Presque tout est indécidable !

[vaincent]

Bonsoir à tous.

C'est le titre d'un article du dernier "Pour la science" de janvier sur la notion d'incomplétude d'un ensemble d'axiomes cohérents constituant une théorie mathématique (comme l'arithmétique par exemple) introduite par Gödel au début des années 1930 et ses developpements récents.
Je ne suis pas mathématicien mais physicien et un énoncé m'a particulièrement interpellé dans l'article, c'est le moins qu'on puisse dire !
Il est proposé par Cristian Calude(université d'Auckland) qui nous dit qu' "un système S raisonnable de preuve étant fixé, alors une formule vraie y sera bien plus souvent indécidable (ni positivement démontrable, ni négativement). Il y a pire : l'indécidabilité, avec le système S est quasi-certaine dans l'ensemble infini des formules vraies" !!!!!!

C'est cette dernière expression qui m'a particulièrement frappé ! Les mathématiques ayant pour but de décrire de la façon la plus rigoureuse et objective possible tout ce qui est, pensez-vous qu'il soient nécessaire d'invoquer un ensemble infini de formules vraies pour y parvenir ?
En tant que physicien j'ai du mal à concevoir qu'il faille un ensemble infini de formules vraies pour décrire toute la nature et même ce qui n'y existe pas !

J'attend vos commentaires............
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[MMu]

"Les mathématiques ayant pour but de décrire de la façon la plus rigoureuse et objective possible tout ce qui est", est une idée comme une autre .
Pour certains les mathématiques ont comme but de passer le bac ..
Quand on pense que pour les mathématiques on n'a même pas réussi à prouver leur non-contradiction logique , ça donne le frisson pour "tout ce qui est".

Ne m'en veux pas , ami physicien, je plaisante ..

[Médiat]

Bonjour,

Les mathématiques ayant pour but de décrire de la façon la plus rigoureuse et objective possible tout ce qui est

Ah bon !

pensez-vous qu'il soient nécessaire d'invoquer un ensemble infini de formules vraies pour y parvenir ?

Ne serait-ce que pour apprendre à compter nous enseignons aux enfants une infinité de formules :
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4

etc.

[Theyggdrazil]

Les irrationnels sont aussi en quantité indénombrable dans les réels, donc si tu choisis un réel au pif tu es censé tomber de façon presque sûre sur un irrationnel. Et pourtant, si je te demande de choisir un réel à coup sûr tu prendras un rationnel 9 fois sur 10

Question de conditionnement dans ce cas-là, mais ça revient au même : même si presque tout est indécidable, on a suffisamment de boulot avec ce qui l'est pour l'instant

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Bonjour,
Ah bon !

oui je n'aurais pas dû l'écrire comme ça, cela est un autre débat !

Ne serait-ce que pour apprendre à compter nous enseignons aux enfants une infinité de formules :
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4

oui bien entendu, mais pour moi toutes ces formules se réduisent à une seule en disant par exemple :



(qui peut s'étendre à l'ensemble des entiers relatifs, et des réels)

La réflexion est donc plus profonde que ça. Elle porte sur les mathématiques elles-mêmes. C'est le travail des logiciens, qui sont à la limite de la "méta-mathématiques". Même si, je pense, beaucoup de physiciens et de mathématiciens ne seront pas d'accord avec moi, j'ai toujours vu les mathématiques comme de la physique. De ce point de vue je répond non à la question : "Pensez-vous qu'il faille une infinité de d'axiomes et de lois pour décrire tout ce qui est ? Pour l'instant bien entendu je ne peux pas démontrer ma réponse ! (et peut-être jamais).

J'exprime simplement un point de vue qui n'a certainement pas grande valeur puisque justement il est très difficilement démontrable, voire indécidable. Mais je désirerais avancer dans ma réflexion en essayant de comprendre pourquoi par exemple certains d'entre vous ne serait pas du tout d'accord avec moi, si tant est que ce soit étayé par des arguments.

