théorème de Poincaré et thermodynamique

[Seirios]

Salut à tous,

J'ai cru comprendre que la théorème de Poincaré stipulait qu'un système mécanique retournait toujours, après un certain temps (ça peut à plusieurs milliards de fois l'âge de l'univers...), dans son état initial.
Mais que penser du rapport de ce théorème avec la thermodynamique, et plus particulièrement le second principe, qui stipule que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter. Alors que penser d'un retour à son état initial ?

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci d'avance
Phys2
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[deep_turtle]

Ce retour peut effectivement survenir, mais ce n'est pas incompatible avec le second principe. A l'équilibre, un système passe par plein de micro-états différents, dont certains sont très peu probables. Il passe très peu de temps dans chaque, et donc le plus probable (et de très loin en général), c'est de le trouver dans un macro-état associé aux micro-états les plus nombreux (le macro-état le plus probable).

Par exemple, si tu mets un gaz dans une enceinte, il n'est pas rigoureusement impossible que spontanément tout le gaz se mette dans une moitié de l'enceinte et laisse l'autre vide ! En pratique cependant, la probabilité que ça arrive pendant l'âge de l'Univers est infime... ouf !

Pour réponde un peu différemment : l'entropie est une grandeur statistique, qui dit des choses seulement sur ce qui peut arriver en moyenne.

[Seirios]

Donc si, en prenant des unités factisses, l'entropie d'un système au cours du temps était de 3, puis de 2, et enfin de 4, en pratique on dirait que l'entropie de ce système est globalement 3 au cours du temps (puisque la moyenne de ces nombres est 3) ?

[deep_turtle]

Non. Si dans un état d'énergie donnée le système peut passer par 10 états microscopiques différents, ou 1000, ou 1 000 000, alors son entropie sera de 1, 3 ou 6, un "unités factices". En moyenne, le système passera 1/1 000 000 de son temps dans chaque état, dans le dernier cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

OK, merci

[invite8ef897e4]

Bonjour,

Pourriez-vous énoncer le théorème de Poincaré en question s'il vous plait ?
Parce que, étant donné le nombre de théorèmes qu'il a pondus, ce n'est pas facile à trouver

Merci d'avance !

[Seirios]

Je ne connais pas l'énoncé exacte, mais il s'agit d'un théorème qui stipule que tout système mécanique finit par revenir à son état initial.

[Seirios]

Ah je l'ai trouvé sur le net ! Le voici

[invite8ef897e4]

Ah oui, ça y est je l'ai trouvé !
Poincaré recurrence theorem sur wikipédia

Merci encore !

EDIT : oops, je me suis fait griller
Merci wiki alors !

[The Artist]

Super intéressant ce théorème !! Et merci pour les liens !!

Comment peut-on l'utiliser ? Quelles sont ses conséquences?

Je pense qu'il est le fondement de la physique statistique, non ?

[invite8ef897e4]

Je n'ai pas l'impression qu'il soit le fondement de la Physique statistique. Pour moi, il s'agirait plutôt du théorème H...

Si tu aimes les jolis théorèmes, dans le genre : connais-tu le théorème KAM ?

[Coincoin]

Salut,
La clé du problème, c'est donc "en combien de temps retourne-t-il à son état initial ?". Parce qu'il faut savoir que statistiquement, il est possible de revenir à son état initial mais les probabilités sont très vite de l'ordre de 1/exp(10^23). Bref, faut être patient !

[The Artist]

Salut,
La clé du problème, c'est donc "en combien de temps retourne-t-il à son état initial ?". Parce qu'il faut savoir que statistiquement, il est possible de revenir à son état initial mais les probabilités sont très vite de l'ordre de 1/exp(10^23). Bref, faut être patient !

Il y a t il des systèmes physique retournant à leur état initial dans la nature déjà ?

J'ai un très très vague souvenir d'une manip en méca des fluides qui consiste à faire tourner un liquide entre deux cylindres et pour montrer le phénomène on y ajoute de l'encre. On voit clairement les trajectoires colorées qui évoluent d'un état A puis B puis A. Enfin si je me rappelle bien !

[deep_turtle]

Yep, expérience de Taylor ou de Taylor-Couette...

[Coincoin]

J'ai un très très vague souvenir d'une manip en méca des fluides qui consiste à faire tourner un liquide entre deux cylindres et pour montrer le phénomène on y ajoute de l'encre. On voit clairement les trajectoires colorées qui évoluent d'un état A puis B puis A. Enfin si je me rappelle bien !

