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point fixe



  1. #1
    yonyon

    point fixe


    ------

    Bonjour, j'ai un problème pour l'exercice suivant:

    Soit f [0,1] -->[0,1] une application croissante telle que f (0) différent de 0. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe x appartenant à[0,1] tel que f (x) = x. On dit que x est un point fixe de f.

    Soit A = {x appartenant à [0,1], f (x) > x}.
    1. Montrer que A possède une borne supérieure et que cette borne est dans [0,1].
    Je ne vois pas top ce qu'il y a à faire puisque a est une partie de l'ensemble de définition de f qui est [0;1], A est donc majorée et A est non vide puisque f(0)différent de 0 mais f(0) appartient à [0;1] donc f(0)>0 donc 0 appartient à A.

    2. Posons a = sup A. Démontrer les implications suivantes

    (a) f(a) > a implique [a , f(a)[ est inclus dans A.

    Je ne vois pas trop comment m'y prendre, je vois bien pourquoi a est dans l'intervalle A mais je comprends moins pourquoi l'intervalle ouvert jusqu'à f(a) l'est aussi. J'ai alors fait un dessin mais sur ce dessin, je vois tout de suite que f(a)=a , mais ça ne m'aide pas.

    (b) f (a) < a implique] f (a),a] inter A = l'ensemble vide
    Pour cette question, c'est la même chose, un dessin ne m'éclaire pas.

    3. En déduire que f (a) = a.
    Cela semble tellement évident à partir des deux implications précédentes que je ne vois pas comment le rédiger : on n'a ni f(a)>a, ni f(a)<a , on a alors f(a)=a.

    Intuitivement, je comprends bien ce qui se passe : si a=sup(A) on a alors f(a+)<(ou égal) à a puisque a+ n'appartient pas à A, en revanche, on a f(a-)> a puisque a- appartient à a, on a ainsi f(a)=a, mais je ne vois pas comment montrer ça comme on me le demande.

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : point fixe

    Déjà démontrer que f(0)<0 et ensuite étudier la variation de f(x) - x.

  4. #3
    kolehe

    Re : point fixe

    bonjour

    pour le a) soit x dan [a , f(a)[ (qui est non vide hipotese ) ; a<= x <f(a) donc f(a)<= f(x) (croissance de f ;
    or x< f(a) donc x<f(x) ie x dan A ;

    pour le b) par l'absude :
    sit x dans ]f(a) , a] et dan A , donc f(a)<x<=a entraine f(x) <=f(a) et f(x)>x (ie x dan A) donc x<f(a) absurde .
    donc cette intersection est vide .

    c)
    si f(a) differan de a :
    alors . soit f(a) < a au quel cas par b) ]f(a), a] int A = vide (contredi que a soit le sup) absurde !
    . soit f(a) > a u quel cas par a) [a , f(a)[ dan A (contredi que a soit le sup de A) absurde !


    atention dans ton raisonement a+ ........... ; et dans la 1ere indication , car ici f nest pas supposer continue !

  5. #4
    GuYem

    Re : point fixe

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Déjà démontrer que f(0)<0 et ensuite étudier la variation de f(x) - x.

    Oui attention Jeanpaul tu es allé un peu vite.

    ici l'hypothèse n'est pas f continue comme on a l'habitude mais bien f croissante ; pas forcément continue.
    La méthode de Koléhè est jolie
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : point fixe

    Exact mais je me demande si on ne pourrait pas démontrer que la fonction est continue, ou alors un contre-exemple ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GuYem

    Re : point fixe

    Bin non la fonction n'est pas continue.

    La seule hypothèse c'est qu'elle est croissante, un contre exemple d'une fonction croissante et non continue ca doit se trouver, par exemple x->E(x).
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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