partie bornée

[invitee75a2d43]

Bonjour,

bon j´ai honte mais faut quand même que je demande: j´arrive pas à trouver la définition précise d´une partie bornée. Ou plutôt si, mais je doute:

Une partie bornée est contenue dans une boule ouverte ou fermée.

Bon cela suppose tout d´abord qu´on se trouve dans un espace métrique. Mon problème est le suivant: Je trouve le théorème:

Les parties compactes de IR sont les parties fermées et bonées.

La je comprende pas car il me semble que l´un implique l´autre. En effet, dans les deux cas il s´agit d´intervalles fermés. Une partie fermée de IR est un intervalle fermé et une partie bonée de IR est un intervalle fermé.

Me goure-je ou delire-je?

merci d´avance

christophe
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[invite43918a89]

Salut
je croie que c'est ça
]A,B[ de A à B en incluant A et B
[A,B] de A à B en excluant A et B

[invite88ef51f0]

Salut,

La je comprende pas car il me semble que l´un implique l´autre. En effet, dans les deux cas il s´agit d´intervalles fermés. Une partie fermée de IR est un intervalle fermé et une partie bonée de IR est un intervalle fermé.

Ça tombe bien, le théorème te dit que c'est la même chose dans R (d'ailleurs c'est la même chose tant que tu es en dimension finie).

Pour moi, bornée ça veut dire qu'il existe une borne supérieure à la distance entre deux points de ton ensemble.

[invite78df7f0b]

Salut,
je pense que Christophe veut dire que selon lui fermé<=>borné dans R. Ce ci est manifestement faux, aucune des deux implications n'est vraie:
par exemple [0,1[ est borné mais pas fermé, et [0,+infini[ est fermé mais pas borné.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecab9a730]

Bonjour,

bon j´ai honte mais faut quand même que je demande: j´arrive pas à trouver la définition précise d´une partie bornée. Ou plutôt si, mais je doute:

Une partie bornée est contenue dans une boule ouverte ou fermée.

Bon cela suppose tout d´abord qu´on se trouve dans un espace métrique. Mon problème est le suivant: Je trouve le théorème:

Les parties compactes de IR sont les parties fermées et bonées.

La je comprende pas car il me semble que l´un implique l´autre. En effet, dans les deux cas il s´agit d´intervalles fermés. Une partie fermée de IR est un intervalle fermé et une partie bonée de IR est un intervalle fermé.

Me goure-je ou delire-je?

merci d´avance

christophe

Salut Christophe,
Pour parler d'une partie bornée, on doit pas etre necessairement dans un espace metrique ou topologique....
Si on parle d'une borne cela veut dire qu'on déjà définit sur notre espace une relation d'ordre (Partiel ou Totale) qui verifie les trois axiomes : Transitivité , Anti-Symetrique et Reflexive.
Lorsque on est dans un espace métrique (par exemple l'ensemble des nombres réels) la relation d'orde est déjà définit par la norme induite de la metrique.
En general : une borne inferieure est le plus grand des minorants de la partie (par rapport a notre relation d'orde, sauf qu'il peut etre attent comme il ne peut pas l'etre c'est le cas de l'intervalle fermé ou ouvert respectivement.
S'il est attent on parle alors du max si c'est pas le cas on parle de l'inf.
Donc pour repondre a ta quetsion : la partie formée des éléments de la suite : Un=1/n est une partié bornée inferieurement par 0 et superieuremnt par 1 mais elle n'est ni fermé ni compacty.
Bon courage

[invited5b2473a]

Dans un espace vectoriel normé, un compact est un fermé borné si et seulement si cet espace est de dimension finie. C'est le théorème de Riesz.

[Médiat]

Lorsque on est dans un espace métrique (par exemple l'ensemble des nombres réels) la relation d'orde est déjà définit par la norme induite de la metrique.

Bonjour ergo-man,
Peux-tu m'éclairer, je ne vois pas quelle est la relation d'ordre induite pas la norme sur un espace métrique ?

Merci...

[invite986312212]

Une partie fermée de IR est un intervalle fermé et une partie bonée de IR est un intervalle fermé.

les deux assertions sont fausses:

[0,1]U[3,4] est fermé et borné mais n'est pas un intervalle.

[invite78df7f0b]

Bonjour ergo-man,
Peux-tu m'éclairer, je ne vois pas quelle est la relation d'ordre induite pas la norme sur un espace métrique ?

Merci...

Je ne vois pas non plus... Dans C, le module n'induit pas vraiment de relation d'ordre...

[invite35452583]

Une partie bornée est contenue dans une boule ouverte ou fermée.

