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La plus petite sphère contenant quatre points



  1. #1
    matou

    La plus petite sphère contenant quatre points


    ------

    Bonjour à tous,
    voici mon soucis :

    Je cherche le centre et le rayon d'une sphere qui va englober au plus juste 4 points de coordonnées x,y et z.
    Il faut utiliser l'équation du cercle bien sûr,

    (xi-a)2+(yi-b)2+(zi-c)2=r2

    avec r=rayon sphere
    a,b,c = coordonées sphere
    xi, yi, zi = coordonnées des points i

    mais ensuite ...?
    merci de votre aide

    matou

    -----

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  3. #2
    zoup1

    Re : la sphere

    Moi j'ai l'impression que si tu calcules la distance entre chacun des 4 points pris 2 à 2, la plus grande de ces distance devrait correspondre au diamètre de la sphère dont tu parles... (nb j'ai pas beaucoup réfléchi avant de répondre ca mais je pense que ca marche).
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  4. #3
    shokin

    Re : la sphere

    Si tu connais les coordonnées d'un point, tu connais a, b et c, il te reste 4 inconnues : xi, yi, zi, r.

    Si tu as quatre points, tu as quatre équations et quatre inconnues...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #4
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par matou
    (xi-a)2+(yi-b)2+(zi-c)2=r2
    A mon avis il faut remplacer le = par un <=. Sinon, ça ne marchera que dans le cas ou les quatre points sont sur la sphère, ce qui sera (en plus d'être un cas particulier) une solution non optimale dans bien des cas.

    Pour la réponse de zoup1, un tétraèdre régulier permet de voir que ça ne correspond pas à une solution optimale. Mais je n'ai pour pas grand chose de mieux à proposer.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Si tu connais les coordonnées d'un point, tu connais a, b et c, il te reste 4 inconnues : xi, yi, zi, r.
    Si tu as quatre points, tu as quatre équations et quatre inconnues...
    Je pense qu'au contraire, on connait xi, yi et zi pour i de 1 à 4, et qu'on cherche a, b, c et r... ok, c'est un détail. Mais résoudre le système d'équation ne répondra pas à la question posée, si je l'ai bien comprise. L'objectif est d'englober au plus juste les 4 points avec la sphère. Il s'agit donc d'un système de 4 inéquations, et on cherche à déterminer les valeurs a,b et c qui permettent de minimiser r tout en vérifiant le système.

  8. #6
    zoup1

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par yat
    Pour la réponse de zoup1, un tétraèdre régulier permet de voir que ça ne correspond pas à une solution optimale. Mais je n'ai pour pas grand chose de mieux à proposer.
    Oui bien sur tu as raison... je savais bien que j'allais dire une connerie d'où le luxe de précaution dans ma première réponse...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    shokin

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par yat
    Je pense qu'au contraire, on connait xi, yi et zi pour i de 1 à 4, et qu'on cherche a, b, c et r... ok, c'est un détail. Mais résoudre le système d'équation ne répondra pas à la question posée, si je l'ai bien comprise. L'objectif est d'englober au plus juste les 4 points avec la sphère. Il s'agit donc d'un système de 4 inéquations, et on cherche à déterminer les valeurs a,b et c qui permettent de minimiser r tout en vérifiant le système.
    Oups, j'ai inversé...

    Le rayons de la sphère qui possède sur sa surface 4 points, n'est-il pas le rayon de la sphère minimale qui englobe ces 4 points ? (analogie avec trois points non alignés et le cercle dans le plan)

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  11. #8
    zoup1

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Le rayons de la sphère qui possède sur sa surface 4 points, n'est-il pas le rayon de la sphère minimale qui englobe ces 4 points ? (analogie avec trois points non alignés et le cercle dans le plan)
    Non, d'ailleurs dans le plan cela ne fonctionne pas non plus...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  12. #9
    shokin

    Re : la sphere

    Comment ça ? ça ne marche pas dans le plan ? peux-tu m'expliquer ?

    ou alors je n'ai pas compris ce qu'on cherchait.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Comment ça ? ça ne marche pas dans le plan ? peux-tu m'expliquer ?

    ou alors je n'ai pas compris ce qu'on cherchait.
    On cherche la plus petite sphère qui contienne les 4 points. Dans le plan, si on cherchait le plus petit cercle qui englobe trois points, chercher le cercle qui passe par les trois points ne serait pas non plus une bonne idée : imagine un triangle très aplati.

