Les hyperboles quelle galère

[invite4910fcda]

Bonjour,
je suis embêté sur un sujet que je pensais arriver à résoudre mais là c'est trop dur donc j'aimerais de l'aide s'il vous plaît.
Voilà, j'ai une ellipse dans un repère je sais que l'un de ses foyers est l'origine du repère et je connais les coordonnées de 3 points M1, M2, M3 de l'éllipse.
Grâce à la méthode des trois points je sais que les 2 foyers de mon ellipse sont des intersections des hyperboles de foyer (M1;M2) (M2;M3) je sais qu'il ya plusieurs foyers possibles mais je ne prend que ceux-là pour l'instant. Comment est-ce que je peux trouver l'équation cartésienne de l'hyperbolesacnat que jeconnais les coordonnées de ses foyers et que je sais qu'elle passe par l'origine du repère??
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[invite8ef897e4]

Salut !

Si tu utilisais plutôt le fait que l'ellipse est aussi le lieu des points pour lesquels la somme MF+MF' = k est constante ?
Tu as trois inconnues (x_f ,y_f ) et k. Trois points te donnent trois équations :
(x_F -x_Mi )² +(y_F -y_Mi )² = (k-OM_i )²
pour i=1,2 et 3 (avec la condition k>OM_i>0). Cela me semble assez tractable à première vue, puisqu'on peut linéariser les équations en faisant des différences par permutations :
par ex. (i=1)-(i=2) -> (2x_F -x_M1 -x_M2 )(x_M1 +x_M2) +(2y_F -y_M1 -y_M2 )(y_M1 +y_M2)=(2k-OM₁ -OM₂ )(OM₁ +OM₂ )
en utilisant a² -b² =(a+b)(a-b)
d'où
2x_F(x_M1 +x_M2) +2y_F(y_M1 +y_M2)-2k (OM₁ +OM₂ ) = (x_M1 +x_M2)² +(y_M1 +y_M2)² -(OM₁ +OM₂ )²
de même avec (i=2)-(i=3) et (i=3)-(i=1) par permutations : si les 3 points initiaux sont linéairement indépendant, je praierais que ce sytème linéaire à trois équations et trois inconnues possède une unique solution

[invite8ef897e4]

Latex :



(i=1)-(i=2) ->

[invite8ef897e4]

Comment est-ce que je peux trouver l'équation cartésienne de l'hyperbole sachant que je connais les coordonnées de ses foyers et que je sais qu'elle passe par l'origine du repère??

Si tu dois passer par cette méthode, utilise le fait que l'hyperbole est aussi le lieu des points M pour lesquels |MF-MF'|=2a et la constante "a" peut être déterminée par le fait que l'hyperbole passe par l'origine : a=|OF-OF'|/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On peut aborder le problème d'une autre façon, plus simple mais qui fait appel à d'autres connaissances.
L'équation polaire d'une conique dont le foyer est à l'origine s'écrit :
rho = a/(1 + e cos(téta+phi))
e est l'excentricité (e<1 pour une ellipse)
phi est là parce que le grand axe n'est pas forcément sur Ox
On peut aussi écrire cela comme :
rho = a/ (1 + m cos (téta) + n sin (téta))
e vaut alors sqr(m²+n²)

Avec 3 points, il ne doit pas être trop difficile de calculera, m et n, d'en déduire e et phi puis la position de l'autre foyer.

[invite4910fcda]

Jeanpaul jen ne sais pas sur quelles définitions tu te base, est-ce que tu utiliserais les coordonnées polaires??
Latex, ta méthode semble assez compliqué, au premier abord, tu pourrais un peu m'expliquer s'il te plait??

PS: je suis en TS

[invite8ef897e4]

Je vais reprendre ma proposition :
tu écris (propriété élementaire : l'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances aux foyers est une constante) soit d'où :


Ensuite pour linéariser les équations tu fais des différences, et simplifie en utilisant Par exemple en faisant (i=1)-(i=2) tu trouves :

soit en réarrangeant les termes :

Les deux autres équations sont obtenues par exemple en faisant les permetations circulaires (i=2)-(i=3) et (i=3)-(i=1). J'explicite :


C'est un simple système linéaire à trois équations/trois inconnues !
On peut faire autrement bien entendu, la solution proposée par Jean-Paul marche aussi.

[invite4910fcda]

Je ne comprend pas à quoi corrsepondent les i humanino mais sinon ça se résout comme un système?

[invite8ef897e4]

i correspond au points M1, M2 et M3 de l'ellipse, ce que je note pour

Ensuite, un système linéaire tu devrais savoir le résoudre ! Typiquement, tu additionnes et tu retranches pour isoler tes variables. Une méthode telle que le pivot de Gauss est bien connue.

[invite4910fcda]

Si j'ai bien compris le coup des i:
dans une équation tu prend M1 et M2, dans l'autre M2, M3 et dans la dernière M1 et M3???

[invitea3eb043e]

J'utilise effectivement les coordonnées polaires.
C'est assez facile de calculer cette équation pour une ellipse.
Si on met un foyer en O, l'autre en F tel que OF = 2 c, on peut calculer la distance OM pour un point quelconque (ça vaut rho) et la distance FM dans le triangle OMF. On écrit alors que OM + FM = 2 a en écrivant FM² = (2a - OM)² et ça donne l'équation de l'ellipse.
e vaut c/a.

[invite4910fcda]

Euh d'accord mais, ton équation est polaire ou cartésienne??
Question pour humanino: avant que je me lance dans ta méthode est-ce qu le centre de l'ellipse est le milieu du repère d'office ou pas?

[invite8ef897e4]

Nomme cette équation : pour chaque point (chaque valeur de i) dit que est sur l'ellipse, via le critère "somme des distances aux foyers = constante = k"

Ensuite tu écris par exemple sur une ligne et sur la ligne d'en-dessous, et tu formes la différence des deux équations sur la troisième ligne. En utilisant et en réarrageant les termes, tu trouves :

J'appelle ce processus complet "".
En faisant "" puis "" tu dois obtenir le système :

Je ne sais pas ce que tu appelles centre de l'ellipse. Sans doute le milieu du segment joignant les foyers. Dans ton énoncé, l'un des foyers est à l'origine, et il s'agit de trouver la position de l'autre foyer. C'est ce que je propose dans ma méthode ! Pour obtenir on est parti de que l'on malaxe en ce qui suppose bien que l'un des sommets est à l'origine.

[invite4910fcda]

Après avoir utilisé ta méthode humanino tu t'es trompé.
En faisant a²-b² on ne trouve pas ton résultat, il y a une erreur de signe. Je vous donnerais les détails.

[invite8ef897e4]

Après avoir utilisé ta méthode humanino tu t'es trompé.
En faisant a²-b² on ne trouve pas ton résultat, il y a une erreur de signe. Je vous donnerais les détails.

C'est juste...
Je tente à nouveau :

Voilà, est-ce correct maintenant ?

[invite4910fcda]

A la fin moi je tombe sur un système avec des constantes que j'appelle A, B et C tel que:
Axf+Byf-COM=0

Je te donne la démonstration dès que j'ai le temps de la recopier.