Tous les ensembles infinis sont dénombrables

[Médiat]

Pour fêter le 1er avril avec 3 jours de retard, je vous propose les cinq affirmations suivantes, je précise que ces citations ne sont pas toutes verbatim, car il m'aurait fallu citer plusieurs pages à chaque fois, mais je ne crois pas en avoir déformé le sens profond (je donnerai les références un peu plus tard, afin que chacun se fasse une idée précise).

Dans ZFC cohabitent donc deux théories, l'une, la théorie des transfinis - valide grâce au concept à la fois sophistiqué et élégant de théorème indécidable - affirmant que tous les ensembles infinis n'ont pas même puissance, et où HC est indécidable, et l'autre - tout simplement valide - affirmant que tous les ensembles infinis sont dénombrables (ont même puissance), et où HC est évidemment vraie.

Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où IN (le plus petit ordinal limite) et IR(l'ensemble des parties de IN ) ne sont pas isomorphes (en tant qu'ensembles), alors qu'ils sont tous les deux dénombrables, et par extension, tous les ensembles infinis sont dénombrables.

En effet ce qui caractérise précisément une définition, c'est qu'elle permet de distinguer l'objet défini de tous les autres objets ; si elle s'applique a une infinité d'objets, elle ne permet pas de les discerner les uns des autres ; elle n'en définit aucun; elle n'est plus une définition.
Mais alors il n'y a pas d'autre ensemble que ceux dont tous les éléments sont définissables en un nombre fini de mots; et comme on peut leur appliquer la démonstration de M. [XXX] (l'ensemble E des nombres qui peuvent être définis en un nombre fini de mots est dénombrable), il semble qu'on doive conclure que tous les ensembles infinis sont dénombrables

[XXX] considère qu'un ensemble dénombrable est le plus souvent défini d'une manière abstraite et qu'un ensemble effectivement énumérable est défini d'une manière concrète […]
La notion d'ensemble non dénombrable est par contre " purement négative ", autrement dit, tous les ensembles infinis sont dénombrables

La puissance d'un ensemble M fini est étant m, la puissance de l'ensemble fini des parties de M est .
Quand m augmente indéfiniment, on peut remplacer m par sa limite et par sa limite , les étant finis, leur limite est , donc , et par extensions, tous les ensembles infinis sont dénombrables

Classer ces 5 extraits dans une ou plusieurs des catégories suivantes :
a) pur délire
b) formellement (dans le sens absolument) inacceptable
b') formellement (dans le sens d'un point de vue formel) inacceptable
c) mathématiquement correct
d) mathématiquement irréfutable
e) épistémologiquement intéressant
f) inventer vos catégories

merci de faire vos propositions sous spoiler
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[invite6754323456711]

Bonjour,

Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où IN (le plus petit ordinal limite) et IR(l'ensemble des parties de IN ) ne sont pas isomorphes (en tant qu'ensembles), alors qu'ils sont tous les deux dénombrables, et par extension, tous les ensembles infinis sont dénombrables.

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Si on avait supposé ZF inconsistant nous n'aurions pas chercher à bâtir dessus.

Il me semble qu'il a été démontrer que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le même que celui de l'ensemble des parties de N.



L'ensemble des parties de l'ensemble des entiers naturels a la puissance du continu il est non dénombrables. Un ensemble ne peut être équipotent à l'ensemble de ses parties. un ensemble E est dit dénombrable quand il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels N, c'est-à-dire qu'il existe une bijection de N sur E.

Le premier théorème de complétude de Gödel permettant d'établir l'équivalence entre les notions de système formel et de modèle. Une condition nécessaire et suffisante pour un système formel du premier ordre soit consistant est qu'il admette un modèle ensembliste. La consistance c'est exactement équivalent au fait que l'on puisse trouver un modèle.

