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Points sur une sphère



  1. #1
    EaGle58

    Points sur une sphère


    ------

    Bonjour,

    Si je veut placer des point sur un cercle et que je veux qu'il y ai un espacement maximum entre eu je sais le faire, par exemple pour placer 3 point, espacement doit etre de 120°.

    Maintenant sur une sphère comment dois-je faire?

    Mercxi d'avance.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Point sur une sphère

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par EaGle58
    Bonjour,

    Si je veut placer des point sur un cercle et que je veux qu'il y ai un espacement maximum entre eu je sais le faire, par exemple pour placer 3 point, espacement doit etre de 120°.

    Maintenant sur une sphère comment dois-je faire?

    Mercxi d'avance.
    Pour 3 points je dirais pareil (des angles de 120° par rapport au centre de la sphère)
    Pour 4, c'est un tétraèdre régulier (angle d'environ 109,6° si je me souviens bien)
    Après,... demander aux spécialistes...

    Duke.

  4. #3
    rvz

    Re : Point sur une sphère

    Citation Envoyé par EaGle58
    Si je veut placer des point sur un cercle et que je veux qu'il y ai un espacement maximum entre eu je sais le faire, par exemple pour placer 3 point, espacement doit etre de 120°.

    Maintenant sur une sphère comment dois-je faire?
    Bonjour,

    Pour prouver ce que tu sais faire sur un cercle, comment fais tu mathématiquement ?
    Tu définis
    J(x,y,z) = |x-y|^2 + |y-z|^2+|z-x|^2 et tu essayes de trouver le maximum de cette expression sur le cercle, ou sur le disque. Cette expression est clairement bornée donc un maximum a,b,c existe.
    Si a, b ou c est à l'intérieur du disque, tu t'aperçoit bien vite en différentiant autour de ce point que ce n'est pas possible.
    Donc a, b et c sont sur le cercle.
    Ensuite, tu dis que ton problème est invariant par rotation, donc tu peux fixer un des paramètres, mettons a =1.
    Comme b et c sont sur le cercle, ils sont déterminés par l'angle (boa) = d, et (cob)=e.
    Tu vois assez facilement que |b-a| = 2sin(d/2), |c-b| = 2 sin(e/2), et que |c-a| = 2 sin((360-d-e)/2).
    Donc en fait c'est un problème de maximisation de la fonctionnelle J(d,e) = sin(d/2) ^2+ sin(e/2)^2 + sin(180-(d+e)/2)^2
    Le maximum est toujours atteint, et en regardant les dérivées partielles par rapport à d et à e (pb sans contrainte), tu trouves que d = e = 120.
    En gros, le problème de la dimension supérieure, c'est que ça suppose d'avoir une bonne paramétrisation de la sphère, ce qui n'est pas forcément facile.

    __
    rvz

  5. #4
    azt

    Re : Point sur une sphère

    Bonsoir, hormis pour les cas particuliers avec des symétries évidentes (les puissances de 2 par exemple), le problème est encore ouvert pour certains nombres de points.
    L'une des méthodes utilisées est de placer 'à peu près' les points sur la sphère puis de les déplacer un à un de manière à arriver une position maximale.
    Le problème de cette méthode est que l'on arrive sur un maximum local, on n'a pas la preuve que c'est la solution optimale.

    C'est gentil, cela me permet de recycler mes liens internet http://www.mathpages.com/home/kmath005.htm

    AZT
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    EaGle58

    Re : Point sur une sphère

    Donc, il n'y a pas de formule unique comme sur un cercle? C'est plus de la réflexion?

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