Question sur le théorème de récurrence de Poincaré

[EChevallier]

Bonjour,

Je n'ai que peu connaissances sur le sujet, il est donc possible que ma question ne soit pas très intéressante.
Il s'agit du théorème de récurrence de Poincaré. Si j'ai bien compris les choses, ce théorème dit que:
Lorsque on prend une boite remplit d'atomes régis par les lois de la physique, la configuration des atomes finira par repasser aussi proche que l'on veut de la configuration initiale, et ce, une infinité de fois.

Plaçons maintenant un homme dans la boite. Cet homme peut si il le souhaite empêcher que les atomes repassent par une configuration proche de celle initiale.

Si on suit le raisonnement, on en déduit que l'homme ne peut pas vivre éternellement.
....

Voila, ma question est de savoir dans quelle mesure ce que je viens de dire est vrai/faux ou incohérent.
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[Deedee81]

Salut,

Je n'ai que peu connaissances sur le sujet, il est donc possible que ma question ne soit pas très intéressante.
Il s'agit du théorème de récurrence de Poincaré. Si j'ai bien compris les choses, ce théorème dit que:
Lorsque on prend une boite remplit d'atomes régis par les lois de la physique, la configuration des atomes finira par repasser aussi proche que l'on veut de la configuration initiale, et ce, une infinité de fois.

Plaçons maintenant un homme dans la boite. Cet homme peut si il le souhaite empêcher que les atomes repassent par une configuration proche de celle initiale.

Si on suit le raisonnement, on en déduit que l'homme ne peut pas vivre éternellement.
....
Voila, ma question est de savoir dans quelle mesure ce que je viens de dire est vrai/faux ou incohérent.

Pas besoin d'un homme pour ça (et donc la conclusion sur la mortalité est fausse. On est mortel mais pour d'autres raisons ).

Imagine qu'une des parois soit collante. Les particules vont s'y agglomérer et jamais elles ne reviendront à leur configuration initiale.

Il y a donc des conditions d'applications du théorème. Je ne connais pas suffisamment pour préciser. Mais ça doit avoir un rapport avec ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_ergodique

[EChevallier]

Tu dois avoir raison dans le sens ou le systeme doit vérifier certaines hypothèses. Cependant, il me semble que les lois de la physique classique (s'est sans doute cela qui est à vérifier) sont cohérentes avec le théorème de récurrence. Si un humain est lui aussi cohérent avec les lois de la physique classique on a bien le problème initial.

[invite7863222222222]

il me semble que... Si un humain

Ca fait beaucoup de "si".

Si (encore un...), on fait l'hypothèse que l'on a une chance sur deux de dire quelque chose d'exact, quand on affirme quelque chose arbitrairement (et assez imprecis), alors on peut considérer qu'au moins un de vos 2 "si" est inexact et donc que votre conclusion est fausse.

La plupart des personnes vont réfléchir comme cela pour évaluer la pertinence de votre question et donc l'intérêt à y répondre.

Ce qui montre que vous devez revoir un peu votre autre approche de présentation de vos questions si vous voulez augmentez vos chances d'avoir des réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[EChevallier]

Peut être que mon attitude n'est pas la meilleure pour attirer les réponses... mais je prends des précautions pour éviter d'affirmer catégoriquement des bêtises.

J'aimerais justement qu'on puisse me dire si je peux enlever ces "si"

[invite7863222222222]

Peut être que mon attitude n'est pas la meilleure pour attirer les réponses...

Je n'oserais pas le dire, mais si vous l'envisagez comme cela, alors vous pourriez aussi peut-être à chercher à l'améliorer.

[Deedee81]

Concernant l'amélioration, ça doit exister. Peut-être en cherchant du coté de la thermodynamique hors équilibre. Car c'est ça qui fait la différence (je pense). C'est aussi bien le cas d'un être humain que de ma paroi collante. Ce sont des systèmes hors équilibre.

La seule chose que je sais c'est que la thermo hors équilibre, c'est pas de la tarte !