  14. #11
    martini_bird

    Re : la sphere

    Salut,

    je reformule ton problème: il s'agit de déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD.

    Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.

    Pour le cas général, il suffit de remarquer que le centre de la sphère circonscrite est l'intersection des plans médiateurs des côtés pour obtenir un système linéaire.

    Cordialement.

  15. #12
    martini_bird

    Re : la sphere

    Oups, j'ai omis la mention "au plus juste".

    Une idée pour me rattraper: isobarycentre des points = centre de la sphère cherchée?

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  17. #13
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par martini_bird
    Une idée pour me rattraper: isobarycentre des points = centre de la sphère cherchée?
    Non plus... il y a pas mal de cas ou la solution est celle proposée par zoup1 en première tentative... si dans des cas comme ceux-là, les deux autres points sont tous les deux du "même coté" de l'axe formé par les deux points les plus éloignés, on voit bien que l'isobarycentre n'est pas la solution, qui est tout simplement le milieu du segment.

  18. #14
    shokin

    Re : la sphere

    ah je n'avais pas pensé à un triangle ou à une pyramide super aplatie !

    ... heu comment faire... je réfléchis...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  19. #15
    martini_bird

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par yat
    Non plus... il y a pas mal de cas ou la solution est celle proposée par zoup1 en première tentative... si dans des cas comme ceux-là, les deux autres points sont tous les deux du "même coté" de l'axe formé par les deux points les plus éloignés, on voit bien que l'isobarycentre n'est pas la solution, qui est tout simplement le milieu du segment.
    Oui, tu as raison. Shame on me.
    Et si l'on pondère par la somme des distances aux autres points?

  20. #16
    shokin

    Re : la sphere

    Dans le plan, je remarque que s'il n'y pas trois angles aigus ABC, BCA ou CAB. Le diamètre est déterminé par la plus grande des distances (donc le rayons est cette demi-distance) entre AB, BC et CA.

    Dès lors qu'il y a trois angles aigus... je penche pour le cercle circonscrit entre ces trois points.

    En effet, pour le triangle rectangle (un angle droit, entre l'aigu et l'obtu), le cercle circonscrit est confondu avec le cercle de thalès du côté le plus grand entre AB, AC et BC.

    Et pour savoir si ces angles sont aigus ou droit ou obtus (dans le plan toujours), je regarde le plus grand côté, que je nomme c. Si a^2+b^2=c^2, le triangle est rectangle, si a^2+b^2>c^2, le triangle a trois angles aigus, si a^2+b^2<c^2, le triangle a un angle obtu.

    Pour mesurer les angles, on peut aussi utiliser d'autres formules avec les vecteurs...

    Peut-on appliquer l'analogie dans l'espace ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  21. #17
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par martini_bird
    Et si l'on pondère par la somme des distances aux autres points?
    Je vois pas trop ce que ça changerait. Dans l'exemple donné, si les deux points restants ne sont pas sur le "grand segment", ils vont tous les deux "peser" du même coté...

    Dans pas mal de cas, la solution est le milieu d'un segment. Et ça reste la même solution pour tous les cas ou les deux autres points sont inclus dans la sphère trouvée. Du coup je pense que le problème est assez compliqué à mettre sous forme d'équations. Il va falloir isoler les différents cas possibles avant de faire le calcul. Dans le plan c'est jouable, la méthode de shokin me semble efficace. En 3D je ne vois pas.

  22. #18
    shokin

    Re : la sphere

    Ou en gros, soient les 4 points A, B, C et D.

    Soit CD la plus grande distance entre deux de ces quatre points.

    si existent A ET B tels que AC^2+AD^2>CD^2 et BC^2+BD^2>CD^2, la sphère à considérer et celle circonscrite à ces 4 points pour en revenir à l'équation de la sphère.

    si existent seulement A (ou seulement B) tel que AC^2+AD^2>CD^2, la sphère à considérer est celle contenant le cercle circonscrit à A(resp. B), C et D.

    si n'existent ni A ni B tels que AC^2+AD^2>CD^2 ou BC^2+BD^2>CD^2, la sphère à considérer est celle qui est la sphère de Thalès du segment CD.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  24. #19
    zoup1

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    je reformule ton problème: il s'agit de déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD.

    Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.

    Pour le cas général, il suffit de remarquer que le centre de la sphère circonscrite est l'intersection des plans médiateurs des côtés pour obtenir un système linéaire.

    Cordialement.
    La je comprends plus, si la sphère circonscrit le tétraèdre alors les points du tétradèdre font partie de la sphère, alors on oublie tout ce que l'on a dit depuis le début et il s'agit bien d'une égalité, système de 4 équations à 4 inconnues.

    Oups, j'ai omis la mention "au plus juste".
    Mais alors je ne vois pas très bien ce que vient faire le au plus juste ici...
    Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.
    IL y a 2 exercices 2 dans ce lien... je suppose qu'il s'agit du premier... mais j'ai pas vu de figure du cercle en question... j'ai peut être lu un peu vite...


    Alors la question c'est qui circonscrit (égalité) ou qui englobe (inégalité) ?
    Dernière modification par zoup1 ; 29/03/2005 à 18h10.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  25. #20
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Ou en gros, soient les 4 points A, B, C et D.
    Soit CD la plus grande distance entre deux de ces quatre points.
    si existent A ET B tels que AC^2+AD^2>CD^2 et BC^2+BD^2>CD^2, la sphère à considérer et celle circonscrite à ces 4 points pour en revenir à l'équation de la sphère.
    Un contre exemple : ABC est un triangle presque équilatéral. Disons juste que AB est légèrement supérieur à BC et AC. (attention, j'explique avec les mains) Pour ABD, c'est pareil, sauf que AD et CD sont encore plus petits (tout en respectant ta condition). Et D se situe "presque" sur le plan ABC... c'est à dire qu'il est encore bien plus proche du plan ABC que de C. LA sphère circonscrite sera donc énorme par rapport à la solution optimale, qui reviendrait ici à celle que tu proposes pour le deuxième cas.

    Un autre exemple qui me chagrine beaucoup : ABC un triangle "presque isocèle" (oui, je sais... mais bon, c'est juste pour expliquer comment faire le dessin). dans lequel AB est un tout petit peu plus grand que AC, mais CB est beaucoup plus petit, et AC²+BC²>AB². On place "de l'autre coté" et sur le même plan un point D qui vérifie les mêmes propriétés que le point C. La solution ne passe pas par les deux points les plus éloignés. On retombe là aussi dans le deuxième cas, mais il faut considérer le triangle ACD...

    A mon avis, on retombe bien sur les trois cas que tu cites : sphère circonscrite passant par les 4 points, construite sur le cercle circonscrit à 3 points, ou dont le diamètre est un segment... mais pour distinguer tes deux premiers cas, il faut regarder le triangle, et pas le segment...

  26. #21
    martini_bird

    Re : la sphere

    zoup1, je me suis trompé: je suis parti dans l'idée d'une sphère circonscrite à un tétraèdre, ce qui, j'en conviens, ne répond en rien à la question de départ.

    Sincèrement.

  27. #22
    zoup1

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par martini_bird
    zoup1, je me suis trompé: je suis parti dans l'idée d'une sphère circonscrite à un tétraèdre, ce qui, j'en conviens, ne répond en rien à la question de départ.

    Sincèrement.
    J'aurais bien aimé que ce soit Maton qui réponde à cette question, car on passe d'un problème simple (4 équations, 4 inconnues) à un problème compliqué...
    En attendant on continue à réfléchir au problème initial alors...
    On cherche la sphère de rayon le plus petit possible qui englobe un tétraèdre donné.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  28. #23
    shokin

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par yat
    Un contre exemple : ABC est un triangle presque équilatéral. Disons juste que AB est légèrement supérieur à BC et AC. (attention, j'explique avec les mains) Pour ABD, c'est pareil, sauf que AD et CD sont encore plus petits (tout en respectant ta condition). Et D se situe "presque" sur le plan ABC... c'est à dire qu'il est encore bien plus proche du plan ABC que de C. LA sphère circonscrite sera donc énorme par rapport à la solution optimale, qui reviendrait ici à celle que tu proposes pour le deuxième cas.