L'implication est fausse je dirais donc pur délire

Patrick

[invite7863222222222]

Bonjour,

Dans ZFC cohabitent donc deux théories, l'une, la théorie des transfinis - valide grâce au concept à la fois sophistiqué et élégant de théorème indécidable - affirmant que tous les ensembles infinis n'ont pas même puissance, et où HC est indécidable, et l'autre - tout simplement valide - affirmant que tous les ensembles infinis sont dénombrables (ont même puissance), et où HC est évidemment vraie.

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b' (formellement inacceptable) et e (épistémologiquement intéressant), la théorie des transfinis a introduit la notion de puissance, et permet seulement d'affirmer que les ensembles, dont la puissance est strictement inférieure à la puissance des nombres réels, peuvent avoir des puissances distinctes. L'HC soit La question de la puissance des ensembles compris entre ces ensembles et l'ensemble des réels est indécidable dans cette théorie.

Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où IN (le plus petit ordinal limite) et IR(l'ensemble des parties de IN ) ne sont pas isomorphes (en tant qu'ensembles), alors qu'ils sont tous les deux dénombrables, et par extension, tous les ensembles infinis sont dénombrables.

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b (formellement absolument inacceptable) car si IR n'est pas isomorphe à IN alors soit sa cardinalité est strictement inférieure à celle de IN ce qui est absurde puisque IR contient IN soit sa cardinalité est strictement supérieure à IN et donc IR n'est pas dénombrable.

[invité576543]

Déjà vu le 2 quelque part, http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2263531

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Pour le 3

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Cela me paraît une erreur de logique juste à la fin, la conclusion devrait être qu'il y a un nombre dénombrable d'ensembles infinis, pas que tous les ensembles infinis sont dénombrable.

Une fois corrigé, c'est irréfutable si on prend le soin de préciser "ensemble infinis définissables", avec la notion de définition telle qu'exposée.

5

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Pour parler de limite, il faudrait une topologie. Il n'est pas impossible qu'on puisse proposer une topologie sur les ordinaux pour laquelle le début de la proposition ait un sens. Maintenant, pour conclure que la limite de toute suite finie croissante est aleph0, il faudrait trouver une topologie où l'adhérence de omega est omega+1.

Ensuite, que la prise du cardinal et la limite commutent resterait à montrer.

Tout cela me semble indiquer beaucoup d'insuffisances dans le raisonnement, et j'hésite à mettre cela dans la catégorie "pur délire"

Cordialement,

[Médiat]

Que l'on ne croit pas que je me désintéresse de ce fil, tout au contraire, mais pour au moins une raison évidente (ma perversité), je n'interviendrai que plus tard afin de laisser les imaginations se libérer avant ; les premières réponses sont intéressantes (ne regardez avant d'avoir répondu ) et devraient permettre des développements enrichissants ...

Bien sûr, je répondrai à chacun.

[Médiat]

Précision à l'intention exclusive de Michel (mmy) :

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Comme je l'ai expliqué, je n'ai pas pu mettre la totalité du texte (quand il n'est pas de moi ). Il me semble qu'avec le texte complet tu n'aurais pas abouti à ta conclusion (nombre dénombrable d'ensembles infinis), l'auteur (pas moi) donne un exemple précis (là encore, transcription non verbatim) :
Si je dis "les fonctions constantes" j'ai défini en un nombre fini de mots une infinité de fonctions, sauf que pour que cet ensemble soit bien défini il faut définir chacune des constantes (en un nombre fini de mots).

[invite6754323456711]

Bonjour,

Pour le 3

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Les schémas d'axiomes permettent de définir une infinité d'objets mathématiques différents (d'autant d'axiomes différents que de relation différentes,inscriptibles dans le langage de la théorie).

b') formellement (dans le sens d'un point de vue formel) inacceptable

Patrick

[invité576543]

Précision à l'intention exclusive de Michel (mmy) :

J'ai tendance à chercher un maximum d'interprétations favorables avant de tirer des conclusions genre "pur délire", conclusions que je vois trop souvent (et à tort) être des solutions de facilité.

Maintenant, s'il ne reste que cela...

Cordialement,

[Médiat]

Maintenant, s'il ne reste que cela [le pur délire je suppose]...