Aussi regarder du coté des systèmes dynamiques non linéaires (pas triste non plus). Les attracteurs étranges ont la particularité signalée par le théorème. De même pour des orbites périodiques. Mais pas pour les points hors orbite et hors point fixe.

Excusez si j'ai fait un peu court, je dois y aller. Bonne soirée à tous,

[EChevallier]

Je ne suis pas sur qu'il soit nécessaire d’introduire des notions compliquées, les hypothèses du théorème de récurrence sont "relativement simples".

[rik 2]

Si on suit le raisonnement, on en déduit que l'homme ne peut pas vivre éternellement.

Déjà ça c'est faux!

[invite7863222222222]

C'est apparemment précisément le contraire :

Un système pour lequel l'hypothèse ergodique est vérifiée sera qualifié de système ergodique. Dans la plupart des cas, il est très difficile de démontrer rigoureusement si un système est ergodique ou non. L'analyse mathématique de ce problème a donné naissance à la théorie ergodique qui précise la nature mathématique de l'hypothèse et donne des résultats sur ses conditions de validité. Mais l'hypothèse ergodique reste souvent une simple hypothèse, jugée vraisemblable a posteriori quand elle permet de faire des prédictions correctes. En ce sens, elle constitue un point faible de la physique statistique.

Autrement dit, ça ne fait pas sens de l'utiliser à priori comme vous le faîtes.

[EChevallier]

oui, d'accord.

Alors est ce qu'on peut dire que si un homme est dans la boite le système n'est nécessairement pas ergodique?

[invite7863222222222]

À postériori ça implique au minimum qu'il faut avoir des expériences qui puissent lillustrer, or il ny en a pas. D'ailleurs je ne vois pas trop à quoi elles pourraient ressembler.

[EChevallier]

je ne comprends pas vraiment ce que tu veux dire.

[invite7863222222222]

C'est fort possible, j'ai relu votre message initial qui parle de vie éternelle, on s'éloigne peut être du sujet.

Pouvez-vous reformuler votre question ?, personnellement je ne la comprends pas trop non plus.

[Deedee81]

Salut,

Alors est ce qu'on peut dire que si un homme est dans la boite le système n'est nécessairement pas ergodique?

Amha, ce n'est pas si simple.

On pourrait imaginer qu'après un certain temps, l'individu meurt, pourri, retourne en poussière. Puis après des milliards de milliards de etc... etc... de milliards d'années, avec le mouvement aléatoire des atomes. Par hasard. Il se reforme spontanément. Lui. Ou une légère variante. Une cellule de ci de là différente. Ou des cheveux différents. Ou un autre individu. Ou un chien. Ou une limace à ressorts. Ou etc....

Notons que cela invalide l'idée d'immortalité (à moins de lui donner un sens bizarre). D'abord parce que l'individu est mort (et pendant longtemps, tout au plus pourrait-on parler de résurrection) et ensuite parce que toutes les possibilités existent a priori. C'est un peu comme le nombre de Champernowne. Mon code génétique tout entier, et même la position de chacune de mes cellules, de mes molécules, atomes, ions, l'état de chacun de mes neurones, etc... Tout ça est écrit dans les décimales de ce nombre. Cela ne fait pas de moi un immortel. C'est simplement une énumération de tous les possibles.

Revenons au point précéden,t. C'est bien beau tout cela. Mais rien ne prouve que ce soit vrai. La biologie, la biochimie, la chimie sont complexes, avec pleins de règles et de contrainte. Rien ne dit qu'un tel scénario de récurrence soit possible, un peu comme pour la surface collante.

Bref, l'être humain est trop complexe pour qu'on puisse se prononcer (enfin, du moins à ma connaissance).

Evidemment, ça peut être un peu frustrant puisque ça ne répond pas à la question initiale !

Et c'est même pire que ça. Tout cela est bien beau avec une boîte. Mais, et pour l'univers ? Celui-ci est en expansion et, à ce que l'on sait (ce que semblent montrer les observations), c'est parti pour longtemps voire toujours. Déjà là, la même situation ne se répète pas. Il se peut donc que le théorème de récurrence ne soit pas du tout applicable dans ce contexte.