A moi d'argumenter en premier (ce n'est pas réellement un argument valable mais bon..). Nous physiciens avons un rêve qui est d'unifier les lois qui décrivent la nature en une théorie relativement simple et complète. Le chemin sera encore long mais l'on est vraiment sur la bonne voie. Je pense que c'est également le but inavouer des mathématiques (i.e des mathématiciens). Quoi de plus délèctable qu'un ensemble fini d'axiomes et de propositions(démontrables ou non) pour déduire toute les mathématiques dans l'ensemble de leurs ramifications ? Je vous le demande....

[vaincent]

Question de conditionnement dans ce cas-là, mais ça revient au même : même si presque tout est indécidable, on a suffisamment de boulot avec ce qui l'est pour l'instant

oui certainement, c'est d'ailleurs un peu la façon dont l'article est conclut, mais ça ne me satisfait pas ! (je vois ça comme une façon de se rassurer). Justement puisque certains mathématiciens réfléchissent sur l'ensemble des mathématiques et que notamment Gödel arrive à la conclusion dramatique que l'incomplétude et l'indécidabilité font lois en mathématique, prenons le temps de leur répondre, et de chercher si éventuellement il n'existe pas une erreur dans leur raisonnement.
Et c'est ce que je fais : je souspçonne qu'une infinité d'axiomes n'est pas nécessaire pour constituer toute la mathématique.
Dans l'article de "pour la science" (qui je le rappel est l'édition française de"scientific american" écrit pas des chercheurs), il n'est indiqué nulle part pourquoi une infinité de formules vraies aurait une quelconque raison d'être. Mais ce qui est certains est que certains logiciens n'hésitent pas à manipuler ce concept pour démontrer que presque tout est indécidable !

L'erreur ne serait-elle pas là ?

[Médiat]

oui bien entendu, mais pour moi toutes ces formules se réduisent à une seule en disant par exemple :

Je ne vois aucune justification à cela, mais je peux te proposer un autre ensemble infini de formules dans l'arithmétique de Peano (s est la fonction successeur) :





...

La réflexion est donc plus profonde que ça. Elle porte sur les mathématiques elles-mêmes. C'est le travail des logiciens, qui sont à la limite de la "méta-mathématiques". Même si, je pense, beaucoup de physiciens et de mathématiciens ne seront pas d'accord avec moi, j'ai toujours vu les mathématiques comme de la physique.

Etrange de parler dans le même paragraphe de la logique mathématique et de la physique, la logique étant certainement la partie des mathématiques la plus éloignée de la physique

De ce point de vue je répond non à la question : "Pensez-vous qu'il faille une infinité de d'axiomes et de lois pour décrire tout ce qui est ? Pour l'instant bien entendu je ne peux pas démontrer ma réponse ! (et peut-être jamais).

Avant de démontrer ta réponse, il serait bon de lui donner un sens (je ne suis pas certain que la physique est pour but de décrire tout ce qui est (je laisse aux physiciens le soin de répondre), mais pour les maths en général, et la logique en particulier, cela n'a pas de sens).

[vaincent]

Je ne vois aucune justification à cela, mais je peux te proposer un autre ensemble infini de formules dans l'arithmétique de Peano (s est la fonction successeur) :





...

je comprend tout à fait que l'on puisse établir relativement facilement un ensemble infini de formules manifestement vraies. Mais la construction de cette suite infini de formules est basée sur quelques axiomes qui eux sont en nombre finis. C'est important de faire la distinction entre "axiome" et "formule" car l'article semble indiquer également que si l'on capable de construire un ensemble infini d'axiomes alors presque tout ces axiome sont indécidables. Et c'est justement ce concept d'ensemble infini d'axiome que me semble ne pas avoir une existence justifier .

