Cette fonction existe-t-elle ?

[g_h]

Hello,

Pour faire un exercice, je recherche un endomorphisme de E (ev sur un corps K) tel que (où 0 est la fonction nulle)

Une telle fonction existe-t-elle ?
Ca me fait bien penser à un polynôme à racines complexes, donc je doute qu'il y ait des "solutions", mais bon, je n'arrive pas à me représenter ça avec des applications donc on ne sait jamais... !

Et si une telle fonction existe, comment la caractériser par la valeurs de ses images ? (f(x) = truc : que vaut truc ?)

Où sinon, je devrais ptetre bien chercher une autre piste...!

Merci pour votre aide !
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[invite2f68e9c6]

bien sûr qu'elle existe ! tu prend f telle que f°f= -f -IdE !!!

[g_h]

Arf, facile à dire !

Si je te disais : prends un réel x tel que x² = -x-1, que me répondrais-tu ?


(ou alors, c'est tellement évident que ça m'échappe)

[inviteb85b19ce]

Bonsoir,

Par exemple dans E = R², l'endomorphisme dont la matrice est vérifie l'équation.

Je ne sais pas si c'est ça que tu recherches...

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Ok, je vais voir avec ça... (on n'a pas encore vu les matrices mais bon, je vais essayer de m'avancer un peu )

Et sinon, si je ne suis pas en dimension 2, il n'y a rien à faire ?

En tous cas merci beaucoup !

[ericcc]

En fait tu dois te servir du fait que f est linéaire :

Tu calcules f[f¤f+f+Id]=f¤f¤f+f¤f+f = 0 par définition de ta fonction.

Mais f¤f+f = -Id également par définition.

Donc ta fonction est solution de f¤f¤f = Id. (Eq1)

Toute rotation de 2pi/3 fera l'affaire, mais il y a une infinité d'autres solutions.

Note bien que f=Id est solution de Eq1, mais pas de ton problème , car elle ne vérifie pas f¤f+f+Id = 0.

[C.B.]

Hello,

Pour faire un exercice, je recherche un endomorphisme de E (ev sur un corps K) tel que (où 0 est la fonction nulle)

Une telle fonction existe-t-elle ?
Ca me fait bien penser à un polynôme à racines complexes, donc je doute qu'il y ait des "solutions", mais bon, je n'arrive pas à me représenter ça avec des applications donc on ne sait jamais... !

Et si une telle fonction existe, comment la caractériser par la valeurs de ses images ? (f(x) = truc : que vaut truc ?)

Où sinon, je devrais ptetre bien chercher une autre piste...!

Merci pour votre aide !

signifie que X²+X+1 est un polynôme annulateur de f.
Si X²+X+1 est irréductible sur K, alors ça revient à trouver un endomorphisme de polynôme minimal X²+X+1.

Comme piste, je te conseille le théorème de Caley-Hamilton qui dit que le polynome caractéristique d'un endomorphisme (qui est le polynôme caractéristique de n'importe laquelle de ses matrices) est un polynome anulateur.

Tu n'as donc plus qu'a trouver une matrice ayant X²+X+1 comme polynôme annulateur.

Pour cela, il suffit de trouver une matrice 2*2 de polynôme caractéristique X²+X+1
ou une matrice 2n*2n de polynôme caractéristique (X²+X+1)^n (le polynôme minimal divise le caractéristique et est irréductible.

[inviteb85b19ce]

Pour cela, il suffit de trouver une matrice 2*2 de polynôme caractéristique X²+X+1

Celle que j'ai donnée par exemple...

[ericcc]

En dimension n les matrices diagonales où les valeurs diagonales sont les racines cubiques de l'unité - mais pas la matrice identité.

[g_h]

Whoa, merci à tous !!

[C.B.]

Plus généralement, en dimension paire, il existe toujours un tel endormorphisme.

Il suffit de prendre un endormorphisme associé à la matrice diagonale par bloc dont tous les blocs diagonaux sont égaux à la matrice 2*2 donnée par Oddie.

En dimension impair, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme ne peut pas être égal à X²+X+1.
Deux cas sont alors possibles :

Premier cas :
X²+X+1 est irréductible sur K, alors le polynôme caractéristique de n'importe quel endormorphisme f admet un diviseur irréductible P ne différent de X²+X+1 et ne divisant pas X²+X+1.
On sait alors que P divise le polynôme minimal de f, donc que f n'est pas annulé par X²+X+1.
Dans ce cas, il n'existe pas d'endomorphisme tel que tu le demande.

Deuxième cas :
X²+X+1 n'est pas irréductible sur K.
X²+X+1=PQ avec P et Q irréductibles
Il suffit alors de prendre une matrice ayant pour polynôme caractéristique P^a*Q^b avec a+b=n.
Tu peux alors prendre (par exemple), la matrice donnée par ericcc