Non, il n'y a pas que du pur délire dans ces 5 extraits (mais il y en a )

[invité576543]

Non, il n'y a pas que du pur délire dans ces 5 extraits (mais il y en a )

Désolé de ne pas avoir repris tout le contexte de ma réponse :elle ne concernait que la proposition 3.

Cordialement,

[invite642cafc1]

Pour la 1 :

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b)' voir b) il me semble mais je n'ai pas assez de connaissance fiable sur le sujet pour être sûr.
Si on "accepte" les transfinis, càd enfin au moins pour moi (ou plus précisément de ce que j'ai compris) que l'on "accepte" les ensembles infinis en acte, alors le théorème de Cantor induit que pour tout ensemble il existe au moins un, et en fait une infinité d'ensembles de puissance strictement "plus grand".
Si on n'"accepte" pas les transfinis, mais alors on n'est plus vraiment dans ZF puisque l'on retire l'axiome de l'infini, on peut néanmoins définir des ensembles potentiellement infinis distincts. Mais la question de la dénombrabilité se pose-t-elle puisque ces ensembles ne sont plus alors acceptés en acte. On ne "décrit" N, R... que par des descriptions finie que l'on fait tendre vers + infini. A ce niveau ça rejoint partiellement l'erreur de l'assertion 5) qui affirme en gros puisque l'on peut décrire N et R à partir du fini en faisant tendre vers +infini alors le cardinal est toujours N.

Pour la 5)

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b)
Il y a un problème d'affirmation gratuite dans le passage à la limite.
Maintenant, il y a peut-être moyen de "réparer" celle-ci mais ce à quoi l'on aboutit sera alors l'ensemble des parties finies de N est en bijection avec N (ce qui est vrai).

Pour la 2)

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b) tendance a)
Ca semble un joli mélange des deux précédents.
ZF consistant et on accepte les transfinis alors N et R existent et sont de puissances distinctes.
ZF (sans axiome de l'infini) est consistant et on peut décrire potentiellement N et R d'une manière finie (""donc dénombrable"").
Et de là on conclut ce que l'on veut.
Dans Z/2Z, 1+1=0
Dans Z, 1+1=2
Donc 2=0
... On peut en inventer beaucoup comme ça.

Pour la 3)

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b)' tendance b)
En gros, il y a confusion "définir un ensemble" et "définir tous les éléments de cet ensemble". Par exemple, si on prend une boîte de craies on peut définir l'ensemble des craies vertes en le définissant simplement comme la collection des craies de la boite... qui sont vertes. et non décrire chacune d'elles individuellement. Ainsi, un critère (bien formulé : non ambigu notamment) suffit pour définir un ensemble.
J'ai mis b)' tendance b) au lieu d'un simple b) car ce qui est presque montré est que les éléments définissables d'un ensemble sont en quantité dénombrable ce qui vrai à ma connaissance.

Pour la 4)

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a) au moins d'un point de vue scientifique
Un critère moral "défini de manière purement négative" est le seul argument utilisé.
Dans la même veine, montrons que tous les entiers impairs sont premiers :
un nombre pair est par définition un multiple de 2 donc, à part 2, ne peut être premier. Par contre, un impair ne connaît pas cette impossibilité, de plus un premier a de jolies propriétés, un impair qui ne serait pas premier ne pourrait être qu'un nombre ennuyeux et ne doit pas être envisagé. Autrement dit, tous les impairs sont premiers.

En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises.

[invité576543]

Pour la 1

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Il me semble qu'il y a une confusion entre théorie et modèle. Si on remplace les occurences du mot "théorie" par modèle, cela s'approche du 2. Paradoxe de Skolem mal digéré?

Pour la 2

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Paradoxe de Skolem, suffit de lire la littérature sur le sujet.

Cordialement,

[invite7863222222222]

Pour le 3 :

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Je pense 7) étrange. Il semble qu'on mélange ensemble (définition de ce qu'il contient) et élément fini d'un ensemble. Sans compter qu'en plus, un ensemble infini peut contenir d'autres ensembles infinis.