Avant de démontrer ta réponse, il serait bon de lui donner un sens (je ne suis pas certain que la physique est pour but de décrire tout ce qui est (je laisse aux physiciens le soin de répondre), mais pour les maths en général, et la logique en particulier, cela n'a pas de sens).

peut-être ai-je trop tendance à "physifier" les choses, mais il me semble tout de même que la mathématique se construit à partir de la logique (dont le but est d'exprimer ce qu'est "le bon sens totalement objectif", il me semble encore une fois), et la physique à partir de la mathématique. Donc de mon point de vue la logique est indispensable à la construction d'un ensemble de lois étant capable (ou du moins qui tente) de décrire tout ce qui est.

[Médiat]

je comprend tout à fait que l'on puisse établir relativement facilement un ensemble infini de formules manifestement vraies. Mais la construction de cette suite infini de formules est basée sur quelques axiomes qui eux sont en nombre finis. C'est important de faire la distinction entre "axiome" et "formule" car l'article semble indiquer également que si l'on capable de construire un ensemble infini d'axiomes alors presque tout ces axiome sont indécidables. Et c'est justement ce concept d'ensemble infini d'axiome que me semble ne pas avoir une existence justifier .

En aucun cas un axiome ne peut être indécidable dans une théorie, c'en est un théorème.
Ne serait-ce que pour l'arithmétique de Peano, il y a un schéma d'axiomes qui génère un nombre infini d'axiomes (pour la récurrence), c'est un des points essentiels de l'article de Jean Paul Delahaye ; c'est la même chose pour la théorie des ensembles.

peut-être ai-je trop tendance à "physifier" les choses, mais il me semble tout de même que la mathématique se construit à partir de la logique (dont le but est d'exprimer ce qu'est "le bon sens totalement objectif", il me semble encore une fois),

Quelle horreur , nous ne sommes pas aussi limités (si c'était le cas il n'y aurait qu'une seule logique et non des centaines).

Donc de mon point de vue la logique est indispensable à la construction d'un ensemble de lois étant capable (ou du moins qui tente) de décrire tout ce qui est.

La logique est indispensable aux mathématiques, et la logique est indispensable à la physique, je ne vois pas ce que l'on peut dire de plus ...

[invite986312212]

je comprend tout à fait que l'on puisse établir relativement facilement un ensemble infini de formules manifestement vraies. Mais la construction de cette suite infini de formules est basée sur quelques axiomes qui eux sont en nombre finis.

d'ailleurs on ne voit pas comment un être humain pourrait en un temps fini examiner plus qu'un nombre fini d'axiomes.

[Médiat]

d'ailleurs on ne voit pas comment un être humain pourrait en un temps fini examiner plus qu'un nombre fini d'axiomes.

Il peut, si l'axiomatique est récursive (d'où l'intérêt de se poser la question de l'incomplétude, pour une famille aléatoire et non plus récursive d'axiomes).

Je rappelle que l'arithmétique de Peano et ZF sont des théories avec une infinité d'axiomes.

[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Mediat avait initié ce débat ICI

"Les mathématiques ayant pour but de décrire de la façon la plus rigoureuse et objective possible tout ce qui est"

Les mathématiques ou la mathématique se foutent de la réalité et encore plus de "ce qui est"

"Quand on pense que pour les mathématiques on n'a même pas réussi à prouver leur non-contradiction logique "

C'est du grand n'importe quoi, dans quel cadre parlez-vous ?

"j'ai toujours vu les mathématiques comme de la physique"

Là est probablement l'erreur, et surtout le glissement quant à leur objet.

"Gödel arrive à la conclusion dramatique que l'incomplétude et l'indécidabilité font lois en mathématique"

Alors là, il va falloir me trouver l'article où Gödel a bien pu dire cela ???
Je vous engage à lire les théorèmes DE COMPLETUDE de ce cher Kurt.

Amicalement

[vaincent]

Les mathématiques ou la mathématique se foutent de la réalité et encore plus de "ce qui est".

d'accord. Quel est donc selon vous l'objet des mathématiques modernes ? Et dans quel but, selon vous ont t'ils été formulés (car il s'agit d'une découverte du fond et d'une invention de la forme) par les chinois, les indous, les babyloniens, ou encore les egyptiens entre 5000 et 2000 avjc?

