Théorèmes de Gödel et réalité

[Davarcroft]

J'ai récemment découvert les théorèmes d'incomplétude de Kurt Gödel :

Premier théorème : Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie

Second théorème : Si T est une théorie cohérente qui satisfait des hypothèses analogues, la cohérence de T, qui peut s'exprimer dans la théorie T, n'est pas démontrable dans T.

(Source : Wikipédia)

J'ai ensuite commencé à chercher ce qu'ils impliquaient.

Donc, si j'ai bien compris, nous ne pourrons jamais trouver une théorie basée sur l'arithmétique capable de décrire complètement notre Univers puisque toute théorie cohérente est incomplète. On sera toujours confrontés à des énoncés à la fois indémontrables et irréfutables.

Est-ce que cela signifie que nous devons renoncer à la notion de réalité absolue (j'entends par là, indépendante de l'observateur) ?
En effet, puisqu'il est impossible de formuler une théorie complète depuis l'intérieur de notre Univers, cela signifie donc que la réalité est inaccessible ou autrement dit inexistante, non ?
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[Amanuensis]

Donc, si j'ai bien compris, nous ne pourrons jamais trouver une théorie basée sur l'arithmétique capable de décrire complètement notre Univers

Cela n'a a priori (sans hypothèse supplémentaire) rien à voir : les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont des résultats portant sur les mathématiques formelles, pas sur une "description de l'Univers".

Est-ce que cela signifie que nous devons renoncer à la notion de réalité absolue (j'entends par là, indépendante de l'observateur) ?

Là encore, un mélange de genre. La question de la "'réalité" est pour le moment du ressort de la philosophie, pas de la cosmologie, et encore moins des maths.

[Médiat]

Bonsoir,

En plus des remarques précédentes (qui d'une certaine façon, clôturent le sujet), je précise que le théorème de Gödel ne vaut que pour la logique du 1er ordre, et n'est pas valide dans la logique du 2nd ordre, par exemple.

[Davarcroft]

Cela n'a a priori (sans hypothèse supplémentaire) rien à voir : les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont des résultats portant sur les mathématiques formelles, pas sur une "description de l'Univers".

Je vois, donc il ne suffit pas qu'une théorie soit basée sur un formalisme arithmétique pour que ces théorèmes s'appliquent ? Qu'en est-il de la Relativité Générale ou de la mécanique quantique ? Elles ne sont donc pas concernées par l'incomplétude ?

En plus des remarques précédentes (qui d'une certaine façon, clôturent le sujet), je précise que le théorème de Gödel ne vaut que pour la logique du 1er ordre, et n'est pas valide dans la logique du 2nd ordre, par exemple.

J'avoue que je ne connais pas la différence entre les logiques d'ordres différents. Est-ce que vous pouvez m'en dire un peu plus afin que j'en ai une compréhension succincte ou est-ce un trop gros morceau pour pouvoir être apprivoiser sans un important bagage mathématique ?
Et par exemple, les théories physiques citées plus haut sont formulées dans une logique de quel ordre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'avoue que je ne connais pas la différence entre les logiques d'ordres différents. Est-ce que vous pouvez m'en dire un peu plus afin que j'en ai une compréhension succincte ou est-ce un trop gros morceau pour pouvoir être apprivoiser sans un important bagage mathématique ?

La définition est facile (on peut quantifier sur les sous-ensembles et les relations et pas seulement sur les éléments), mais cela ne donne qu'une idée très superficielle.

Et par exemple, les théories physiques citées plus haut sont formulées dans une logique de quel ordre ?

Je laisse les physiciens répondre.

[Amanuensis]

Je vois, donc il ne suffit pas qu'une théorie soit basée sur un formalisme arithmétique pour que ces théorèmes s'appliquent ? Qu'en est-il de la Relativité Générale ou de la mécanique quantique ? Elles ne sont donc pas concernées par l'incomplétude ?

Quand on choisit un modèle en physique, ce n'est pas pour y traiter n'importe quel énoncé possible avec le modèle, mais uniquement ceux qui ont un "sens physique", ceux qui se traduisent en des observations faites ou à faire.

Ce n'est pas parce qu'on peut construire un énoncé indécidable qu'on peut en construire un qui ait un "sens physique".