[Médiat]

Dernière ligne droite : je posterai les explications ce soir.

[Médiat]

Bonjour,

Je vais donner quelques explications et les références des phrases citées, à chaque fois dans un post différents afin que d'éventuelles discussions de fassent dans de bonnes conditions.

Bien sûr, il est plus facile de donner un avis fondé quand on a la totalité des informations.

Dans ZFC cohabitent donc deux théories, l'une, la théorie des transfinis - valide grâce au concept à la fois sophistiqué et élégant de théorème indécidable - affirmant que tous les ensembles infinis n'ont pas même puissance, et où HC est indécidable, et l'autre - tout simplement valide - affirmant que tous les ensembles infinis sont dénombrables (ont même puissance), et où HC est évidemment vraie.

Source : Il s'agit d'un texte d'un certain M01S€T1 (j'ai caviardé le nom qui ne comporte que des lettres mais je me refuse à lui faire de la pub), une recherche sur le net donnera accès à ses oeuvres, et aux réactions qu'elles ont déclenchés sur différents forums. Il est d'ailleurs inscrit sur FSG.
Mon avis : Je mets sans hésiter cette phrase dans la catégorie "pur délire".
Observations : Déjà dans cette phrase on trouve la notion de "théorème indécidable" (bel oxymore), et surtout qu'une.
On peut être gentil et considérer que les deux théories qui "cohabitent" dans ZFC sont en fait deux théories étendant ZFC par de nouveaux axiomes (ou deux modèles), mais évidemment il n'y a aucun axiome permettant d'affirmer que tous les ensembles infinis sont dénombrables (ce serait en parfaite contradiction avec le théorème de Cantor).

Commentaires :
jreeman : j'avoue n'avoir pas bien compris ce que tu voulais dire, j'ai l'impression que tu commentes l'hypothèse du continu, mais ce n'est pas le fond du problème.
gyu : Pour être un peu plus précis, dans ZFC avec un axiome interdisant les ensembles infinis (et on sait trouver un modèle de cette théorie qui est donc consistante), alors il n'y a pas du tout d'ensemble infini, quand tu parles d'infini potentiels, cela fait référence, au mieux, à des classes propres (qui ne sont pas des ensembles donc).
Michel (mmy) : je suis d'accord que l'on peut penser au paradoxe de Skolem, mais alors vraiment pas compris (et un modèle dénombrable peut très bien ne pas vérifier HC)

[Médiat]

La puissance d'un ensemble M fini est étant m, la puissance de l'ensemble fini des parties de M est .
Quand m augmente indéfiniment, on peut remplacer m par sa limite et par sa limite , les étant finis, leur limite est , donc , et par extensions, tous les ensembles infinis sont dénombrables

Source : Un livre C@nt0r a t0rt" (là encore je caviarde pour les mêmes raisons que pour la phrase 1). Ce livre est très drôle (je l'ai acheté d'occasion, ouf ! je n'ai pas fait gagner de gros sous à l'auteur ), mais j'avoue que je ne sais pas si :
1) L'auteur ne connaît rien à la théorie des ensembles
2) L'auteur a écrit un livre provoquant pour gagner un peu d'argent
3) L'auteur a écrit un livre provoquant pour rire.
Pour information, on y trouve deux démonstrations que .
Mon avis : pur délire.
Observations : La notion de limite pour les ordinaux est définie : c'est leur union, par contre ce qui n'est pas un théorème, c'est que la limite de l'exponentielle est égal à l'exponentielle de la limite.
Commentaires :
Michel (mmy) : le problème est bien celui que tu soulèves ; si tu avais le livre en main, tu n'hésiterais pas à le classer dans "pur délire" .
gyu : Tu as raison, l'ensemble des parties finies de IN est dénombrable (c'est d'ailleurs généralisable comme résultat), mais ce n'est pas ce dont parle l'auteur.