Effectivement, je vois de quoi tu parles. Dans un milieu très visqueux, les équations de l'hydrodynamique sont invariantes par renversement du temps. Donc une transformation est réversible. Si on prend deux cylindres coaxiaux séparés par un liquide visqueux avec quelques taches d'encre, et qu'on fait tourner un cylindre, on voit les taches s'étaler (jusque là c'est normal). Mais si on refait tourner le cylindre dans l'autre sens, les traînées se reconcentrent pour former les taches de départ (un peu élargies à cause de la diffusion). Mais ça ne marche que parce que dans ces conditions particulières les choses sont réversibles.

Si tu laisses évoluer, les taches vont s'élargir par diffusion de manière irréversible. Ca veut dire que la probabilité que la tache ne s'élargissent et tellement faible que n'importe quel physicien est prêt à parier dessus.

A grande échelle, le théorème des grands nombres te permet d'avoir de belles lois bien suivies. Ce n'est qu'à très petite échelle (ou dans des conditions très particulières) que les fluctuations prennent de l'importance.

[The Artist]

[QUOTE=humanino;734287]Je n'ai pas l'impression qu'il soit le fondement de la Physique statistique. Pour moi, il s'agirait plutôt du théorème H...
[QUOTE]

J'en sais rien en fait,mais il semble être important à première lecture...

Comment peut-on l'appliquer?

Un pendule simple est un système dynamique décrit par la mécanique de Newton et il est conservatif dans le vide (pas de dissipation de frottement). D'après ce théorème il est périodique et on l'observe bien.
Par contre dans le cas du mouvement rectiligne uniforme d'une particule, v=cste ???

[Coincoin]

the Poincaré recurrence theorem states that a system having a finite amount of energy and confined to a finite spatial volume will, after a sufficiently long time, return to an arbitrarily small neighborhood of its initial state.

Le théorème ne s'applique donc pas au mouvement rectiligne uniforme, qui n'est pas confiné.

[The Artist]

Mais ça ne marche que parce que dans ces conditions particulières les choses sont réversibles.

Si tu laisses évoluer, les taches vont s'élargir par diffusion de manière irréversible. Ca veut dire que la probabilité que la tache ne s'élargissent et tellement faible que n'importe quel physicien est prêt à parier dessus.

A grande échelle, le théorème des grands nombres te permet d'avoir de belles lois bien suivies. Ce n'est qu'à très petite échelle (ou dans des conditions très particulières) que les fluctuations prennent de l'importance.

Ah d'accord !! C'est à cause du théorème des grands nombres que l'on observe pas de retour en arrière à notre échelle? Quelles puissance ont les maths j'y reviens pas !!!

Et à l'échelle cosmologique ? On l'utilise pour dans une quelconque théorie?

Ca m'interesse beaucoup mais j'ai juste un niveau Licence de physique.
Auriez vous une publication à ce domaine de la physique ?

Thanx

[The Artist]

Le théorème ne s'applique donc pas au mouvement rectiligne uniforme, qui n'est pas confiné.

Alors qu'est qu'un mouvement confiné? C'est un mouvement dont les trajectoires forment un volume fini, mathématiquement mais physiquement?? C'est un idéalisation extème je trouve. Je situe à peu près le débat, Prigogine est sa Nouvelle Alliance. C'est super intéressant je trouve.

[invite8ef897e4]

Alors qu'est qu'un mouvement confiné?

Un gaz dans une boite, ou bien une planete autour d'une étoile, sont des exemples de mouvements confinés.

[chaverondier]

J'ai cru comprendre que le théorème de Poincaré stipulait qu'un système mécanique retournait toujours, après un certain temps (ça peut à plusieurs milliards de fois l'âge de l'univers...), dans son état initial. Mais que penser du rapport de ce théorème avec la thermodynamique, et plus particulièrement le second principe, qui stipule que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter. Alors que penser d'un retour à son état initial ? Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?
Phys2

Très bonne remarque.
* Le second principe dit que l'entropie macroscopique d'un système isolé ne peut que croître. Il découle de ce principe qu'un système isolé ne peut jamais revenir près de son état initial.

* Le théorème de Poincaré dit au contraire qu'un système possédant une énergie finie et contraint à rester confiné dans un volume borné, finit toujours par revenir aussi près qu'on le souhaite de son état initial.

Ces deux affirmations sont incompatibles. C'est la fameuse objection dite de récurrence de Zermelo au théorème H de Poincaré (le théorème qui démontre le second principe dans le cas particulier des gaz parfaits isolés).