Ceci est juste si on se limite bien aux boules classiques B(x;r)={y ; d(x,y)<r} pour les ouverts (inégalité large pour les fermées).
comme chaque boule ouverte de rayon r est inclue dans la boule fermée de même rayon et que celle-ci est inclue dans la boule ouverte est inclue dans la boule ouverte de rayon r+1 (1 pouvant être remplacé par n'importe quel réel>0). On peut prendre indifféremment comme définition : "bornée=inclue dans une boule ouverte", "bornée=inclue dans une boule fermée", "bornée=inclue dans une boule ouverte ou fermée"
A remarquer que le fait d'être inclus ou non danns une boule centrée en x est indépendant du choix de x. En effet d'après l'inégalité triangulaire B(x,r) est inclue dans B(x',r+d(x,x')) (Si y est dans B(x,r) on a : d(x',y)<=d(x,y)+d(x,x')<=r+d(x ,x') donc y est dans la boule centrée en x' sus-nommée.)
A remarquer que pour x fixé les r de la définition admettent une borne supérieure.

Une autre définition possible (celle donnée par Coincoin, deuxième ligne de son message, qui a le grand avantage de ne se référer qu'au sous-espace lui-même) est : les distances d(x,y) pour x et y dans le sous-espace sont tous majorées par une même valeur M. (Les M admettent, si la partie est non vide, eux aussi une borne supérieure appelée diamètre du sous-espace et notée d(A) le plus souvent ou encore diam(A)).
C'est équivalent d'après l'inégalité triangulaire
A inclue dans B(x,r)=>pour y et y' dans A d(y,y')<=d(y,x)+d(x,y')<=2r
Soit x dans A, d(A)<=M => A inclue trivialement dans B(x,M).

L'idée de bornée est donc qu'il n'y a pas de suite de points qui "partent à l'infini" (la distance étant le critère).

Bon cela suppose tout d´abord qu´on se trouve dans un espace métrique. Mon problème est le suivant: Je trouve le théorème:

Les parties compactes de IR sont les parties fermées et bonées.

Dis ainsi, c'est FAUX !
IR est définie comme espace topologique pas par rapport à une distance particulière. Si on prend la distance : d(x,y)=larctan(x)-arctan(y)l.
C'est bien une distance (les 3 propriétés d'une distance se vérifient aisément) qui définit les mêmes ouverts que la topologie de l'ordre (les ouverts sont engendrées par les ]a,b[). IR est bornée pour cette distance et fermée mais n'est pas compact. La notion de "borné" est une notion métrique et non topologique. (Elle dépend de la métrique).
"fermé" est une notion topologique extrinsèque (on peut être un fermé dans X mais pas dans Y : [0,1[ est fermé dans [-1;1[ mais ne l'est pas dans IR)
"compact" est une notion topologqiue intrinsèque : elle ne dépend que de l'espace lui-même : [0,1] peut se retrouver dans "n'importe quel espace" il est toujours compact (et donc fermé dans cet espace entre autres).
Le théorème dit exactement ceci : si on munit IR de la métrique la valeur absolue (ou une métrique équivalente) alors "fermée+bornée=compacte".
Ce qui se généralise en : pour tout espace vectoriel réel (ou complexe) de dimension finie normé "fermée+bornée=compacte".
Sur R on peut aussi caractériser les bornées par : A est majoré et minoré (ce qui implique si A est non vide que sup(A) et inf(A) existent dans R). Ca ne se généralise pas aux autres espaces métriques sous cette forme.
D'ailleurs la notion de borné n'est que très peu utilisée en dehors des ev réels normés.

[invitebb921944]

Bonjour.
J'ai une définition qui se rapproche un peu plus de la topologie dans mon cours.

Soit X un espace vectoriel topologique. On dit que E inclu dans X est borné si, pour tout voisinage V de l'origine, il existe t>0 tel que tE est inclu dans V.

[invitecab9a730]

Salut GryO,
Tu as raison j'ai confendu deux choses ( proche), en fait je pense que la relation d'ordre est definie par une autre relation,
mais j'arive pas a me rapeler d'elle, !
pouvez vous me la rappeller ?.
Merci

[invite35452583]

Bonjour.
J'ai une définition qui se rapproche un peu plus de la topologie dans mon cours.

Soit X un espace vectoriel topologique. On dit que E inclu dans X est borné si, pour tout voisinage V de l'origine, il existe t>0 tel que tE est inclu dans V.

Tiens je l'avais complètement oublié celle-là, il faut dire que je manipule peu la topologie des ev (pour un topologue algébriste c'est guère plus qu'un point ).

[invitee75a2d43]

Salut,
[0,+infini[ est fermé mais pas borné.

Là par contre tu me pose une colle: pourquoi un tel intervalle est-il fermé? Je croyais que tout intervalle avec infini n´est pas fermé. T´es sûr de ton truc?

christophe

[invitebb921944]

Il est fermé parce que son complémentaire dans R : ]-oo,0[ est ouvert.
Je crois que tu confonds la fermeture d'un ensemble avec sa "taille"

[invite78df7f0b]

Oui, les fermés sont par définition les complémentaires des ouverts, sachant qu'ici les ouverts dont on parle sont les ouverts engendrés par la distance habituelle sur R, ie les parties de R qui sont voisinages de tous leurs points au sens de cette distance. Tu vois bien que ]-infini,0[ est ouvert en ce sens: si tu prends un point de ]-infini,0[, tu peux trouver un intervalle ouvert qui le contient et qui est inclus dans ]-infini,0[. Ainsi son complémentaire [0,+infini[ est fermé, bien que non borné.