[Médiat]

En effet ce qui caractérise précisément une définition, c'est qu'elle permet de distinguer l'objet défini de tous les autres objets ; si elle s'applique a une infinité d'objets, elle ne permet pas de les discerner les uns des autres ; elle n'en définit aucun; elle n'est plus une définition.
Mais alors il n'y a pas d'autre ensemble que ceux dont tous les éléments sont définissables en un nombre fini de mots; et comme on peut leur appliquer la démonstration de M. Richard (l'ensemble E des nombres qui peuvent être définis en un nombre fini de mots est dénombrable), il semble qu'on doive conclure que tous les ensembles infinis sont dénombrables

Source : Texte de Poincaré (1909), mais dans ce texte Poincaré critique une position d'un autre mathématicien : A. S. Schoenflies (Schoenflies), c'est ce dernier qui aurait pu dire "Tous les ensembles infinis sont dénombrables", et c'est à partir de cette conséquence, que Poincaré n'admet pas, qu'il réfute la position de Schoenflies.
(J'ai remis dans le texte le nom de Richard qui est l'auteur du théorème invoqué).
Mon avis : (mon avis porte donc sur les travaux de Schoenflies pas sur le texte de Poincaré) mathématiquement insuffisant, et épistémologiquement intéressant.
Observations : On peut voir dans l'idée de ne prendre en compte que des ensembles finis d'ensembles finis d'ensembles finis etc. une première version de ce qui s'appelera plus tard la notion de cardinal héréditaire (qui est à la base des travaux de Woodin).
Commentaires :
Michel (mmy) : comme je l'ai déjà écrit à ton usage exclusif, le texte intégral que tu peux consulter maintenant n'autorise pas ta magnanime interprétation.
ù100fil : je ne comprends pas le lien entre schéma d'axiomes et langage infini (il y en a, mais pas celui dont tu parles, si j'ai bien compris).
gyu : tu mets le doigts sur deux notions très lièes et très importantes (à mon sens), une notion philosophique autant que mathématique : "comment le multiple peut devenir le un", et une autant épistémologique que mathématique : "infini potentiel vs infini actuel".
jreeman : je ne pense pas que Schoenflies fasse une confusion, c'est bien sa volonté qu'il exprime.

[Médiat]

Borel considère qu'un ensemble dénombrable est le plus souvent défini d'une manière abstraite et qu'un ensemble effectivement énumérable est défini d'une manière concrète […]
La notion d'ensemble non dénombrable est par contre " purement négative ", autrement dit, tous les ensembles infinis sont dénombrables

Source : Texte de E. Borel (1928), le lien que je donne pointe sur un texte de Jean Largeault : "Intuition et intuitionnisme" (1992) dans lequel se trouve cet extrait, et je pense que Borel n'est arrivé à cette conclusion brutale que pour les sous-ensembles de IN (on peut lire les pages 50 à 55 du texte de Largeault, en particulier les lignes 1 à 5 de la page 53).
Mon avis : mathématiquement fondé (sauf que la conclusion de Largeault est trop brutale) et épistémologiquement très intéressant
Observations : il faut comprendre dénombrable par "il existe une bijection avec IN" et effectivement énumérable par "on sait exhiber une bijection"
Commentaires :
gyu : je suis d'accord que si on comprend "purement négative" comme un jugement moral, c'est guère acceptable, heureusement, ici il s'agit d'accepter le continu (dans le sens cardinal du continu) pour l'ensemble des réels, et on ne peut définir des sous ensembles de même puissance, à condition de les définir négativement à partir d'un ensemble dénombrable (difficile à comprendre ainsi à partir de l'extrait).

[Médiat]

Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où IN (le plus petit ordinal limite) et IR(l'ensemble des parties de IN ) ne sont pas isomorphes (en tant qu'ensembles), alors qu'ils sont tous les deux dénombrables, et par extension, tous les ensembles infinis sont dénombrables.