    Un autre exemple qui me chagrine beaucoup : ABC un triangle "presque isocèle" (oui, je sais... mais bon, c'est juste pour expliquer comment faire le dessin). dans lequel AB est un tout petit peu plus grand que AC, mais CB est beaucoup plus petit, et AC²+BC²>AB². On place "de l'autre coté" et sur le même plan un point D qui vérifie les mêmes propriétés que le point C. La solution ne passe pas par les deux points les plus éloignés. On retombe là aussi dans le deuxième cas, mais il faut considérer le triangle ACD...

    A mon avis, on retombe bien sur les trois cas que tu cites : sphère circonscrite passant par les 4 points, construite sur le cercle circonscrit à 3 points, ou dont le diamètre est un segment... mais pour distinguer tes deux premiers cas, il faut regarder le triangle, et pas le segment...
    Ah ! oui, j'ai résolu le problème pour trois points, mais pas pour quatre points. Va falloir aller encore plus loin !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  29. #24
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Ah ! oui, j'ai résolu le problème pour trois points, mais pas pour quatre points. Va falloir aller encore plus loin !
    Bah pour trois points le problème se situe dans un plan, donc ça revient à la solution que tu avais donnée en 2D.

    Avec 4, pour résumer, je dirais que :
    On trouve le couple de points (A et B) les plus éloignés, et on teste si les deux autres points (C) vérifient Ac²+BC²<AB². Si c'est le cas le centre de la sphère cherchée est le milieu du segment.
    Sinon, on trouve le triangle (ABC) qui a le plus grand cercle circonscrit (de centre O). On compare OD avec OA (ou OB ou OC), et si c'est inférieur, O est le centre de la sphère.
    Sinon, la solution est la sphère circonscrite au tétraèdre. Son centre est sur l'axe passant par O et orthogonale au plan ABC. On le trouve facilement en considérant que OD=OA.

    Je pense que c'est bon comme ça...

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  31. #25
    shokin

    Re : la sphere

    Il me semble que ça joue, ce que tu proposes.

    Sinon, algébriquement (pour en revenir au système), est-il possible d'exprimer r en fonction des coordonnées du centre de la sphère et des 4 points. Puis de chercher à minimiser cette fonction ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  32. #26
    yat

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Sinon, algébriquement (pour en revenir au système), est-il possible d'exprimer r en fonction des coordonnées du centre de la sphère et des 4 points. Puis de chercher à minimiser cette fonction ?
    Hmmm... bah l'expression de r en fonction des coordonnées, c'est le maximum parmi 4 expressions... c'est peut-être faisable de chercher à minimiser cette valeur en faisant varier les coordonnées du centre, mais je ne vois vraiment pas comment on pourrait s'y prendre.

  33. #27
    shokin

    Re : la sphere

    En passant,

    je voulais savoir à propos des polyèdres à 4 sommets et d'angles obtus si les 4 "combinaisons" suivantes étaient possibles :

    - aucun angle obtu dans un triangle
    - un angle obtu dans un triangle
    - deux angles obtus sur un même sommet
    - trois angles obtus sur un même sommet
    - deux angles obtus de sommets différents

    et si c'étaient les seules possibiilités.

    Et comment le démontrer.

    Il paraît qu'il y a une sorte d'angle 3D, comment qu'on les appelle. Oû puis-je faire connaissance avec eux ? comment les mesure-t-on ? les angles d'un sommet à trois arêtes...

    Car s'il n'y a aucun angle obtu, j'opte pour la sphère circonscrite.
    S'il y a trois angles obtus sur un même sommet, j'opte pour la plus grande distance.

    Mais que dire s'îl y a un ou deux angles obtus ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  34. #28
    matthias

    Re : la sphere

    Citation Envoyé par shokin
    Il paraît qu'il y a une sorte d'angle 3D, comment qu'on les appelle. Oû puis-je faire connaissance avec eux ? comment les mesure-t-on ? les angles d'un sommet à trois arêtes...
    Tu veux parler des angles solides ? C'est lié aux cônes en général, pas spécifiquement à un sommet et trois arêtes.

  35. #29
    matthias

    Re : la sphere

    un début d'explication pour les angles solides :
    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...nglesolid.html

  36. #30
    erik

    Re : la sphere

    On trouve le couple de points (A et B) les plus éloignés, et on teste si les deux autres points (C) vérifient Ac²+BC²<AB². Si c'est le cas le centre de la sphère cherchée est le milieu du segment.
    Dites moi si je dis une bétise mais si A et B sont les deux points les plus éloignés on a forcément Ac²+BC²<AB².

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