Soit M et N deux ensembles
Soient f et g deux applications f : M ->N et g -> M
Soit id(M) : M -> M, x ->x l'application identique sur M
Montrer que si g o f = id (M) alors f est injective et g surjective
Je n'arrive pas à faire la démonstration pour la surjectivité
Je suppose que g n'est pas surjective
donc je sais qu'il existe un y tel que g(y) différent de x
mais après je ne sais pas comment on fait revenir f.
g o f(x) différent de f(x)?
Salut, je me lance:
g o f (x) = g(f(x))
Considérons f(x) non injective, il éxiste donc x1 != x2 tq f(x1) = f(x2) = y. Donc, g o f (x1) = g o f(x2) = g(y) != id(x).
f est donc bien injective.
Prenons g non surjective: il éxiste donc des y dans M tq pour tout x dans N g(x) != y
Ainsi, nous pouvons définir un ensemble M' inclut dans M tq que g est surjective.
Il éxiste alors une fonction g^-1 (inverse de g, notée g°) qui est injective de M' sur N.
g° o g o f (x) = g° o Id(x)
f(x) = g° o Id(x)
Id(x): M -> M et g° pas injective (par hypothèse puisque g non surjective de N -> M) de M -> N, on a alors f non injective ! contradiction. g est surjective
J'sais pas si c'est juste... mais au moins y'a d'l'idée
Soit x dans M. Alors g envoie f(x) sur x. On a trouvé une préimage.
Simple alors...
Pour tout x de M g(f(x))= x donc il existe bien un antécédedent dans N par g; à savoir
f(x) donc g surjective ..
A +