Source : désolé, pas de source, puisque j'ai mis au point ce petit texte.
Mon avis : formellement (dans le sens d'un point de vue formel) inacceptable, mathématiquement irréfutable, épistémologiquement intéressant, et pédagogique (si je ne dis pas du bien de moi, qui va le faire ?)
Observations : Le début de la phrase, jusqu'à "(en tant qu'ensembles)", ne fait que citer le théorème de Cantor, et la deuxième partie, en appliquant le théorème de Loewenheim-Skolem, ne fait que dire qu'il existe un modèle dénombrable (sous réserve de consistance). Le grave défaut, c'est que j'utilise, dans la même phrase la notion de cardinal à l'intérieur d'un modèle (sans le dire directement), et la notion de cardinal hors de tous modèle (comme l'utilisent les mathématiciens et les catégoriciens). Si je m'arrêtais là, je trouverais cette phrase inacceptable, car uniquement propre à tromper. Mais il se trouve que IN, et donc le cardinal dénombrable, est un absolu de ZFC, c'est à dire que dans tous les modèles de ZFC, IN est le même (il existe un bijection (hors des modèles bien sur, encore une fois il s'agit de bijection comme l'utilisent les mathématiciens)), si dénombrable a un sens absolu, il devient légitime de l'utiliser hors de tous modèle (mais je considère cette propriété comme indispensable). Cette notion d'absolu est indispensable aux travaux de Woodin.
Commentaires :
ù100fil : j'espère t'avoir montré qu'il ne s'agit pas de pur délire
jreeman : ce que tu dis est juste, mais il y avait un piège.
gyu : j'espère t'avoir montré qu'il ne s'agit pas de pur délire
Michel (mmy) : effectivement cela met en jeu le paradoxe de Skolem, mais sans la notion d'absolu, ce texte aurai été tout ce que je déteste au point de vue vocabulaire (déjà qu'en l'état je le condame, sauf pour ses vertus pédagogiques).

Vertus pédagogiques : J'espère qu'avec cet exemple j'aurais montré que le paradoxe de Skolem n'est pas si paradoxal que cela, et surtout que j'aurais montré qu'utiliser "nombre d'éléments" à la place de cardinal est une énorme erreur .
D'ailleurs "nombre d'éléments" n'est pas défini, il est donc hors de question de définir cardinal à partir d'une notion qui n'existe pas ; on pourrait, à la rigueur dire que "le nombre d'éléments" est le cardinal (on définit un nouveau vocabulaire à partir d'un ancien), mais encore une fois (cela doit faire plus de 13 fois que j'en parle), j'enfourche mon dada préféré : ce vocabulaire serait inutilement dangereux.

[invité576543]

Le grave défaut, c'est que j'utilise, dans la même phrase la notion de cardinal à l'intérieur d'un modèle (sans le dire directement), et la notion de cardinal hors de tous modèle (comme l'utilisent les mathématiciens et les catégoriciens).

J'avais noté le double sens, mais l'examen d'autres textes sur le paradoxe de Skolem me semble me montrer que c'est usuel (et un obstacle à la compréhension immédiate, selon mon expérience).

Quel serait le "bon vocabulaire", alors?

Cordialement,

[Médiat]

Quel serait le "bon vocabulaire", alors?

J'aurais, par exemple pu écrire :

Si ZF (donc ZFC) est consistante, alors il existe un modèle où IN (le plus petit ordinal limite) et IR(l'ensemble des parties de IN ) ne sont pas isomorphes (en tant qu'ensembles) et donc n'ont pas le même cardinal au sens de ce modèle, alors qu'ils sont tous les deux dénombrables d'un point de vue hors de tout modèle (ou dans un modèle plus grand (tu peux regarder certains résultats sur les cardinaux inaccessibles)).


En fait pour avoir une écriture formelle, il faudrait préciser dans quel modèle on se place, par exemple si j'appelle (pour Skolem) un modèle dénombrable, je peux écrire , pour désigner le cardinal de IN dans ce modèle, mais cela devient compliqué avec , car il faut ajouter le sur le 2 (qui est un absolu donc pas grave), sur (aussi un absolu), mais aussi sur l'exponentiation, il faut donc changer de notation, ça devient vite galère.

(et un obstacle à la compréhension immédiate, selon mon expérience).