[erik]

Quel est donc selon vous l'objet des mathématiques modernes

Le but des mathématiques est de métamorphoser des litres de café en théorèmes.

[inviteea6fd0dc]

car il s'agit d'une découverte du fond et d'une invention de la forme

Cela fait quand même un sacré bout de temps que l'on ne s'en tient plus à la numération : puisque vous aimez les chinois, les indous, les babyloniens, ou encore les egyptiens, je vous citérai Leibnitz, Cantor, Peano, Zermello, Riemann, Lobatchevsky, Connes, Gödel.

Tient, ce cher Kurt (et tous les autres), quel est donc leur rapport avec le réel ?

Y a t'il un infini entre deux infinis d'ordre successif ?
La notion d'infini (qui ne pose aucun problème en mathématique), fait elle partie du réel ?
Si j'étais vous, j'irais demander l'avis des physiciens, à Magnan par exemple

[inviteea6fd0dc]

Quel est donc selon vous l'objet des mathématiques modernes ? Et dans quel but, selon vous ont t'ils été formulés

C'est une question d'épistémologie, pas une question mathématique.

[erik]

Autre réponse possible (qui en fait n'est pas une réponse que tu vas accepter) :

Il n'y'a AUCUN intérêt (vis à vis de la "réalité" physique) à savoir si pi est un nombre transcendant ou non.
On peut même discuter de la "réalité" physique de pi (si tu définis pi comme le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle, où trouves tu "physiquement" dans la "réalité" un cercle suffisament grand pour définir l'infinité des décimales de pi ?)

Par contre d'un point de vue mathématique on peut se poser des questions sur cet objet abstrait : pi (par exemple est il normal), pourquoi se poser ce genre de questions ? Dieudonné (le matheux : http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Dieudonn%C3%A9) répondait : "Pour l'honneur de l'esprit humain"

[MMu]

"Quand on pense que pour les mathématiques on n'a même pas réussi à prouver leur non-contradiction logique "

C'est du grand n'importe quoi, dans quel cadre parlez-vous ?

Dites donc l'ami baguette, peut être connaissez vous comment prouver que la théorie des ensemble est non-contradictoire ...

[inviteea6fd0dc]

Dites donc l'ami baguette, peut être connaissez vous comment prouver que la théorie des ensemble est non-contradictoire ...

Je m'appelle Alain Baguette, Baguette c'est mon nom, je ne suis pas "l'ami baguette" et je vous dispense de votre grossièreté.
Je crois avoir demandé dans quel cadre on parlait et pour autant que je sache, la mathématique ne se limite pas au cadre de la théorie des ensembles.
Ce qui ne m'empêche pas de vous souhaiter une bonne soirée.

[ericcc]

Conclusion : il ne faut pas chauffer Baguette .....

[MMu]

Je m'appelle Alain Baguette, Baguette c'est mon nom, je ne suis pas "l'ami baguette" et je vous dispense de votre grossièreté.
Je crois avoir demandé dans quel cadre on parlait et pour autant que je sache, la mathématique ne se limite pas au cadre de la théorie des ensembles.
Ce qui ne m'empêche pas de vous souhaiter une bonne soirée.

Désolé monsieur, je ne voulais pas vous froisser .
C'était peut être de ma part une familiarité déplacée mais en aucun cas une intention de grossièreté .
Cela étant dit je quitterai pour l'instant cette discussion sur les fondements des maths , qui ne mène à rien .

Passez une excellente nuit ...

[vaincent]

La notion d'infini (qui ne pose aucun problème en mathématique), fait elle partie du réel ?

