Fonctions thêta

[invite4793db90]

Bonjour à tous,

après diverses manipulations, je suis parvenu à des identités remarquables telles que (attention aux yeux ) :



Bon, ça paraît barbare comme ça, mais à mon avis, c'est fortement relié aux fonctions thêta et aux fonctions modulaires.

Cependant, je ne parviens pas à retrouver la formule ci-dessus à l'aide des nombreuses (!) symétries des fonctions thêta.
Je me pose donc la question de savoir s'il existe des versions plus générales des fonctions thêta ou un cadre plus général où "vivent" des fonctions thêta?

En vous remerciant.
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[invite8f53295a]

C'est vrai qu'a priori, tu as plutôt une invariance du genre z -> iz, ce qui n'a pas l'air de venir du domaine modulaire...
Tu la sors d'où cette formule ? Est-ce une technique de dualité comme pour Poisson ?

[invite4793db90]

C'est en effet à partir d'une formule analogue à la formule de Poisson.

Ce qui me frappe, c'est que, ça ressemble beaucoup à l'identité de Jacobi




D'où l'idée des fonctions thêta... mais je fais peut-être fausse route? :confused:

[invite8f53295a]

Oui mais l'identité de Jacobi c'est plutôt une invariance par z-> -1/z, ce qui est vraiment une transformation modulaire, alors que ta formule semble plutôt invariante par z->iz dont je ne vois pas la même interprétation. Mais pourquoi pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Oui mais l'identité de Jacobi c'est plutôt une invariance par z-> -1/z, ce qui est vraiment une transformation modulaire

Tout à fait d'accord.

alors que ta formule semble plutôt invariante par z->iz dont je ne vois pas la même interprétation.

C'est vrai, mais en fait il n'y a pas d'invariant x->f(x) (en tout cas j'en ai pas trouvé...)
Ca doit bien pouvoir s'interpréter avec des fonctions connues tout de même!

Mais pourquoi pas ?

A suivre... Merci de t'intéresser au problème!

[invite4793db90]

Salut,

en introduisant un paramètre , j'arrive à une fonction qui vérifie:



Je crois que la modularité est plus claire maintentant. Une idée pour rattacher à une fonction thêta?

Merci.

[mtheory]

Salut,

en introduisant un paramètre , j'arrive à une fonction qui vérifie:



Je crois que la modularité est plus claire maintentant. Une idée pour rattacher à une fonction thêta?

Merci.

Je me rappel juste qu'on peut exprimer beaucoup de fonctions elliptiques comme des produits/quotients de fonctions thêta c'est tout.
A part ça je vois pas.

[invite4793db90]

Salut,

héhé, mon intuition ne m'a pas trahi: la formule du premier message est la formule (6) de cette page avec .

Merci à tous.