D'où mon combat contre certains vocabulaires cf. platonisme vs formaliste (et plein d'autres)

[invité576543]

Je crois que j'y suis, sur la base de ton dernier message. Je vais procéder indirectement, en partant d'un texte, moi aussi...

Extrait du Wiki :

Skolem's paradox is that although it is a theorem of ZF that the set of real numbers is uncountable, it is consistent that there are countable models of ZF, and the set of real numbers in such a model will be a countable set. The paradox can be resolved by noting that countability is not absolute to submodels of a particular model of ZF. It is possible that a set X is countable in a model of set theory but uncountable in a submodel containing X, because the submodel may contain no bijection between X and ω, while the definition of countability is the existence of such a bijection. The Löwenheim-Skolem theorem, when applied to ZF, shows that this situation does occur.

Commentaires, par morceaux :

Skolem's paradox is that although it is a theorem of ZF that the set of real numbers is uncountable, it is consistent that there are countable models of ZF, and the set of real numbers in such a model will be a countable set.

Cela expose le problème. Mais, sauf erreur de ma part, la dernière partie, en bleu, est formellement incorrecte, à cause du "dans un tel modèle" qui s'interpréte, grammaticalement, comme "dénombrable au sens interne à un tel modèle", alors que c'est la mauvaise interprétation en terme de ce que l'auteur cherche à dire. Correct?

The paradox can be resolved by noting that countability is not absolute to submodels of a particular model of ZF. It is possible that a set X is countable in a model of set theory but uncountable in a submodel containing X, because the submodel may contain no bijection between X and ω, while the definition of countability is the existence of such a bijection.

Bien d'accord. Mais cela n'a rien à voir avec le cas de R dans un modèle dénombrable! C'est totalement autre chose, l'opposé d'une certaine manière, et bien plus facile à comprendre : deux ensembles isomorphes dans un "gros modèle" ne le sont pas nécessairement dans un "petit modèle".

Essayons alors de résoudre le "paradoxe" de R, puisque le texte cité ne le fait pas

Sauf erreur de ma part, R et N ne sont jamais isomorphes dans un quelconque modèle, le théorème de Cantor est "absolu". Correct?

A un certain sens (interne au modèle) R est donc toujours "non dénombrable". Par contre, l'ensemble appelé R dans un modèle dénombrable, est dénombrable dans un sur-modèle de ce modèle, au sens où cet ensemble peut être, dans le sur-modèle, mis en bijection avec N; mais il ne peut pas être mis en bijection dans le sur-modèle avec l'ensemble qu'est R dans le sur-modèle.

En fin de compte la confusion à éviter (et ce que je comprends maintenant avec ton "l'exponentiation n'est pas absolue") c'est entre le R du modèle dénombrable et le R du sur-modèle. N est absolu, mais pas l'ensemble de ses parties... Là je commence à penser que je comprends! Alors j'espère que c'est bien cela!

Cordialement,

[Médiat]

Cela expose le problème. Mais, sauf erreur de ma part, la dernière partie, en bleu, est formellement incorrecte, à cause du "dans un tel modèle" qui devrait s'interpréter comme "dénombrable au sens interne à un tel modèle", alors que c'est justement l'autre interprétation. Correct?

Tout à fait correct, le texte original à tous les défauts que je dénonce habituellement.

Sauf erreur de ma part, R et N ne sont jamais isomorphes dans un quelconque modèle, le théorème de Cantor est "absolu". Correct?

Parfaitement correct, j'ajoute que cela veut dire qu'il n'existe pas de bijection dans le modèle entre les deux, c'est à dire qu'il n'existe pas de bijection qui soit un ensemble dans ce modèle.

En fin de compte la confusion à éviter (et ce que je comprends maintenant avec ton "l'exponentiation n'est pas absolue") c'est entre le R du modèle dénombrable et le R du sur-modèle. N est absolu, mais pas l'ensemble de ses parties... Là je commence à penser que je comprends! Alors j'espère que c'est bien cela!