En réalité, l'entropie macroscopique d'un système "isolé" augmente parce que les systèmes physiques ne sont jamais parfaitement isolés. La clé de voûte de l'équation d'évolution de Boltzmann (sur laquelle repose le théorème H de Boltzmann), c'est l'hypothèse dite du chaos moléculaire. Il s'avère que cette hypothèse est correcte parce que l'information de corrélation induite par les chocs entre particules du gaz est définitivement perdue par diffusion dans l'environnement. Cette diffusion irréversible d'information découle de l'interaction inévitable du système "isolé" avec son environnement (et du caractère local de nos possibilités d'accès à l'information) (1).

Il ressort de tout cela que le second principe de la thermodynamique traduit les limitations d'accès à l'information d'une catégorie d'observateurs. Il en est de même de la flèche du temps (pendant de la notion d'irréversibilité). La formalisation de ce point de vue informationnel sur l’irréversibilité rentre dans le cadre de l'hypothèse dite du temps thermique. On pourra notamment voir à ce sujet le papier de Carlo Rovelli accessible en ligne "Diamonds's Temperature: Unruh effect for bounded trajectories and thermal time hypothesis" http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074 ).

Remarque : le conflit entre le caractère réversible de la dynamique quantique et le caractère irréversible de la mesure quantique (paradoxe du chat de Schrödinger) peut se résoudre lui aussi en prenant en compte le rôle de l'observateur. La séparation en mondes multiples par exemple (dans l'interprétation d'Everett de la mesure quantique) ne vient pas contredire ce point, bien au contraire. Si la séparation en mondes multiples est censée se produire et pas la recombinaison, c'est parce que le point de vue de départ choisi est celui d'un observateur. Il ne sait pas observer des situations où "il" est lui même dans un état superposé si bien qu'il perd de l'information quand il se retrouve dans un tel état, or pour décrire la séparation en mondes multiples on part d’un point de vue observable (donc d’une description incomplète).

Même en mécanique quantique, l'irréversibilité observée manifeste donc probablement une perte d'accès à l'information d'une catégorie d'observateurs : ce sont donc très vraisemblablement ces limitations d'accès à l'information qui sont à l'origine de la perception d'une flèche du temps (comme c'est déjà le cas en physique statistique classique).

On peut dès lors se poser la question de savoir ce que devient cette flèche du temps (notamment l'absence de souvenirs du futur) si, à l'avenir, les progrès technologiques nous donnent accès à des informations inaccessibles à nos moyens d'observation actuels. BC

(1) En fait, la prédictibilité de l'état microphysique d'un gaz "isolé" est perdue en quelques fois le temps de libre parcours moyen en raison de l'impossibilité pratique d'isoler le gaz de perturbations incontrôlables provenant du milieu extérieur interagissant avec ce gaz. La célèbre remarque de Borel sur l'extrême sensibilité de l'état microphysique d'un gaz aux perturbations induites par de très faibles perturbations du champ gravitationnel illustre ce point de manière particulièrement frappante.

[The Artist]

bonjour!
Connaitriez vous des textes récents en français qui traitent de ce thème de recherche ?
Cordialement

[chaverondier]

Connaitriez vous des textes récents en français qui traitent de ce thème de recherche ?

Il faut d'abord lire attentivement la physique statistique. Voir par exemple Physique statistique, introduction, de Christian et Hélène Ngô, 2ème édition, Dunod. Ensuite, on peut regarder (en Anglais malheureusement) l'étude de la flèche du temps proposée par Hans Dieter Zeh, The Direction of Time http://www.time-direction.de/ et l'hypothèse du temps thermique présentée par Carlo Rovelli notamment "Diamonds's Temperature: Unruh effect for bounded trajectories and thermal time hypothesis" http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074 .

BC

[fridirick]

(1) En fait, la prédictibilité de l'état microphysique d'un gaz "isolé" est perdue en quelques fois le temps de libre parcours moyen en raison de l'impossibilité pratique d'isoler le gaz de perturbations incontrôlables provenant du milieu extérieur interagissant avec ce gaz. La célèbre remarque de Borel sur l'extrême sensibilité de l'état microphysique d'un gaz aux perturbations induites par de très faibles perturbations du champ gravitationnel illustre ce point de manière particulièrement frappante.

Vous avez certainement raison dans ce que vous dites. Mais ca ne me satisfait pas. Ca ne répond pas du problème logique posé. Ca répond du problème physique uniquement. C'est le genre de problèmes qui m'empêchent de dormir.

[invitef17c7c8d]

Bonsoir,

Il existe aussi une simulation numérique célèbre : FPU pour Fermi-Pasta-Ulam.
Une des toutes premières faite sur ordinateur et qui montre le même phénomène.