[EChevallier]

Est il possible de suivre le raisonnement suivant (il me semble bien que oui) :

Supposons un système dans lequel se trouve un homme et un objet. Supposons l'homme immortel. Il peut si il le souhaite empêcher indéfiniment que l'objet reprenne sa position initiale.

Un tel système n'est alors nécessairement pas ergodique, puisqu'il ne vérifie pas le théorème de récurrence.

Je ne vois vraiment pas où ce raisonnement pourrait être faux , mais la conclusion est surprenante.

[invite7863222222222]

mais celui où l'homme met l'objet dans le même état, lui est ergodique ?


A partir d'hypothèses contrefactuelles (l'homme vit éternellement), on dit souvent tout et n'importe quoi.

Il faut revenir à des choses plus concrètes et qui ont un sens.

Par exemple, pour grossir les traits, si je vous demandais : imaginons que pinocchio rencontre bambi, alors est-ce qu'il noueraient nécessairement des liens d'amitiés ?

Oui surement, mais comment dire...

[Deedee81]

Salut,

Je suis d'accord avec le raisonnement de EChevallier mais aussi avec les bémols de jreeman.

Pour progresser un peu, on peut partir des hypothèses à la base du théorème de récurrence. http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._Poincar%C3%A9 . Il me semble assez évident que l'hypothèse "soit un homme immortel prenant une certaine décision" implique une fonction d'évolution qui ne préserve pas la mesure de l'espace des phases (puisqu'il le restreint). Tout comme mon exemple de la plaque collante.

Le résultat est tout de suite moins mystérieux.

Reste à voir son intérêt dans des situations plus réalistes (en mettant Socrate dans la boite si vous voyez ce que je veux dire ).. Il peut être très compliqué de savoir si le théorème est valide. Les cas étudié en physique sont généralement plus simples (et idéalisés).

Mais l'important est surtout de se dire que le théorème de récurrence est comme tout théorème : il y a des hypothèses à la base qui peuvent être ou non respectées.

[EChevallier]

mais celui où l'homme met l'objet dans le même état, lui est ergodique ?


A partir d'hypothèses contrefactuelles (l'homme vit éternellement), on dit souvent tout et n'importe quoi.

Il faut revenir à des choses plus concrètes et qui ont un sens.

Par exemple, pour grossir les traits, si je vous demandais : imaginons que pinocchio rencontre bambi, alors est-ce qu'il noueraient nécessairement des liens d'amitiés ?

Oui surement, mais comment dire...

Je ne suis pas vraiment d'accord avec ces objections. Peux tu préciser quel étape du raisonnement ne tient pas selon toi et pourquoi? Pourquoi ne pourrait on pas parler d'immortalité?

Il me semble assez évident que l'hypothèse "soit un homme immortel prenant une certaine décision" implique une fonction d'évolution qui ne préserve pas la mesure de l'espace des phases (puisqu'il le restreint). Tout comme mon exemple de la plaque collante.

Le résultat est tout de suite moins mystérieux.

euh... je ne suis pas très au point sur les système dynamiques, mais je ne vois pas du tout d'où viendrait cette restriction de la mesure de l'espace des phases. Peux tu préciser ta justification?

Deedee81, es tu d'accord avec cette affirmation: un homme immortel dans une boite n'est pas un systeme ergodique?

[invite7863222222222]

Pourquoi ne pourrait on pas parler d'immortalité?

Pour être plus précis, ici le raisonnement contrefactuel consiste à dire qu'on connait des conclusions scientifiques à partir du fait qu'un homme est immortel.

Si nous avions des exemples d'homme immortel, alors nous pourrions avoir des exemples de conclusions générales que l'on pourraient faire.

Or nous n'avons pas d'exemple de tels hommes immortels, donc pas d'exemples de telles conclusions générales.