La notion d'infini ne pose pas de problème tant que l'on en découvre pas ! La manque de doute en recherche mène à l'inévolution. Exemple : à la toute fin du 19ème siècle la majeur partie des physiciens (je suis physicien donc je prend un exemple de physicien, normal ) pensaient que la physique arrivait à terme et que tout ou presque était expliqué, seules des mesures plus précises auraient été nécessaires !!! Le début du 20ème siècle apportera 2 avancées majeures, la mécanique quantique et la relativité restreinte, puis générale, ainsi que la découverte de 2 nouvelles interactions fondamentales, rien que ça !

Bref, sinon votre question est très intéressante, sincèrement. S'est-on posé la question avant de l'utiliser (la notion d'infini)? Répondre à votre question semble impossible, mais à la fois, pour l'instant, tout porte à croire, par exemple, que les particules matérielles élémentaires (électrons, quarks) sont ponctuelles, i.e infiniment petites (ce n'est pas un constat de méconnaissance mais un résultat théorique et expérimental non-trivial) alors que selon les théories de l'univers les plus poussées, l'univers serait sans bords mais fini (de type sphérique donc, localement plat comme notre univers observable). De l'infinitésimalité mais pas d'infinité ?

Bon j'arrête ici ! Je ne vais pas continuer à polluer le forum de math avec mes réflexions existenciello-méta-mathématiquo-physique !!!

à plus...

[Theyggdrazil]

La notion d'infini gêne tant de gens, alors que sans elle on en serait encore aux mathématiques d'euclide.

De même en physique, l'infini permet d'exclure des théories qui aboutissent à des contradictions physique/mathématique justement.

[inviteeae453a2]

Presque tout est indécidable n'est vrai que si on considère l'infini (dont il est beaucoup question ici) comme actuel. Si, comme les intuitioinnistes et les constructivistes, l'infini n'est considéré que comme potentiel, la question ne se pose plus. Mais la pensée unique de la plupart des mathématiciens, qui ne veulent sans doute pas déboulonner Hilbert (il est vrai qu'il a fallu un Einstein pour déboulonner Newton), fait que cette branche des mathématiques reste négligée. A mon avis, Hilbert s'est mis le doigt dans l'oeil lorqu'il a prétendu que retirer le principe du tiers exclu serait comme retier le télescope aux astronomes.

[Médiat]

Presque tout est indécidable n'est vrai que si on considère l'infini (dont il est beaucoup question ici) comme actuel. Si, comme les intuitioinnistes et les constructivistes, l'infini n'est considéré que comme potentiel, la question ne se pose plus.

Donc pour vous l'arithmétique de Heyting est complète ou complètable, c'est bien cela ?

Je préfère ne pas commenter la suite ...

[inviteeae453a2]

Donc pour vous l'arithmétique de Heyting est complète ou complètable, c'est bien cela ?

Je préfère ne pas commenter la suite ...

Non, pas Heyting, et merci de n'avoir pas commenté la suite, il ne s'agissait que d'une humeur gracieuse d'ordre 2. Mais les opprobes dont furent victimes certains, d'Aristarque à Goëdel, la motive (sans la justifier!)
Je pense à l'arithmétique polynomiale de Kronecker, qui permet un retour consistant à l'arithmétique ordinaire grâce à la "descente infinie (indéfinie ou finie)" de Fermat, (et, j'ajoute, qui se peut se "satisfaire" de l'arithmétique de Gauss, en ne considérant plus alors que les nombres premiers que j'appelle "présentement connus, ou PC", c'est-à-dire ceux dont ont connaît présentement tous les premiers de rang inférieur et dont on a vérifié sans ambiguïté la primalité ; en prenant l'aritmétique modulo le plus grand premier PC, que j'appelle PPC, on se passe donc très bien de l'infini - et du zéro nul -). Voir en particulier le travail d'Yvon Gauthier. Bien sûr, les mathématiques sont l'art de l'esprit le plus libre qui soit, et rien n'interdit de continuer à raisonner sur des bases qui permettent de démontrer que presque tout ce qui est dit selon ces bases est indécidable.
Pendant ce temps, les constructivistes les plus taquins se marrent, je n'en ferai rien, bien sûr, pauvre amateur que je suit. Notons que M Hilbert y avait pensé, évidemment. Plus sérieusement, ce qui compte, c'est qu'un jour les physiciens puissent disposer d'outils mathématiques qui ne les conduisent pas à l'impasse de l'indécidabilité propore aux mathématiques "classiques", et il serait dommage de se passer des l'apport constructiviste pour des "simples" raisons dogmatiques. L'impasse actuelle entre relativité générale et physique quantique devrait motiver les mathématiciens pour rechercher des pistes sur cette voie.