C'est parfait, l'axiome des parties ne garantit pas que toutes les parties (au sens naïf, ou d'un plus grand modèle) sont des ensembles (sont des objets du modèle), mais que les parties qui sont des ensembles (des objets du modèle) forment un ensemble (un objet du modèle). Et le théorème de Cantor démontre que dans cette situation la bijection n'existe pas (n'est pas un objet du modèle). Il est sans doute assez pédagogique de suivre la démonstration du Théorème de Cantor (qui est élémentaire) et ayant en tête que toutes les parties n'existent pas (en tant qu'objet du modèle), et tu verras que la démonstration ne suppose jamais qu'elles existent.

Petit commentaire hors sujet, si était absolu (ce n'est pas le cas), HC ne serait pas indécidable.

Je n'ai pas commenté toutes tes remarques, car je n'y sentais pas de question, mais si tu veux développer certains points, n'hésites pas à me relancer.

[invité576543]

Très bien tout ça, j'ai comme l'impression qu'une clé de voûte s'est mise en place pour moi. Bien au-delà du paradoxe de Skolem, sur lequel je n'arrivais pas à me faire une idée (bien avant ce fil, puisque comme je l'indique dans le message #4, tu l'avais présenté (plus ou moins explicitement) il me semble plusieurs fois) : sur la théorie des modèles en général. J'ai l'impression enfin de comprendre, et peut-être même d'avoir une réponse à une question posée il y a longtemps, à savoir c'est quoi un modèle de ZF.

Merci donc à toi, parce que, comme le montre le texte extrait du Wiki, on trouve pas mal de textes non seulement "non clarifiant", mais même plutôt "déroutant" (au sens de misleading).

Cordialement,

[Médiat]

c'est quoi un modèle de ZF.

A tout hasard (j'en ai déjà parlé aussi), il est possible de fabriquer un modèle de ZFC -axiome de l'infini, cela perd un peu de charme, mais les démonstrations que ce modèle vérifie bien tous les axiomes sont assez pédagogiques (Modèle d'Ackermann présenté avec les démonstrations dans le document de Dehornoy)

[invité576543]

A tout hasard (j'en ai déjà parlé aussi), il est possible de fabriquer un modèle de ZFC -axiome de l'infini, cela perd un peu de charme, mais les démonstrations que ce modèle vérifie bien tous les axiomes sont assez pédagogiques (Modèle d'Ackermann présenté avec les démonstrations dans le document de Dehornoy)

Je n'arrive pas à retrouver où en as-tu parler, ni le document précis de Dehornoy (son cours? mais alors quel chapitre sur les 14? )

Cordialement,

[invité576543]

OK, j'ai trouvé un article (japonais ) décrivant le modèle, et j'ai réalisé que j'avais zappé le "moins infini".

Mais ma question de fond était sur ZF en général. Simplement, tous les exemples de modèles que j'ai rencontré sont décrits en partant d'un ensemble (selon ZF dont infini), et le modèle d'Ackermann n'échappe pas à la règle.

Il y a pour moi une difficulté à parler d'un modèle de ZF décrit en partant d'un ensemble!

Cordialement,

[invité576543]

Une question d'un autre ordre.

Tu indiques plusieurs fois "épistémologiquement intéressant". Pourrais-tu développer en quoi le 4 est intéressant? (J'ai mes idées sur le sujet, mais ce sont les tiennes dont je voudrais avoir une idée.)

Cordialement,

[Médiat]

Je n'arrive pas à retrouver où en as-tu parler, ni le document précis de Dehornoy (son cours? mais alors quel chapitre sur les 14? )

(Je suis très pris par le temps, désolé)
Il y a un chapitre qui s'appellle Modèles de ZFC (à peu près)

OK, j'ai trouvé un article (japonais ) décrivant le modèle, et j'ai réalisé que j'avais zappé le "moins infini".

Je suis tombé dessus hier en cherchant des références, mais il n'aborde pas la question de la démonstration que c'est bien un modèle, or c'est cette partie que je trouve pédagogique.

Je répondrai aux autres questions plus tard dans la journée

Cordialement