La Nouvelle Arithmétique

[Mahow]

Bonjour, j'aimerais rédiger un article de Vulgarisation pour mes Professeurs de Mathématiques (ayant tous leur CAPES)...

Pour cela j'ai besoin d'informations précises (que je recherche depuis fort longtemps sur Google, en vain ...)

Que voici :

Premièrement, je cherche ce que l'on entend par Rang d'une Courbe Elliptique (sur Q) ? (lié à la conjecture de Shimura - Taniyama - Weil)

Secondo : Comment on a été amené à introduire les Formes Modulaires en représentation paramétrique des Courbes Elliptiques ?

Troisio (mdr) : Peut on me citer les Grandes Lignes du Théorème de Ribet (qui est quand même une clé essentielle de la démonstration du Dernier Théorème de Fermat - Wiles...) ?

Casio (je délire je crois) : Où trouver en Français la Démonstration de la Conjecture STW par Andrew Wiles dans le cas des Courbes Elliptiques Semi - Stable ?

Cinkio : Mon livre a l'air de dissocier Niveau d'une forme Modulaire associée à une courbe elliptique, et Formes Modulaires dans la Representation Paramétrique de la Courbe. Peut on me dire la différence de ces deux termes ?
Si il y en a effectivement une, le niveau associé, est ce le rang de la courbe ?

Voilà, Merci à quiconque me fournira les réponses


Tyndra.

PS : Pour le passage de L'Arithmétique aux Courbes elliptiques je ne vois pas comment l'expliquer à mes profs, de plus je n'ai aucun document y faisant référence ... Voilà ...
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[invitec053041c]

Oh salut Tyndra !
Pas de faux espoirs, je n'ai toujours pas de réponse à ta question .

[Mahow]

Au moins, ça avance (à la façon "epsilon" mais ça avance XD)

Si on a besoin d'une précision sur un point de mes questions, pas de Problèmes ! (Ce que je pose peut parraitre vague ...)

[invite986312212]

salut,

tu as vu cette page? http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve

sinon, il y a un bouquin de Stewart et Tall: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem qui donne une idée de la démonstration de Wiles du théorème de Fermat. Mais c'est du niveau L3/M1 je pense.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !


qu'entend tu tu par paramétrisation des courbes elliptique par des forme modulaire ?

moi ce que j'apelle paramtrisation ce fait plutot avec les fonction elliptique.

[Mahow]

Non non je dis bien Pamatrésiation PAR des formes Modulaires...

[invite4ef352d8]

tu peut donner un exemple ?

[Mahow]

Euh non Malheureusement

Par contre, si tu vas voir la Conjecture de Tanyama tu auras des informations à ce Propos, ou alors va voir le Théorème de Wiles...

Je n'ai pas trouvé d'exemple..

[invite4793db90]

Salut,

Premièrement, je cherche ce que l'on entend par Rang d'une Courbe Elliptique (sur Q) ? (lié à la conjecture de Shimura - Taniyama - Weil)

Pour moi, c'est le rang du groupe de Mordell-Weil associé à cette courbe elliptique.

Secondo : Comment on a été amené à introduire les Formes Modulaires en représentation paramétrique des Courbes Elliptiques ?

Une manière simple de voir la chose est d'étudier les intégrales elliptiques et de constater que les "modules" (K et K') de ces intégrales vérifient de nombreuse symétries.
Plus savamment, une courbe elliptique sur C est en fait un tore, autrement dit le quotient de C par un réseau, et ces réseaux sont précisément classifiés par le groupe modulaire H/SL(2,Z) (H étant le demi-plan de Poincaré). D'où le lien.

Troisio (mdr) : Peut on me citer les Grandes Lignes du Théorème de Ribet (qui est quand même une clé essentielle de la démonstration du Dernier Théorème de Fermat - Wiles...) ?

Non.

Cinkio : Mon livre a l'air de dissocier Niveau d'une forme Modulaire associée à une courbe elliptique, et Formes Modulaires dans la Representation Paramétrique de la Courbe. Peut on me dire la différence de ces deux termes ?
Si il y en a effectivement une, le niveau associé, est ce le rang de la courbe ?

Euh, je crois qu'il y a confusion dans l'utilisation du mot "paramètre" : il ne s'agit pas de représentation de courbe paramétrique comme par exemple (t, t^2) pour une parabole. C'est àmha à prendre au sens de plus haut, càd qu'on a un "espace de paramètres" ou de "modules".

Et sinon, le niveau N d'une forme modulaire correspond à une "réduction" modulo N du groupe modulaire.

Bref, c'est un p'tit peu très compliqué et ça ne risque pas de tenir en un post !
Tu pourras cependant trouver pas mal de matériel (dont des éléments concernant STW et le théorème de Ribet) dans le bouquin d'Hellegouarch.

Cordialement.

[Mahow]

Merci Beaucoup Martini Bird.

[invite4793db90]

Je t'en prie.

Et surtout n'hésite pas à poser des questions, car je me rends compte que ma réponse n'était guère détaillée (mais j'ai au moins pour excuse que le sujet est difficile ).

Cordialement.