Salut à tous !
Je vous propose un exercice de révision que j'ai eu ce matin et que je trouve assez intéressant.
Soit K un compact non vide de P plan affine euclidien. Démontrer qu'il existe un unique disque fermé de rayon minimal qui recouvre K.
Voilà, amusez-vous bien
Salut,
Intéressant en effet
Une tentative :
Soit R = inf { r > 0, il existe C, Bf(C,r) contient K } (l'ensemble est non vide car K est borné)
soit C(n) et r(n) tq Bf(C(n), r(n)) contient K et r(n) -> R et R <= r(n) <= R+1/n (existe par définition de R)
C(n) est contraint dans un compact donc admet une sous-suite convergente (qu'on va appeller encore C(n) parce qu'on est fainéant) -> C
Alors B(C,R) est ce qu'on cherche :
soit eps > 0, on prend C(n) à eps/2 de C, avec n > 2/eps. Par l'inégalité triangulaire, K est contenu dans Bf(C,R+eps).
Comme c'est vrai pour tout eps ....
Pour l'unicité il suffit de faire un dessin. S'il y a deux disques qui marchent, le disque dont le diamétre est sur les deux points d'intersections des deux disques marchent avec un diamétre < aux deux autres.
Au passage je vois pas pourquoi ça marcherait pas dans R^n.
Bien joué
Effectivement ça marche dans tout espace euclidien
