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g o f = id (M)



  1. #1
    Brumaire

    g o f = id (M)


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    Soit M et N deux ensembles
    Soient f et g deux applications f : M ->N et g -> M
    Soit id(M) : M -> M, x ->x l'application identique sur M
    Montrer que si g o f = id (M) alors f est injective et g surjective

    Je n'arrive pas à faire la démonstration pour la surjectivité

    Je suppose que g n'est pas surjective
    donc je sais qu'il existe un y tel que g(y) différent de x
    mais après je ne sais pas comment on fait revenir f.
    g o f(x) différent de f(x)?

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  3. #2
    Evil.Saien

    Re : g o f = id (M)

    Salut, je me lance:
    g o f (x) = g(f(x))
    Considérons f(x) non injective, il éxiste donc x1 != x2 tq f(x1) = f(x2) = y. Donc, g o f (x1) = g o f(x2) = g(y) != id(x).
    f est donc bien injective.

    Prenons g non surjective: il éxiste donc des y dans M tq pour tout x dans N g(x) != y
    Ainsi, nous pouvons définir un ensemble M' inclut dans M tq que g est surjective.
    Il éxiste alors une fonction g^-1 (inverse de g, notée g°) qui est injective de M' sur N.
    g° o g o f (x) = g° o Id(x)
    f(x) = g° o Id(x)
    Id(x): M -> M et g° pas injective (par hypothèse puisque g non surjective de N -> M) de M -> N, on a alors f non injective ! contradiction. g est surjective

    J'sais pas si c'est juste... mais au moins y'a d'l'idée

  4. #3
    Stephen

    Re : g o f = id (M)

    Soit x dans M. Alors g envoie f(x) sur x. On a trouvé une préimage.

  5. #4
    pallas

    Re : g o f = id (M)

    Simple alors...
    Pour tout x de M g(f(x))= x donc il existe bien un antécédedent dans N par g; à savoir
    f(x) donc g surjective ..
    A +

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