Cette fonction est-elle analytique?

[invite412f80f3]

Bonjour,
Ma question est un peu bete mais je n'arrive pas à trouver la réponse.

Ma question est: La fonction définie par définie sur
est-elle analytique?

Merci bien davantage pour vos remarques et commentaires.

Dhahri
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Oui, c'est analytique, mais il y a un pôle en 0. Pour le voir, tu peux par exemple prouver que la série entière converge au voisinage de chaque point x non nul, ou plus simplement, définir la fonction racine sur un voisinage complexe de la demi-droite réélle et montrer que la fonction racine est holomorphe sur cette extension.

PS: Au fait, être analytique sur un intervalle réél I, ce serait pas équivalent à l'existence d'un prolongement holomorphe sur un voisinage complexe de I ?
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rvz

[invite35452583]

PS: Au fait, être analytique sur un intervalle réél I, ce serait pas équivalent à l'existence d'un prolongement holomorphe sur un voisinage complexe de I ?
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rvz

D'après mes souvenirs, oui.
D'après mes souvenirs on a aussi si f est analytique en x avec f'(x) différent de 0 alors f^(-1), qui est toujours défini sur un voisinage de f(x), est analytique en f(x).

[invite4ef352d8]

oui, etre analytique c'est équivalent a etre prolongeable en une fonction holomorphe (tres simplement, si f est prolongeable en une fonction holomorphe alors elle est dévelopable en série entiere, et si f est dévelopable en série entière alors on peut la prolonger a C par sa serie entière...)



et sinon la singularité en 0 n'est pas un pole. (si c'etait un pole, on pourait la prolonger au voisinage de 0 dans C... ce qui n'est pas le cas)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

D'accord avec toi Ksilver. C'est ce que je me suis dit juste après avoir posté.

Et effectivement 0 n'est pas un pole...

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rvz