Vous ne pouvez donc pas supposer qu'ils puissent y avoir des conclusions générales liés au fait qu'un homme soit immortel, conclusions auxquelles votre conclusion ferait partie.

Nous n'avons aucune certitude de la tête générale que pourraient des généralités scientifiques découlant du fait qu'un homme puisse être éternel.

Laisser entendre, qu'un homme puisse faire en sorte de ne pas mettre un objet dans la même position, fasse partie de conclusions scientifiques générales évidentes est donc parfaitement contrefactuel.

[invite231234]

On ne peut vérifier qu'un homme est immortel, c'est comme croire au mouvement perpétuel !

[EChevallier]

Pour être plus précis, ici le raisonnement contrefactuel consiste à dire qu'on connait des conclusions scientifiques à partir du fait qu'un homme est immortel.

Si nous avions des exemples d'homme immortel, alors nous pourrions avoir des exemples de conclusions générales que l'on pourraient faire.

Or nous n'avons pas d'exemple de tels hommes immortels, donc pas d'exemples de telles conclusions générales.

J'avoue que je ne comprends pas vraiment tes arguments. Je ne vois pas pourquoi supposer quelque chose qui n'a jamais été observé nous empêche de tirer des conclusions intéressantes par rapport à cette hypothèse.

[invite7863222222222]

J'avoue que je ne comprends pas vraiment tes arguments. Je ne vois pas pourquoi supposer quelque chose qui n'a jamais été observé nous empêche de tirer des conclusions intéressantes par rapport à cette hypothèse.

Votre réponse traduit comment vous avez "compris" mon message et non ce que mon message exprime.
De plus, votre raisonnement est à nouveau contre factuel. Parler d'absence d'observations suppose des moyens mis en oeuvre pour pouvoir observer des hommes immortels, or une demarche mettant en oeuvre ces moyens nexiste actuellement pas.

[Xoxopixo]

Bonjour,

J'avoue que je ne comprends pas vraiment tes arguments. Je ne vois pas pourquoi supposer quelque chose qui n'a jamais été observé nous empêche de tirer des conclusions intéressantes par rapport à cette hypothèse.

Ce n'est pas faux, mais seulement dans le cas où les hypothèses sont réalistes.
Qu'il puisse exister une boite suffisament longtemps (au regard des transformations hypothétiques de l'Univers...incluant la boite) pour permettre un retour des atomes présents dans la boite dans la configuration initiale n'est pas du tout évident.

L'hypothèse de la boite est donc fantaisiste, bien que le concept parait interressant si on l'étend la boite à l'Univers.

Maintenant, concernant l'hypothèse d'un Univers ergotique...
Voir ce blog ici qui me parait interressant :

Un systèm évolue en permanence d'une configuration microscopique à une autre, jusqu'à ce qu'il atteigne l'équilibre. On admet alors le principe fondamental suivant :

Étant donné un système isolé en équilibre, il se trouve avec probabilités égales dans chacun de ses micro-états accessibles.

Cet axiome , hypothèse ergodique, est l'énoncé le plus profond du second principe de la thermodynamique.

La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique. Elle a connu de nombreux développements, cependant dans une conférence de Par Domokos Szasz [ Symposium International en l'honneur du 150ième anniversaire de la naissance de Boltzmann en 1994 à Vienne ] intitulé " Bolzmann's Ergodic Hypothesis a Conjecture for Centuries ?" , on peut lire dans la conclusion

Après plus de cent ans, l'ergodicité n'est pas encore établie pour le modèle mécanique le plus simple, c'est à dire celui des boules dures élastiques, bien que je pense que nous ne sommes pas loin de la solution. Cependant, pour les interactions générales, même les questions ne sont pas clairement posées et il n'y aura peut être pas de compréhension totale dans la prochaine centaine d'années.

