point fixe

[invite0f0e1321]

Bonjour, j'ai un problème pour l'exercice suivant:

Soit f [0,1] -->[0,1] une application croissante telle que f (0) différent de 0. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe x appartenant à[0,1] tel que f (x) = x. On dit que x est un point fixe de f.

Soit A = {x appartenant à [0,1], f (x) > x}.
1. Montrer que A possède une borne supérieure et que cette borne est dans [0,1].
Je ne vois pas top ce qu'il y a à faire puisque a est une partie de l'ensemble de définition de f qui est [0;1], A est donc majorée et A est non vide puisque f(0)différent de 0 mais f(0) appartient à [0;1] donc f(0)>0 donc 0 appartient à A.

2. Posons a = sup A. Démontrer les implications suivantes

(a) f(a) > a implique [a , f(a)[ est inclus dans A.

Je ne vois pas trop comment m'y prendre, je vois bien pourquoi a est dans l'intervalle A mais je comprends moins pourquoi l'intervalle ouvert jusqu'à f(a) l'est aussi. J'ai alors fait un dessin mais sur ce dessin, je vois tout de suite que f(a)=a , mais ça ne m'aide pas.

(b) f (a) < a implique] f (a),a] inter A = l'ensemble vide
Pour cette question, c'est la même chose, un dessin ne m'éclaire pas.

3. En déduire que f (a) = a.
Cela semble tellement évident à partir des deux implications précédentes que je ne vois pas comment le rédiger : on n'a ni f(a)>a, ni f(a)<a , on a alors f(a)=a.

Intuitivement, je comprends bien ce qui se passe : si a=sup(A) on a alors f(a+)<(ou égal) à a puisque a+ n'appartient pas à A, en revanche, on a f(a-)> a puisque a- appartient à a, on a ainsi f(a)=a, mais je ne vois pas comment montrer ça comme on me le demande.

Merci d'avance pour votre aide
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[Jeanpaul]

Déjà démontrer que f(0)<0 et ensuite étudier la variation de f(x) - x.

[invite7b4d0bb1]

bonjour

pour le a) soit x dan [a , f(a)[ (qui est non vide hipotese ) ; a<= x <f(a) donc f(a)<= f(x) (croissance de f ;
or x< f(a) donc x<f(x) ie x dan A ;

pour le b) par l'absude :
sit x dans ]f(a) , a] et dan A , donc f(a)<x<=a entraine f(x) <=f(a) et f(x)>x (ie x dan A) donc x<f(a) absurde .
donc cette intersection est vide .

c)
si f(a) differan de a :
alors . soit f(a) < a au quel cas par b) ]f(a), a] int A = vide (contredi que a soit le sup) absurde !
. soit f(a) > a u quel cas par a) [a , f(a)[ dan A (contredi que a soit le sup de A) absurde !


atention dans ton raisonement a+ ........... ; et dans la 1ere indication , car ici f nest pas supposer continue !

[GuYem]

Déjà démontrer que f(0)<0 et ensuite étudier la variation de f(x) - x.

Oui attention Jeanpaul tu es allé un peu vite.

ici l'hypothèse n'est pas f continue comme on a l'habitude mais bien f croissante ; pas forcément continue.
La méthode de Koléhè est jolie

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Exact mais je me demande si on ne pourrait pas démontrer que la fonction est continue, ou alors un contre-exemple ?

[GuYem]

Bin non la fonction n'est pas continue.

La seule hypothèse c'est qu'elle est croissante, un contre exemple d'une fonction croissante et non continue ca doit se trouver, par exemple x->E(x).