Allo,
Je cherche le moyen de prouver que tout espace de Banach séparable contient un sous ensemble dont l'intérieur est vide et qui est de seconde catégorie.
Voici ce que j'ai pour le moment: Si X est un espace séparable de Banach, alors il contient et sous ensemble B dense dans X. Posons A = X \ B. Alors l'intérieur de A est vide. Mais il me reste à montrer que A est de seconde catégorie...
Merci de me donner vos idée
Pour toi, séparable signifie "contient une partie dénombrable et dense" je suppose ? C'est peut-être un caractère que possède B, parce que sinon, dire qu'un espace (topologique quelconque) contient une partie dense, c'est bête comme chou, il se contient lui-même.
Quelle est ta définition de "de seconde catégorie" ?
Je crois que tu auras besoin du lemme de Baire (équivalent, si je me souviens bien à l'axiome du choix); il est valable pour les espaces de Banach:
http://www.les-mathematiques.net/c/a/b/node4.php3
Voici les quelques définitions nécessaire pour comprendre le problème:
Premièrement: Oui, désolé, un espace de Banach est séparable s'il contient un ensemble dense et dénombrable.
Un sous espace A est de premiere catégorie s'il peut s'écrire comme une union dénonbrable d'ensembles rares. Il est de seconde catégorie s'il n'est pas de première catégorie.
Un ensemble est dit rare, s'il n'est pas dense dans aucun ouvert de l'espace.
Pour ce qui est de la solution, je crois que j'ai fini par la trouver. Par le théorème des catégories de Baire, on sait que l'espace tout entier X est de seconde catégorie car il est complet. Comme il est séparable, on sait qu'il contient un sous ensemble B dénonbrable et dense. Comme il est dénombrable, il doit être de première catégorie car les singletons sont rares. Comme il est dense on sait que l'intérieur de son complément est vide. Considérons maintenant A sont compléments. Supposons qu'il est de première catégorie, alors on peut écrire A et B comme union dénonbrable d'ensembles rares, donc on peut aussi écrire X comme union dénonbrable d'ensemble rare, donc X est de première catégorie, ce qui est une contradiction. Donc A est de seconde catégorie.