Même si d'autres progrès ont été réalisés le problème est loin d'être résolu, pourtant on continue à lire par endroit que selon le second principe de la thermodynamique "l'entropie de l'univers croît"

http://exact.blog.lemonde.fr/2009/02...eneralisation/

[Deedee81]

Salut,

Je ne suis pas vraiment dans le même courant que les autres intervenant, mais tant pis, je me lance

euh... je ne suis pas très au point sur les système dynamiques, mais je ne vois pas du tout d'où viendrait cette restriction de la mesure de l'espace des phases. Peux tu préciser ta justification?

Le théorème de Poincaré part de l'hypothèse que l'a fonction de transformation (l'équation d'évolution ici) ne modifie pas la mesure de l'espace des phases (l'espace de toutes les variables dynamiques).

Or ici, on a une situation qui, par définition qui bloque un objet et l'empêche de retourner dans une partie de l'espace des phases. L'espace image de la fonction d'évolution est plus petit, de mesure moindre. Le théorème de récurence n'est donc plus valide. C'est d'ailleurs évident car :

Deedee81, es tu d'accord avec cette affirmation: un homme immortel dans une boite n'est pas un systeme ergodique?

Oui, du moins si on lui attribue la propriété que tu lui as donné au début : la possibilité de bloquer l'objet pour toujours. Rien ne dit que ce serait possible (il lui faudrait une patience infinie, en plus il doit être capable de vivre un temps infini sans manger, etc.).

Evidemment, comme on est dans une situation hypothétique, tout est possible. On peut imaginer que ou que pas ou pas que pas etc... Mais je n'en vois guère l'intérêt. Ca revient à dire :

- Si je me met dans une situation (par exemple avec un homme immortel qui peut etc... etc...) qui viole le théorème de récurrence, alors le théorème de récurrence ne s'applique plus.

Heu, oui, je veux bien, mais je n'en vois pas trop l'intérêt.

[Weensie]

Je ne suis pas certain que l'exemple de la "plaque collante" soit bon, en effet, rien ne dit que la propriété de colle ne disparaîtra pas soudainement à cause d'une configuration spéciale des molécules de la plaque (l'effet de colle est résultant des niveaux d'énergie des molécules de la plaque, donc rien ne l'empêche d'être ergodique et non une propriété intrinsèque de la plaque en elle-même), qui n'est en nature pas différente d'un autre système en interaction, comme les astres dans une galaxie

[Deedee81]

Je ne suis pas certain que l'exemple de la "plaque collante" soit bon, en effet, rien ne dit que la propriété de colle ne disparaîtra pas soudainement à cause d'une configuration spéciale des molécules de la plaque (l'effet de colle est résultant des niveaux d'énergie des molécules de la plaque, donc rien ne l'empêche d'être ergodique et non une propriété intrinsèque de la plaque en elle-même), qui n'est en nature pas différente d'un autre système en interaction, comme les astres dans une galaxie

Oui, tu as raison. Mais il est évident que je parlais d'une plaque qui n'a pas se comportement. J'aurais aussi pu imaginer une "petite boite" (dans la grande) qui se referme avec un cliquet à sens unique (à noter que même là il y a un os, un cliquet à cran d'arrêt finit toujours par fonctionner à l'envers à cause de l'agitation thermique même si en théorie ça peut prendre des milliards de milliards d'années).

Tout ça pour dire on peut toujours "imaginer que", mais, c'est vrai, pour les systèmes réels cette condition d'ergodicité du théorème de récurrence doit toujours être valide.

A noter que, pour les systèmes réels, c'est une conjecture. Ca été démontré dans toute une série de cas, mais pas de manière "universelle". Je parle de mémoire pour l'avoir lu (encore récemment) mais je ne connais pas ces démonstrations.

[Weensie]

Ah dans ce cas nous sommes d'accord. Pour savoir si l'univers est ergodique, en effet c'est quasiment une question de métaphysique physique! On ne sait pas vraiment étudier l'expansion de l'univers (mais dans le cas ou il le serait et de manière permanente (sans savoir d'ailleurs s'il "appartient" à un autre métaunivers stationnaire!!!) alors le théorème de Poincaré ne s'applique plus). Que de choses encore ignorées!