info clair sur les fractals

[invite4b816bc1]

bonjour, j'ai decouvert les fractals il y peu de temps et de là comme pour beaucoup qui les ont croisées un jour, j'ai voulu comprendre...
Justement c'est mon probleme, je ne suis qu'en premiere, et je n'ai aps encore vu la plus part des notions "de la fractale". Donc je voudrais savoir si il y aurait une sorte de liste qui pourrait reunir l'ensemble de ces notions pour pouvoir les apprendre ou du moins chercher à les comprendre, mis à part les livres de Mandelbrot.
Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider ou jsute y penser.

Désole pour la clareté du texte !

à bientot
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[invite859b7555]

bonjour,
J'ai traité les fractales en TPE l'ané derniere. J'etai en premiere.
Les notions sont donc accessible pour toi, mai tu aura surement besoin de l'aide de ton prof de math.
Si tu veux j'ai un copain qui est en train de faire son site internet dans lequel il met ce Tpe.
Voici l'adresse: http://membres.lycos.fr/boardingman71/
Bon le site est encore en construction donc il pourrai il y avoir quelque probleme mai il est assez bien fais.

[invitef591ed4b]

Une fractale c'est un objet géométrique encore sans définition précise, mais qui contient une ou plusieurs des caractéristiques suivantes :
- Auto-similarité : la figure est composée de miniatures d'elle-même, idem pour les miniatures en question et ce jusqu'à l'infiniment petit. Pour ceci, tu peux chercher sur internet avec le terme "self similarity" (j'espère que tu comprends l'anglais écrit).
- Impossible de tracer une tangente à une figure fractale. Pour ceci, il faudrait avoir étudié un minimum les notions de dérivée, tangente etc ... S'interroger sur l'aspect exotique de l'absence de tangente en n'importe quel point de l'adhérence de la figure ... (pour info, Weierstrass avait brandi en 1875 une telle fonction, et on la considérait comme un "monstre", un "ovni mathématique", on ne voulait pas en parler, c'était trop spécial).
- Une certaine ambiguité sur la notion de "dimension" de la figure fractale : une courbe à 1 dimension qui, malgré tout, remplit une portion de surface, par exemple ... Pour ceci, tu peux chercher les termes "dimension fractale" sur internet ...

Tu peux partir en quête d'exemples classiques de fractales : ensemble de Cantor, courbes de Peano et Hilbert, flocon de Koch, fougère de Barnsley, tapis et tamis de Sierpinski ...


Voilà, ça, c'est l'introduction simple (mais vitale) aux fractales ... à partir de là, tu peux t'intéresser aux différents types de fractales (càd les différentes méthodes pour construire une fractale) : IFS, L-System par exemple.

Une fois tout cela fait et que t'en es blasé, tu peux maintenant commencer à entrer dans la partie intéressante et non vulgarisée des fractales, à savoir leur étude de manière un peu plus mathématique Pour cela, faut entrer dans le monde des systèmes dynamiques et des équations différentielles ... pour ce faire, tu peux chercher sur le net les termes "attracteurs étranges de Lorenz, Hénon, Rossler, ensembles de Julia et Mandelbrot, chaos".

Voilà voilà.

Ha oui et si t'as la fibre visuelle artistique, tu peux chercher aussi du côté de l'art fractal (relief de paysage créé sur base de fractales) ou encore la musique fractale ...

[invite9565d975]

Salut,

cela fait quelques années que j'ai découvert les fractales, et je peux te dire que c'est réellement passionnant ! Pour débuter, je te recommande de te documenter sur la courbe de von Koch, l'une des premières courbes fractales, et dont le principe de construction est très simple à comprendre... Ensuite, quand tu maîtriseras les nombres complexes, tu pourras te pencher sur l'ensemble de Mandelbrot qui produit des images magnifiques !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Une fractale c'est un objet géométrique encore sans définition précise, mais qui contient une ou plusieurs des caractéristiques suivantes :
- Auto-similarité : la figure est composée de miniatures d'elle-même, idem pour les miniatures en question et ce jusqu'à l'infiniment petit. Pour ceci, tu peux chercher sur internet avec le terme "self similarity" (j'espère que tu comprends l'anglais écrit).

