Explicitation d'une suite : Utilisation du point fixe

[invite122a3db2]

Salut,

Pour notre chapitre concernant les "Suites Réelles", on a vu en TD comment procéder pour l'étude de suites simples .

Concrètement, voici un exemple traité en classe :

"Etudiez la suite définie par : U₀ = -5 et U_n+1 = 2U_n+3"

Etape 1 : On prend la fonction qui interpole U_n, soit ici f(x) : x 2x+3

On trace son graphe ainsi que la droite d'équation y = x, puis on note sur le graphe les termes de la suite U_n.

Etape 2 : On a montré par récurrence que U est définie sur IN à valeurs dans Z . Pas de problèmes ici.

Etape 3 : Par un autre raisonnement par récurrence, on montre cette fois que U est décroissante. La aussi c'est OK.

Etape 3 : On arrive à l'explicitation de la suite ! C'est ici que je comprends pas tout ...

- On cherche tout d'abord le point fixe, en resolvant l'équation f(x) = x. Pour notre exemple, f(x) = x 2x + 3 = x x = -3

- Ensuite, on pose : U_n = V_n + Avec le point fixe.
On a donc V_n = U_n + 3

Par contre, de la, le prof note direct que " V est géométrique de raison 2" Comment remarque - t -il desuite cela ?

On voit alors : U_n+1 = 2U_n + 3 -3 = 2(-3) + 3 U_n+1 + 3 = 2(U_n) + 3 V_n+1 = 2V_n

Je ne voie pas trop comment on a pu affirmer que U_n+1 = 2U_n + 3 -3 = 2(-3) + 3 ( je parle de l'équivalence ). Je voie par contre qu'on a ensuite soustrait membre à membre pour en arriver à U_n+1 + 3 = 2(U_n) + 3) V_n+1 = 2V_n Mais étant donné qu'on a U_n+1 + 3 = 2(U_n) + 3) pourquoi n'arrive t on pas à V_n+1 + 3 = 2V_n ?

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci beaucoup bon week end
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[inviteae1ed006]

Pour ta première question :
donc

[invite122a3db2]

Merci Tize ... Ca parait évident maintenant

[invite122a3db2]

Euh autre petite question :

On demande ensuite de calculer S_n = U_k ^k+1k+1( n + 1 )

Je ne comprends pas comment on arrive à la partie soulignée ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae1ed006]

est geometrique de raison 2 et donc d'autre part donc et

[invite122a3db2]

Merci beaucoup Tize. Je pensais stupidement que comme "-3" ne possedait pas la variable k ( ou n ) le fait qu'elle figure en tant que somme ne l'affecterait pas, ce qui était manifestement faux !

C'est fou comme mes questions me paraissent débiles les réponses en main..