mpsi - fonction bornée atteignant ses bornes

[invite18a7f966]

Bonsoir tout le monde,
Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exo svp?
"On considère f:R²->R définir par pour tout (x,y) appartenant à R²,
f(x,y)=(x+y)exp(-(x² +y²)). Montrer que f est bornée et atteint ses bornes sur R². Calculer le maximum M et le minimum m de f sur R².
Indication: Montrer qu'il existe phi:R+->R telle que l f(x,y) l =< phi( ll x ll ) et lim(en +oo) phi=0. En déduire qu'il existe r>=0 tel que pour tout (x,y) appartenant à R², ll x ll >=r implique l f(x,y) l < f(1,0).
Montrer que sup(sur R²)(f)=sup(sur le boule B(0,r))(f). Conclure. Déterminer M en calculant les dérivées partielles de f en x et y. En déduire m."

C'est pour la partie où il faut montrer que f est bornée et atteint ses bornes que j'ai du mal, quelqu'un peut-il m'aider??
Merci beaucoup d'avance!
-----

[invitedf667161]

Pour donner une idée générale, cela se passe un peu comme sur R. C'es à dire que l'exponentielle l'emporte et donc ta fonction "tend vers 0 à l'infini". Cela est détaillé dans toutes les questions préliminaires que tu as données.
Du coup, en dehors d'un certain compact de R^2, ta fonction (en norme) est plus petite qu'un epsilon donné, et du coup le max de la norme est atteint à l'intérieur du compact (une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Jje suis un peu vague...

[invitee65b1c3d]

Indication: Montrer qu'il existe phi:R+->R telle que l f(x,y) l =< phi( ll x ll ) et lim(en +oo) phi=0. En déduire qu'il existe r>=0 tel que pour tout (x,y) appartenant à R², ll x ll >=r implique l f(x,y) l < f(1,0).

Il y a deux "x" différent il me semble, le x de ll x ll ne serait il pas égal à (x,y) ?
L'idée derrière cet indice est que tu peut borner ta fonction qui prend son argument dans R² juste en connaissant le module de l'argument (on se ramène donc à une fonction beaucoup plus simple, qui est définie sur R+).
Avec Phi, tu montre que f est bornée.
Avec la limite de Phi, tu montre que loin du point (0,0), f est strictement plus petite que sa valeur en (1,0) (c'est la proposition : "il existe r>=0 tel que pour tout (x,y) appartenant à R², ll x ll >=r implique l f(x,y) l < f(1,0)" )

Pour conclure, il faut utiliser le fait qu'une fonction continue sur un compact (au hasard, l'ensemble des (x,y) de norme inférieure ou égal à r) est bornée et atteint ses bornes.