Point dans un plan ? -avec le moins de calculs possibles...-

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous !

Je vous présente mon problème :
montrer avec le moins de calculs et d'équations possibles que un point est dans un plan

Soient : A, B, et C qui forment un plan ---> (ABC)
et H, appartient-il à (ABC) ?

est ce que si je trouve X et Y dans IR tels que :
AH=X.AB+Y.AC (en vecteurs bien sûr), je montre que H est dans le plan ?

et est-ce que si X et Y [tels que AH=X.AB+Y.AC] n'existent pas je montre que H n'appartient pas à (ABC) ?

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parce que c'est embêtant de passer par la recherche d'un vecteur normal, etc ... c'est pas bien difficile ni bien long, mais si on peut trouver plus simple, ça varie les méthodes
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Merci à tous !
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[martini_bird]

Salut,

est ce que si je trouve X et Y dans IR tels que :
AH=X.AB+Y.AC (en vecteurs bien sûr), je montre que H est dans le plan ?

Oui!

et est-ce que si X et Y [tels que AH=X.AB+Y.AC] n'existent pas je montre que H n'appartient pas à (ABC) ?

Oui!

De manière synthétique: H appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux réels x et y (non simultanément nuls) tels que
.

Cordialement.

PS: prends l'habitude d'utiliser les minuscules pour les scalaires et les majuscules pour les points.

[Romain-des-Bois]

Merci pour ta réponse si précise et rapide Martini !!!

De manière synthétique: H appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux réels x et y (non simultanément nuls) tels que
.

Mais pourquoi ? - ou est-ce la définition ? -

PS: prends l'habitude d'utiliser les minuscules pour les scalaires et les majuscules pour les points.

OK, j'y penserai, merci !

[martini_bird]

Mais pourquoi ? - ou est-ce la définition ? -

Je ne sais pas quelle est la définition du plan qui t'a été présentée.
Mais, en attendant, je te laisse méditer sur l'analogue en 2D:

H appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un réel x tel que
.



PS: la condition "x et y non simultanément nuls" est complétement superflue!

PPS: il y a parfois plusieurs définitions possibles en maths, mais celà reste cohérent, of course!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Brikkhe]

Lut,

t'as pas les représentations paramétriques du plan et de tes droites?

@pluche!

[invite0f5c0a62]

tu connais déjà un cas le plan orthonormé (O,I,J) tu écris tous les points M du plan comme OM = xOI + yOJ, et ben là c'est pareil sauf que c'est ni ortho (angle quelconque entre AB et AC mais tel que A,B et C non alignés sinon ça fait pas un plan) ni normé (norme de AB différente de celle de AC) ce qui ne change pas grand chose si x et y sont dans RxR - {0,0} (d'ailleurs, le cas x = y = 0 n'est pas si grave, c'est juste A = H donc H est dans le plan aussi)

[Romain-des-Bois]

OK !!! Merci beaucoup à tous !!!

Lut,

t'as pas les représentations paramétriques du plan et de tes droites?

@pluche!

Non les seules infos que j'ai sont les coordonnées de 3 points du plan.

[Brikkhe]

Ok, c'est dommage, ce serait tout simple! tu as deja fait les représentations paramétriques?
Nous on vient de faire le cours (en Tal) on doit pouvoir retrouver la représentation paramétrique avec les 3 points.

Sur ce, @pluche!

[Romain-des-Bois]

Ok, c'est dommage, ce serait tout simple! tu as deja fait les représentations paramétriques?
Nous on vient de faire le cours (en Tal) on doit pouvoir retrouver la représentation paramétrique avec les 3 points.

Sur ce, @pluche!

Ouais, ça fait 3 mois qu'on l'a faite la géom dans l'espace, donc je sais faire les RP et tout ça. Mais je voulais savoir si pour ce calcul, je n'avais pas besoin de trouver une équation du plan...

En plus en spé maths, dans les exos d'annales sur la géom, il y a toujours des questions de ce type.

[invitebf65f07b]

Soient : A, B, et C qui forment un plan ---> (ABC)
et H, appartient-il à (ABC) ?

pour ce genre de question, moi j'avais l'habitude de faire un produit vectoriel puis un produit scalaire...
ça marche que en 3D mais c'est pas compliqué.

[invite0f5c0a62]

Non les seules infos que j'ai sont les coordonnées de 3 points du plan.

mm tu as ces coordonnées dans le plan (O,i,j) ou l'espace (O,i,j,k) ?

[Romain-des-Bois]

mm tu as ces coordonnées dans le plan (O,i,j) ou l'espace (O,i,j,k) ?

Ben (O,i,j,k) bien sûr, sinon, quel intérêt ?

[invite0f5c0a62]

En fait la formule (1) AH = xAB + yAC est peut être la plus simple, mais je sais pas si c'est celle qui occasionne le moins de calcul.

En fait j'ai trouvé aussi un truc tout bête avec la définition du barycentre (dont on peut aussi extraire la forumule (1)) où l'on peut résoudre le problème à savoir si le déterminant d'une matrice 3x3 est non nul, H est dans le plan (mais peut être que les matrices ne sont pas aux programmes, dans ce cas oublie ce que je t'ai dis)

Dans tous les cas essaie de considérer que H est un bar de A,B,C et de retrouver ta formule, c'est un moyen efficace de la démontrer.

Ensuite pour trouver x et y tu dois avoir un système à résoudre.

(mais perso je préfère ma méthode matricielle)

[Romain-des-Bois]

les matrices ne sont pas aux programmes

Et oui ...

Mais je vais m'intéresser à ce que tu m'as dit !

Merci bien !