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Théoreme du point fixe (du moins une variante)



  1. #1
    prgasp77

    Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Bonjour à tous, je plenche sur une démonstration niveau TS. Voici l'ennoncé :
    Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=1 et f(1)=0.
    Démontrez qu'il existe au moins un point fixe sur [0;1].
    Je ne vous demande pas de me le faire, juste de m'aider un peu, m'aiguiller ... Je precise que la demonstration ne doit pas etre intuitive mais absolue (il faut demontrer par analyse).

    Merci.

    -----

    --Yankel Scialom

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  3. #2
    Antikhippe

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Salut,

    Je ne vois pas trop : f est une fonction continue sur [0;1] signifie qu'elle est dérivable sur [0;1]. Il doit falloir s'en servir mais je ne vois pas comment...
    Ensuite, un point fixe x est tel que f(x) = x c'est-à-dire que c'est le point d'intersection de la première bissectrice et de la courbe représentative de f.

  4. #3
    penelope

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    salut
    essaie d'utiliser la fonction h tq h(x)=f(x)-x
    ( valeur en 0, valeur en 1, conclusions ...)

  5. #4
    penelope

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    [QUOTE=Antikhippe]Salut,

    f est une fonction continue sur [0;1] signifie qu'elle est dérivable sur [0;1].

    c'est faux.... si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I, mais la réciproque est fausse. Par exemple la fonction valeur absolue est continue sur R et non derivable en 0..

    mais pas besoin de derivabilite dans cet exo.

  6. #5
    Futura Moi

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    faut aussi utiliser le théoreme des valeurs intermédiaire

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    prgasp77

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Citation Envoyé par penelope
    salut
    essaie d'utiliser la fonction h tq h(x)=f(x)-x
    ( valeur en 0, valeur en 1, conclusions ...)
    Exact merci a tous.

    Soit h : x |--> f(x) - x
    comme f(0) = 1 et f(1) = 0, h(0) = 1-0 = 1 et h(1) = 0 - 1 = -1
    Deplus, f et x |--> -x sont continues, d'ou h, la somme de ces deux fonctions est cntinue.

    h est donc une fonction continue vérifiant h(0) = 1 et h(1) = -1
    Il existe donc au moins une valeur de x telle que h(x) = 0 <=> f(x)-x = 0 <=> f(x) = x CQFD
    --Yankel Scialom

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Salut,

    Essaie de faire un dessin! Peux-tu tracer cette fonction sans qu'elle ne coupe la droite y=x?

    Pour une démonstration, quels sont les outils dont tu disposes(continuité, théorème des valeurs intermédiaires, ou autres)?

  11. #8
    prgasp77

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Citation Envoyé par prgasp77
    Je precise que la demonstration ne doit pas etre intuitive mais absolue (il faut demontrer par analyse).
    Je l'ai bien entendu pensé, mais ca ne peut etre une demonstration.
    --Yankel Scialom

  12. #9
    martini_bird

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Je crois que nos posts se sont croisés...

  13. #10
    prgasp77

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    en effet
    --Yankel Scialom

  14. #11
    martini_bird

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    Supposons donc connu le théorème des valeurs intermédiaires cher à prgasp77
    Le problème revient à étudier l'intersection de f et de la bissectrice g: x->x. En posant h=f-g, on doit pouvoir lui appliquer le "TVI"...

  15. #12
    shokin

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    f et g sont deux fonctions continues sur [0;1]

    f l'est de (0;1) à (1;0)
    g l'est de (0;0) à (1,1)

    S'il n'existait pas de point d'intersection (si elles ne se croisaient pas), ... (pas si évident que ça)

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  17. #13
    penelope

    Re : Théoreme du point fixe (du moins une variante)

    c'est le même problème,
    en posant cette fois-ci h=f-g

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