arithmétique

[invitedc474eb1]

bonjour j ai un probleme sur ces questions

pour tout entier n =>2 on note (En) l equation x^2=-1 mod n
soit p un nombre premier et n=p^k k dans N*

on suppose que p= 1 mod 4
on sait que (Ep) possede une soltuion (je l ai demontrer precedement). On va montrer qu il en est de meme pour n=p^k .On suppose qu il existe x tel que x^2=-1 mod p^k
on cherche donc a montrer qu il existe y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)
1a) expliquer pourquoi il est raisonnable de poser y=x+u*p^k avec u dans Z

1b) soit v tel que x^2=-1+vp^k. Montrer que pour que y convienne, il suffit de prendre u tel que 2*u*x=-v mod p

1c) Montrer qu il existe bbien y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)ue
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[invite35452583]

Bonsoir,

1)a) quelle équation y vérifie(rait)-t-elle aussi ?
1)b) il suffit de développer la forme adoptée pour y au 1)a) , utiliser les deux hypothèses concernant x, et le fait que 2k>=k+1
1)c) déduction sans grande difficulté du 1)b)

Cordialement

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour compléter ce que dit homotopie. Il s'agit du theoreme de Hensel, fait dans les premieres pages du Cours d'arithmétique de Serre, par exemple. Aussi fait dans un sujet d'agreg, disons 2004, dans le cadre d'une résolution matricielle AX = B modulo n.

Sinon, la clé est surtout le binome de Newton, ou la formule de Taylor pour les polynomes, c'est selon.

NB : Il y a des problemes si p = 2 je crois.

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rvz

[GuYem]

Salut,

Pour compléter ce que dit homotopie. Il s'agit du theoreme de Hensel, fait dans les premieres pages du Cours d'arithmétique de Serre, par exemple. Aussi fait dans un sujet d'agreg, disons 2004, dans le cadre d'une résolution matricielle AX = B modulo n.

Sinon, la clé est surtout le binome de Newton, ou la formule de Taylor pour les polynomes, c'est selon.

NB : Il y a des problemes si p = 2 je crois.

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rvz

A qui le dis-tu Et il y a en effet des problèmes pour p=2 ...
Bon courage benoist

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Cela dit, dans Z/2^n Z, il doit quand meme etre possible de resoudre des equations sans trop se prendre la tete (par exemple en essayant tout ), avec un raisonnement un peu différent. Mais peut-être qu'homotopie est plus à même de suggérer une méthode efficace.

__
rvz

[invite35452583]

Cela dit, dans Z/2^n Z, il doit quand meme etre possible de resoudre des equations sans trop se prendre la tete (par exemple en essayant tout ), avec un raisonnement un peu différent. Mais peut-être qu'homotopie est plus à même de suggérer une méthode efficace.

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rvz

Ben c'est qu'homotopie s'est contenté de répondre au problème posé.
On est ici restreint au problème p congru à 1 modulo 4, d'où l'existence de x pour le cas p^1. (j'y reviens)
Ici, la question posée est l'extension, avec p impair de surcroît, par récurrence à p^k et ça c'est la partie facile. (1 a)->c) sont des questions qui n'ont rien de bien difficile)

Sinon p=2, (Z/2^n.Z)* est iso à Z/2ZxZ/(2^(n-2)Z) il y a 4 solutions à l'équation. C'est le (2^k +/-1) congru à 1=-1 modulo 2.
p impair (Z/p^k.Z)* est iso à (Z/(n-1)Z)x(Z/(p^(k-1))Z)
la seconde partie est (1+p)^h congru à 1 ssi p^(k-1) divise h (avec utilisation du binôme de Newton), la première partie vient du fait que (Z/pZ)* est un corps commutatif, travail sur polynômes x^k-1, cyclotomiques... qui limite le nombre d'éléments d'ordre plus petit que n-1). Celle-ci donne une éventuelle racine à -1 ou non : la condition est qu'il y ait un élément d'ordre, ce qui en implique 2. Tout ceci est plus délicat mais ce n'est pas demandé ici.

[invitedc474eb1]

bonsoir
desole de repondre si tard mais j ai eu enormement de travaille!
J ai reussi a faire les question b et c mais je bloque toujours sur la a
pourriez encore m aider
merci d avance.

[invite35452583]

bonjour,

il existe x tel que x^2=-1 mod p^k...
a montrer qu il existe y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)
1a) expliquer pourquoi il est raisonnable de poser y=x+u*p^k avec u dans Z

En modulo p^k, combien y a-t-il de solutions possibles ? Comment sont-elles reliées entre elles ?
Et maintenant si y est solution de l'équation en modulo p^(k+1) que peut-on dire de y par rapport à l'équation en modulo p^k ? Quel liens possibles entre x et y, pourquoi la forme donnée n'a rien d'extravagant ?

Cordialement

[invitedc474eb1]

je pense avoir une idee .Merci beaucoup homotopie