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Réduite de JORDAN



  1. #1
    Gpadide

    Réduite de JORDAN


    ------

    Bonjour, je pense avoir compris la démarche générale a suivre mais je voudrais savoir s'il y a plus rapide.
    On a un polynome caractéristique de A scindé annulateur(C.Hamilton) de A.
    On applique le théoreme de decomposition des noyaux:
    E=somme des Ker (u-a_i*id)^alpha_i= somme des Fi (def).

    On montre ensuite que chaque Fi est stable par A.

    Ensuite on introduit les endom. induits sur chaque Fi par u-a_i*id et la on construit une base de chaque Fi en sachant que les u-a_i*id sont nilpotents d'ordre alpha_i. Il reste a montrer (et c la que je galere un peu) que les Ker (u-a_i*id)^(alpha_i-1) sont strictement inclus dans les Ker (u-a_i*id)^(alpha_i).
    Pour cela la seule methode que j'aie est de calculer les matrices, de trouver le rang, puis dim de Ker et conclure mais ca peut devenir tres fastidieux a la main...
    Auriez vous un argument qui permette de l'affirmer a chaque foi (c pas tout le temps vrai dailleurs je crois)
    Merci d'avance, en espérant avoir été assez clair...

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  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : Réduite de JORDAN

    Bonjour,
    ce que l'on a pour f quelconque (simplifions l'écriture), est :
    la suite est une suite croissante pour l'inclusion (trivial)
    de plus si pour un entier n, on a alors pour tout entier p on a .
    En effet, par récurrence sur p (la propriété est vraie trivialement pour p=0 et par déf pour p=0)

    d'où (puisque l'inclusion inverse est toujours vraie)

    Pour les endomorphismess nilpotents, pour ce n on a =e.v. au complet
    Pour les endo d'un e.v. de dimension finie, ce n existe toujours.

    Dans ton problème, , on a .
    Il faut travailler avec le polynôme minimal et non le polynôme caractéristique.

  4. #3
    Gpadide

    Re : Réduite de JORDAN

    Oui mais je ne comprends toujours pas comment procéder dans un exo (je suis souvent dans le cas n=3 ou 4) pour montrer que l'inclusion est stricte

  5. #4
    Gpadide

    Re : Réduite de JORDAN

    JE crois qu'il existe une methode plus directe qd mm...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Réduite de JORDAN

    Bonjour, désolé de revenir a la charge mais je suis toujours interessé par le fait de connaitre la methode qui permet de déterminer l'ordre de nilpotence des Ker (u-a_i*id)^(alpha_i).
    Raisonner par l'absurde me semble astucieux. Pour simplifier, pourriez vous m'expliquer pour une matrice 3,3, dont on connait les coefficients (leur valeur numérique).
    Merci

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