de la série de Fourier, mais elles ne sont nullement nécessaires.

    Tu peux donc avoir une fonction qui ne satisfait pas les conditions de Dirichlet, mais qui est quand même la somme de sa série de Fourier.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ksilver

    Re : Cette fonction vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet?

    La fonction constant égal à 1 est bien périodique ! je vois vraiment pas ou vous trouvez de quoi faire un débat la dessus : les condition de dirichlet sont vérifier, et la série de fourier converge bien. bref il n'y à aucun problème !


    Sinon pour avoir une fonction qui ne vérifie pas les condition de dirichlet, il suffit de la prendre pas du tous continu, par exemple la fonction indicatrice des rationelles (f(x)=1 si x est rationel, 0 sinon) qui est bien périodique (elle est q périodique pour tous rationelle q)

    ou bien plus simplement la fonction Pi périodique impaire définit sur [0,Pi] par f(x)=1/x si x est non nul et f(0)=0.

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