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Forme de Jordan



  1. #1
    Bleyblue

    Forme de Jordan


    ------

    Bonjour,

    Je suis occupé à étudier la forme de jordan et j'aimerais vous demandez si ceci est correcte :

    J'ai la matrice d'un endomorphisme (disons une 6x6) triangularisable (disons que son polynôme caractéristique est (x - 3)2(2x + 3)3(x + 1)) et donc il existe une base B telle que la matrice s'écrira :



    C'est bien ça ? Ou bien j'ai compris de travers ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Forme de Jordan

    Et, tant qu'on y est, si la matrice est diagonalisable c'est idiot d'essayer de la jordaniser car alors elle sera d'une forme plus compliquée, n'est-ce pas ?

    merci !

  4. #3
    Taar

    Re : Forme de Jordan

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message

    Salut.

    Le bloc pour la valeur propre 3 peut être celui que tu as mis, mais aussi .

    La bloc pour la valeur propre -3/2 peut être celui que tu as mis, mais aussi ou encore

    Ce qui donne six possibilités.

    Aucune des six possibilités n'est semblable à une autre.

    Toute forme de Jordan du cas diagonalisable est diagonale.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 08/10/2007 à 19h39.

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Forme de Jordan

    Diable.

    C'est compliqué comme machin.
    Mais je ne comprend pas bien, d'après ce que tu me dis la matrice dont il est question est diagonalisable. Or on ne peut pas le savoir à moins de chercher les sous-espaces propres associés aux valeurs propres.

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Forme de Jordan

    C'est exactement ça.

    Cela dit, ce que tu as gagné par cette stratégie, c'est une forme sympathique 'standard' de ta matrice (par exemple pratique pour calculer des exponentielles) et, pour obtenir cette forme, il te suffit de considérer un problème spectral.

    __
    rvz

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Forme de Jordan

    Ah oui, mais en somme "ce n'est qu'une" généralisation de la diagonalisation de matrice.

    Et sais-tu s'il est existe un moyen simple de trouver la base dans laquelle mon morphisme aura cette matrice ?

    Je suis tombé sur un topic dans lequel martini_bird proposait un liens avec une explication mais ça avait l'aire assez ardu de trouver la base.

    merci

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  10. #7
    rvz

    Re : Forme de Jordan

    Tout le problème consiste effectivement à trouver une telle base. Cela dit, ce problème se pose même quand tu diagonalises, n'est ce pas ?

    De plus, c'est un problème assez récurrent en algèbre. Par exemple, imagine qu'on te donne un réseau de R^n. Comment fait-on pour trouver des Z générateurs ?

    Ou alors un groupe type S_n (permutations), A_n, O_n, GL_n, SL_n, etc ... Pour tous ces groupes, on galère à trouver des générateurs.

    Cela dit, ce n'est pas très grave, dès qu'on connaît des éléments générateurs, même s'ils ne forment pas une base, on sait qu'il suffit de prouver les théorèmes sur ces éléments générateurs, ce qui fait _beaucoup_ moins de cas à envisager.

    __
    rvz

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Forme de Jordan

    Oui mais pour la diagonalisation il y a un algorithme simple permettant de trouver une base, ce qui ne semble pas être le cas pour la jordanisation apparament

    Mais maintenant que tu fais la remarque je n'avais jamais pensé à faire le rapprochement entre générateurs d'un groupe et partie génératrice d'un vectoriel
    On apprend tous les jours !

    merci

  12. #9
    Ksilver

    Re : Forme de Jordan

    Salut !


    Il faut commencer par cherches les sous espaces charactéristiques et une base de chaque sous espace charactéristiques.

    (le sous espaces charactéristiques associé à la valeur propres e, et ker (M-eId)^k, ou k est la multiplicité de e, soit dans le polynome minimal soit dans le polynome charactéristique)

    les sous espace charactéristique sont toujour en somme directe (d'apres le lemne de décomposition des noyaux). sur chaque espace ton application ce restreint en une application telle que (M-eId)^k = 0 ie M= eId + N, ou N est nilpotente.

    il reste plusqu'a trouver une base du sous espace charactéristique dans laquelle N à une forme de jourdan (ce que tu dois savoir faire non ? on cherche x, telle que N^(k-1) x est non nul etc..)

  13. #10
    Taar

    Re : Forme de Jordan

    Salut.

    Une des difficultés est justement que quand on se place dans ker Nk (N=M - e Id), il n'y a peut-être pas du tout de x tel que Nk-1(x) <> 0.

    Il faut donc commencer par diminuer k jusqu'à la plus grande valeur telle que, au choix (les conditions ci-dessous sont bien sûr identiques) :
    • Nk-1 <> 0
    • il existe x tel que Nk-1(x) <> 0

    Ensuite, on obtient un bloc de Jordan de taille k, qui ne couvre pas forcément tout le sous-espace caractéristique. Il faut recommencer avec ce qui reste.

    Taar.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Forme de Jordan

    Ah, merci pour les méthodes

    Je vais lire ça calmement ce soir

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