La plus petite sphère contenant quatre points

[invitec314d025]

Dites moi si je dis une bétise mais si A et B sont les deux points les plus éloignés on a forcément Ac²+BC²<AB².

vérifie avec un triangle équilatéral
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[shokin]

Et les stéradians ? à quoi correspond un stéradian ? pi stéradians donnent quelque chose ?

Shokin

[erik]

Citation:
Posté par erik
Dites moi si je dis une bétise mais si A et B sont les deux points les plus éloignés on a forcément Ac²+BC²<AB².


vérifie avec un triangle équilatéral

Ah ouais, j'ai bien dit une connerie

[invitec314d025]

Et les stéradians ? à quoi correspond un stéradian ? pi stéradians donnent quelque chose ?

stéradians ça doit correspondre à un cône qui intersecte "un quart" de la sphère. L'angle solide maximal est stéradians (aire d'une sphère = ).
Le problème des angles solides (mais aussi leur avantage) est qu'ils ne donnent aucun indice sur la forme du cône, donc je ne pense pas que ça soit utilisable pour le problème posé ici.

[shokin]

Ah ! dommage...

mais vaut-il mieux essayer d'étreindre le problème algébriquement ou de le serrer géométriquement ?

Shokin

[invitec7cca85f]

Oups...Je pensais pas que c'était si compliqué mon problème...

Si pour chaque axe X, Y et Z, je prends les points qui ont la valeur min. et max.
et j'en déduis le milieu (ex pour l'axe des X : Xc = Xmin + (Xmax-Xmin)/2)
j'obtiens donc les coordonnées du centre du cercle : Xc, Yc, Zc
reste a trouver le point le + éloigné de ce centre pour trouver le rayon...
ça marche ?

[shokin]

A priori, je ne suis pas sûr. Pourquoi se baser sur les coordonnées relatives à un point (le point origine) qui n'est qu'un point parmi d'autres, choisi arbitrairement.

T'imagines si les 4 points sons extrêmement éloignés de O, mais très proches entre eux ?

Shokin

[invite4793db90]

Si pour chaque axe X, Y et Z, je prends les points qui ont la valeur min. et max.
et j'en déduis le milieu (ex pour l'axe des X : Xc = Xmin + (Xmax-Xmin)/2)
j'obtiens donc les coordonnées du centre du cercle : Xc, Yc, Zc
reste a trouver le point le + éloigné de ce centre pour trouver le rayon...
ça marche ?

Salut,

ça revient à inscrire le tétraèdre dans un parallélipipède (une boîte) et la sphère cherchée serait la sphère centrée sur la boîte et circonscrite à celle-ci (la boîte)...

Ca m'a l'air pas mal du tout!

Et le diamètre serait donnée par la plus grande diagonale...

[yat]

ça revient à inscrire le tétraèdre dans un parallélipipède (une boîte) et la sphère cherchée serait la sphère centrée sur la boîte et circonscrite à celle-ci (la boîte)...

Ca m'a l'air pas mal du tout!

En effet, ça revient à ça. Mais ça ne sera qu'une approximation, et rarement la solution optimale.

[invite4793db90]

En effet, ça revient à ça. Mais ça ne sera qu'une approximation, et rarement la solution optimale.

Tu pourrais m'éclairer avec un contre-exemple, stp?

[invitec314d025]

Déjà, pourquoi ça donnerait nécessairement la sphère circonscrite au parallélépipède ? D'après ce que j'ai compris de la méthode proposée, la "boîte" ne sert que pour trouver le centre, et le rayon est déterminé par rapport au point (parmi les 4 initiaux) le plus éloigné. Vous êtes sûrs que c'est équivalent ?
Ensuite, est-ce qu'avec la même méthode on ne pourrait pas trouver une "meilleure boîte" avec des directions différentes ?
Pour finir, même en considérant toutes les directions possibles, je ne suis toujours pas convaincu qu'on obtiendrait un optimum.

[invitec314d025]

bon mettons que j'ai rien dit ...

[invite4793db90]

Déjà, pourquoi ça donnerait nécessairement la sphère circonscrite au parallélépipède ? D'après ce que j'ai compris de la méthode proposée, la "boîte" ne sert que pour trouver le centre, et le rayon est déterminé par rapport au point (parmi les 4 initiaux) le plus éloigné. Vous êtes sûrs que c'est équivalent ?

Tu as raison, j'ai été un peu vite en besogne... Décidément, je ne suis pas très en forme dans ce fil...

[invitec314d025]

Non, non. Ca doit bien être la sphère circonscrite à la boîte, puisqu'on devrait avoir forcément un point dans un coin (à vue de nez).
Par contre même avec 3 points (dans le plan) ça n'est pas optimal, si on ne considère qu'une direction.

[yat]

Déjà, pourquoi ça donnerait nécessairement la sphère circonscrite au parallélépipède ? D'après ce que j'ai compris de la méthode proposée, la "boîte" ne sert que pour trouver le centre, et le rayon est déterminé par rapport au point (parmi les 4 initiaux) le plus éloigné. Vous êtes sûrs que c'est équivalent ?

C'est vrai, la sphère n'est pas nécessairement la sphère circonscrite au parallélépipède, j'ai rien dit.

Pour le contre exemple, par contre, peut imaginer trois points en (1,1,1), (-1,1,1) et (1,-1,1), le quatrième en (0,0,-1). La boite défine est centrée en O, est un cube de coté 2, trois des points sont les trois coins d'une face, et le quatrième au milieu de la face opposée. Si la sphère est centrée en O elle sera circonscrite au cube pour contenir les trois points, et le point de la face opposée sera dans la sphère. En décalant le centre vers la face "aux trois points", on pourra de manière évidente la rendre un peu plus petite.

[invite4793db90]

C'est vrai, la sphère n'est pas nécessairement la sphère circonscrite au parallélépipède, j'ai rien dit.

Pour le contre exemple, par contre, peut imaginer trois points en (1,1,1), (-1,1,1) et (1,-1,1), le quatrième en (0,0,-1). La boite défine est centrée en O, est un cube de coté 2, trois des points sont les trois coins d'une face, et le quatrième au milieu de la face opposée. Si la sphère est centrée en O elle sera circonscrite au cube pour contenir les trois points, et le point de la face opposée sera dans la sphère. En décalant le centre vers la face "aux trois points", on pourra de manière évidente la rendre un peu plus petite.

Merci,

je m'en étais rendu compte en faisant un dessin et en lisant le post de matthias, mais c'est gentil de ta part.

[yat]

Non, non. Ca doit bien être la sphère circonscrite à la boîte, puisqu'on devrait avoir forcément un point dans un coin (à vue de nez).

Non, non, pas forcément. Essaye avec (1,1,0), (-1,-1,0), (0,0,1) et (0,0,-1).

[invitec314d025]

oui, oui
C'est en regardant bètement dans le plan que j'avais changé d'avis
Pour le tetraèdre, il ya forcément des points sur les arêtes, pas nécessairement dans les coins.