Alors deux-trois petites corrections Tout d'abord c'est un fractal Ensuite, c'est un objet géométrique qui possède une définition très claire : sa dimension métrique est différente de sa dimension topologique (au sens de Hausdorff - de toute manière dans les espaces métriques séparable c'est toute les mêmes). Enfin, un fractal n'est pas nécessairement auto-similaire

[invitef591ed4b]

Alors deux-trois petites corrections Tout d'abord c'est un fractal Ensuite, c'est un objet géométrique qui possède une définition très claire : sa dimension métrique est différente de sa dimension topologique (au sens de Hausdorff - de toute manière dans les espaces métriques séparable c'est toute les mêmes). Enfin, un fractal n'est pas nécessairement auto-similaire

Bien sûr, d'où le "une ou plusieurs de ces caractéristiques" dans l'énoncé (personne n'a dit les trois en même temps ).

Pour le masculin ou féminin, j'ai toujours utilisé et lu la version féminine, mais il est vrai que Mandelbrot avait à l'origine utilisé le masculin. Dommage, le féminin sonne mieux.

[JPL]

Tout d'abord c'est un fractal

Désolé, mais d'après Mandelbrot lui-même qui a créé le mot, c'est une fractale, ou un objet fractal. Toujours selon Mandelbrot le fractal désigne le concept : "...le fractal ne se prétend pas une panacée"

Enfin, un fractal n'est pas nécessairement auto-similaire

Je n'ai pas eu ce sentiment en lisant Mandelbrot.

Voir le dossier sur Futura-Sciences : http://www.futura-sciences.com/compr...ssier234-1.php

[invitef591ed4b]

Oui non, la fractale n'est certainement pas auto-similaire, elle l'est si elle est construite par une méthode qui la rend explicitement auto-similaire (genre IFS - réitérer indéfiniment les mêmes transformations affines géométriques sur une figure de départ).

Mais il suffit de prendre un attracteur étrange et là l'autosimilarité disparaît. De même, l'ensemble de Mandelbrot n'est pas auto-similaire, il est "un peu auto-similaire", mais dès qu'on l'agrandit un peu, les différences s'affirment.

[JPL]

De même, l'ensemble de Mandelbrot n'est pas auto-similaire, il est "un peu auto-similaire", mais dès qu'on l'agrandit un peu, les différences s'affirment.

C'est un peu jouer sur les mots, mais similaire ne signifie pas identique. C'est en ce sens que l'ensemble M est auto-similaire.
Bon, je reconnais que pour les attracteurs étranges, c'est très limite. Tu marques un demi-point

[invitef591ed4b]

Similaire signifie bien identique, une fractale est auto-similaire si elle est composée de similitudes d'elle-même de rapport r<1 ... d'ailleurs, la valeur de ce rapport est utilisé dans la détermination de la dimension fractale pour ces fractales auto-similaires.

Mandelbrot n'est de ce fait pas auto-similaire, il l'est "un peu", les guillemets servant à dire que l'on n'est pas rigoureux et qu'on le dit en agitant les mains Mais sinon, le concept de self-similarity est bien précis.

[invitef591ed4b]

Ceci dit, ce n'est qu'une question de vocabulaire, c'est juste que par définition, l'auto-similarité exprime le fait que la figure reste la même à toutes les échelles, ce qui n'est pas le cas de l'ens. de Mandelbrot dont un agrandissement donne un ens. de Julia.

[invitef60ce002]

bonjour à tous,
mais alors, lorsuq'un objet est auto-similaire mais pas infiniment, il est quand même considéré comme fractal ?

[invitef591ed4b]

Etre auto-similaire implique qu'on l'est infiniment (à n'importe quelle échelle).

[invite4b816bc1]

merci à tous d'avoir repondu, c'est tres interessant !
je vais suivre vos pistes
à bientot

[invite4b816bc1]

ah Et aussi je voulais savoir si vous connaissiez justement de auteurs de musiques fratales ?

[JPL]

Il y a une distinction nette entre un "objet" mathématique fractal, autosimilaire à l'infini et les objets réels qui ne sont fractals que jusqu'à un certain niveau. Si on prend l'exemple de la côte de Bretagne, largement utilisé par Mandelbrot et d'autres, il est évident que son découpage n'est plus fractal à petite échelle. Il en est de même pour les ramifications des bronches ou des vaisseaux, qui ne se subdivisent pas à l'infini. Autrement dit un objet réel de structure fractale n'est qu'approximativement fractal.
Mais ceci est vrai aussi pour la géométrie classique : tous les cercles qu'on rencontre dans la vie réelle, même les plus parfaits, ne sont qu'approximativement circulaires. Il n'empêche qu'on calcule leur circonférence par la formule 2 pi R, qui ne s'applique en fait qu'à un cercle théorique.