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[Oral] un exercice sympa



  1. #1
    Gwyddon

    [Oral] un exercice sympa


    ------

    Salut à tous !

    Je vous propose un exercice de révision que j'ai eu ce matin et que je trouve assez intéressant.

    Soit K un compact non vide de P plan affine euclidien. Démontrer qu'il existe un unique disque fermé de rayon minimal qui recouvre K.

    Voilà, amusez-vous bien

    -----
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  2. #2
    µµtt

    Re : [Oral] un exercice sympa

    Salut,

    Intéressant en effet

    Une tentative :

    Soit R = inf { r > 0, il existe C, Bf(C,r) contient K } (l'ensemble est non vide car K est borné)
    soit C(n) et r(n) tq Bf(C(n), r(n)) contient K et r(n) -> R et R <= r(n) <= R+1/n (existe par définition de R)
    C(n) est contraint dans un compact donc admet une sous-suite convergente (qu'on va appeller encore C(n) parce qu'on est fainéant ) -> C
    Alors B(C,R) est ce qu'on cherche :
    soit eps > 0, on prend C(n) à eps/2 de C, avec n > 2/eps. Par l'inégalité triangulaire, K est contenu dans Bf(C,R+eps).
    Comme c'est vrai pour tout eps ....

    Pour l'unicité il suffit de faire un dessin. S'il y a deux disques qui marchent, le disque dont le diamétre est sur les deux points d'intersections des deux disques marchent avec un diamétre < aux deux autres.

    Au passage je vois pas pourquoi ça marcherait pas dans R^n.
    Dernière modification par µµtt ; 26/05/2005 à 17h21.

  3. #3
    Gwyddon

    Re : [Oral] un exercice sympa

    Bien joué

    Effectivement ça marche dans tout espace euclidien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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