[invitebe0cd90e]

l'impasse de l'indécidabilité

Ah bon ? Moi ca ne m'empeche ni de dormir ni de bosser...

il serait dommage de se passer des l'apport constructiviste pour des "simples" raisons dogmatiques.

D'abord il ne s'agit pas de raisons dogmatiques, ensuite la encore c'est une question tres éloignée du travail quotidien de la plupart des mathematiciens.

L'impasse actuelle entre relativité générale et physique quantique devrait motiver les mathématiciens pour rechercher des pistes sur cette voie.

Ca n'a pas grand chose à voir.

[inviteeae453a2]

Ah bon ? Moi ca ne m'empeche ni de dormir ni de bosser...

D'abord il ne s'agit pas de raisons dogmatiques, ensuite la encore c'est une question tres éloignée du travail quotidien de la plupart des mathematiciens.



Ca n'a pas grand chose à voir.

C'est bien le type de réponse auxquelles on peut s'attendre, mais sont elles bien constructives ? Mais je veux bien accepter que le débat sur l'indécidabilité des matématiques classiques ne présente pas d'intérêt (ici, en particulier, si je comprends bien, pour le dormeur), il n'empêche qu'il a lieu et que vous en êtes, bravo.
Ne pensez vous pas qu'il soit préférable de porter un argumentaire à démarche positive envers les travaux des constructivistes (il est vrai que G Bruno fut brûlé et Galilée enfermé avant que leurs propositions ne soient reconnues, mais qui maintenant doute que le soleil n'est qu'une étoile parmi tant d'autres!). Et si la physique et les mathématiques n'ont rien à voir, je pense que les physiciens ont beaucoup de questions à se poser...

[invitebe0cd90e]

Que de mauvaise foi en si peu de mots, c'est un régal...

C'est bien le type de réponse auxquelles on peut s'attendre, mais sont elles bien constructives ?

c'est bien le genre de questions qu'on voit passer 10 fois par jour sur le forum, mais sont elles bien posées ? temoignent t elles d'une certaine comprehension des choses dont elles parlent ?

Mais je veux bien accepter que le débat sur l'indécidabilité des matématiques classiques ne présente pas d'intérêt (ici, en particulier, si je comprends bien, pour le dormeur)

Est ce que j'ai dit que ca n'avait pas d'interet ? j'ai juste voulu rappeller que les theoremes de Godel ne sont pas des "mauvaises nouvelles", et que les maths ne vivenet pas sous la menace de s'effondrer comme un chateau de carte a la moindre seconde.

(il est vrai que G Bruno fut brûlé et Galilée enfermé avant que leurs propositions ne soient reconnues, mais qui maintenant doute que le soleil n'est qu'une étoile parmi tant d'autres!).

Je n'ai brulé personne depuis au moins... plusieurs semaines.

Et si la physique et les mathématiques n'ont rien à voir, je pense que les physiciens ont beaucoup de questions à se poser...

Oh la jolie provoc... J'ai simplement dit que la notion d'indecidabilité n'avait pas grand chose de comparable avec l'unification de la theories de la relativité et de la physique quantique.

[inviteeae453a2]

Merci pour ces leçons, beau débat rhétorique, mais toujours pas de réponse sur le constructivisme qui propose de sortir de l'indécidabilité presque partout présente en mathématiques classiques. Tant pis. Je respecte ce silence, mais il me pèse, j'irai donc voir ailleurs.