16 oscillateurs sont couplés entre eux. On excite le premier puis on regarde comment se propage l'énergie. Fermi, absorbé par la théorie quantique, s'attendait à ce que l'on observe un phénomène de "thermalisation" c'est à dire qu'au bout d'un certain temps l'énergie soit uniformément répartie sur les 16 oscillateurs.

C'est ce que l 'on constate dans un premier temps, puis on remarque qu'au fur à mesure quasiment toute l'énergie se retrouve de nouveau uniquement sur le premier oscillateur!

Surprenant non?

[Magnétar]

Bonsoir,

Je préciserai quand même que le truc qui fait que "l'expérience" de FPU a donné des résultats intéressants est qu'elle était faite avec des oscillateurs non linéaires.

Vous avez certainement raison dans ce que vous dites. Mais ca ne me satisfait pas. Ca ne répond pas du problème logique posé. Ca répond du problème physique uniquement. C'est le genre de problèmes qui m'empêchent de dormir.

Qu'elle est le problème de logique pour toi ?

[invitef17c7c8d]

Par rapport l'expérience FPU, je me suis toujours demandé si ce n'était pas simplement un phénomène de battement un peu plus compliqué.

Vous avez certainement vu cette expérience de deux pendules reliés entre eux par un ressort. Vous excitez le premier pendule, l'énergie est transféré au deuxième, puis de nouveau au premier, etc.

Est ce que l'expérience FPU n'est pas tout simplement le même phénomène mais avec 16 pendules ???

[Magnétar]

Par rapport l'expérience FPU, je me suis toujours demandé si ce n'était pas simplement un phénomène de battement un peu plus compliqué.

Oui et non mais ça n'a pas réellement de lien avec le théorème du retour. En fait la description du problème, que je n'ai plus en tête, se fait en terme de soliton qui sont des phénomènes purement non linéaires. Le problème dans FPU c'est qu'il ne faut surtout pas raisonner à la Fourier (et du coup la notion de battements...).

[fridirick]

Bonsoir,

Je préciserai quand même que le truc qui fait que "l'expérience" de FPU a donné des résultats intéressants est qu'elle était faite avec des oscillateurs non linéaires.



Qu'elle est le problème de logique pour toi ?

J'ai peur de dire des betises ou de mal me faire comprendre. Mais bon j'ai bien envie de comprendre

En réalité, l'entropie macroscopique d'un système "isolé" augmente parce que les systèmes physiques ne sont jamais parfaitement isolés. La clé de voûte de l'équation d'évolution de Boltzmann (sur laquelle repose le théorème H de Boltzmann), c'est l'hypothèse dite du chaos moléculaire. Il s'avère que cette hypothèse est correcte parce que l'information de corrélation induite par les chocs entre particules du gaz est définitivement perdue par diffusion dans l'environnement. Cette diffusion irréversible d'information découle de l'interaction inévitable du système "isolé" avec son environnement (et du caractère local de nos possibilités d'accès à l'information) (1).

Ca ne rend pas les deux affirmations suivantes compatibles.

* Le second principe dit que l'entropie macroscopique d'un système isolé ne peut que croître. Il découle de ce principe qu'un système isolé ne peut jamais revenir près de son état initial.

* Le théorème de Poincaré dit au contraire qu'un système possédant une énergie finie et contraint à rester confiné dans un volume borné, finit toujours par revenir aussi près qu'on le souhaite de son état initial.

Ces deux affirmations sont incompatibles. C'est la fameuse objection dite de récurrence de Zermelo au théorème H de Poincaré (le théorème qui démontre le second principe dans le cas particulier des gaz parfaits isolés).

et je pense que d'une quelconque manière elles sont compatibles. Mais je n'ai pas la réponse.

[gatsu]

et je pense que d'une quelconque manière elles sont compatibles. Mais je n'ai pas la réponse.

Salut,

En fait le temps de récurrence, indépendamment de sa valeur, dépend énormément de la condition microscopique initiale.
Comme l'information accessible à un experimentateur n'est jamais parfaite, il faut envisager une distribution statistique initiale compatible avec l'observation. A l'intérieur de cette distribution il peut y avoir des états microscopiques dont le temps de récurrence est de l'ordre de la seconde alors que d'autre pour lesquels il est de l'ordre de l'age de l'univers.
La dispersion est tellement importante qu'il est inenvisageable, même mathématiquement, de résoudre le problème autrement qu'en incorporant ces phénomènes de récurrence dans les fluctuations statistiques autours des valeurs moyennes d'observables macroscopiques qui suivent, elles, une évolution déterministe au sens de la thermodynamique hors équilibre.