Ou, présenté différemment, il y a bien des énoncés "indécidables" dans un modèle appliqué à la physique, mais pas au sens utilisé dans les théorèmes de Gödel, mais au sens physique, à savoir "il n'y a pas d'observation possible permettant de tester l'énoncé" ; il s'agit d'une impossibilité de réfuter. Et à côté de cela l'indécidabilité indiquée par le théorème de Gödel est le moindre des soucis !

[pelkin]

Mais quand, quand, quelqu'un s'intéressera t-il au théorème de complétude de ce cher Kurt ????

Quand, Quand ... bon dieu !

[Médiat]

Vous savez que j'ai répété des dizaines de fois ici-même que le théorème de complétude de Gödel me semblait beaucoup plus important que les théorèmes d'incomplétudes, mais je ne vois pas quel est le rapport entre ce théorème (de complétude) et l'interrogation de Davarcroft.

Théorème de complétude qui n'est, d'ailleurs, pas valide eu 2nd ordre.

[pelkin]

Vous savez que j'ai répété des dizaines de fois ici-même que le théorème de complétude de Gödel me semblait beaucoup plus important que les théorèmes d'incomplétudes, mais je ne vois pas quel est le rapport entre ce théorème (de complétude) et l'interrogation de Davarcroft.

Théorème de complétude qui n'est, d'ailleurs, pas valide eu 2nd ordre.

Certes, mais alors comment assumer cette réponse ?


Citation Envoyé par Davarcroft Voir le message
Et par exemple, les théories physiques citées plus haut sont formulées dans une logique de quel ordre ?
Je laisse les physiciens répondre.

[Deedee81]

Bonjour,

Je ne pense pas qu'on puisse dire qu'en physique on utilise une logique de telle ou telle ordre. On a des expériences, des valeurs trouvées, des relations, des grandeurs... Puis on construit un édifice théorique manipulant ces grandeurs. Edifice théorique utilisant les mathématiques et divers raisonnements logiques. Et ma foi, peu importe ce qu'on utilise.... du moment que ça marche

[Médiat]

Cela n'empêche pas de se demander si "l'édifice théorique" (hors de toute référence à une hypothétique "réalité", contrairement au premier post), est ou n'est pas soumis aux théorèmes d'incomplétude de Gödel, s'il y est soumis (ce qui doit se démontrer, donc prendre en compte la logique utilisée pour les inférences), il me semble que le résultat ne serait pas "inintéressant", même si très éloigné des problèmes usuels du physicien (de la même façon que pour les mathématiques, la majorité (très grosse majorité) des mathématiciens n'utilisent jamais les théorèmes d'incomplétudes de Gödel (ce sont plutôt les logiciens (la crème de la crème quoi (mais non, j'déconne.)) qui l'utilisent ; sans parler de ceux (je ne parle plus des mathématiciens) qui ne les comprennent pas et les utilisent à tort et à travers), quand ils les connaissent (là je parle des mathématiciens).

[Davarcroft]

En effet, je me rends compte que parler de réalité n'était pas du tout approprier.

Mais le but de la physique est quand même d'aboutir à l'unification des différents modèles, n'est-ce pas ?
En admettant que les théories physiques soient soumises aux théorèmes d'incomplétude, cela signifierait qu'il serait impossible d'aboutir à un modèle unique décrivant l'Univers puisque, du fait de l'incomplétude, une théorie débouchera forcément sur plusieurs modèles.
Après, tout cela ne vaut que si les théorèmes d'incomplétude s'appliquent aussi aux théories physiques.

[Médiat]

Mais le but de la physique est quand même d'aboutir à l'unification des différents modèles, n'est-ce pas ?

J'en doute, mais je préfère laisser les physiciens répondre.

En admettant que les théories physiques soient soumises aux théorèmes d'incomplétude, cela signifierait qu'il serait impossible d'aboutir à un modèle unique décrivant l'Univers puisque, du fait de l'incomplétude, une théorie débouchera forcément sur plusieurs modèles.

Même en acceptant l'hypothèse en gras (absolument nécessaire), cela se traduirait plutôt par :

Quelque soit la théorie envisagée, elle contient forcément des affirmations que la théorie ne peut pas décider (dans son propre langage). Bien sûr le physicien peut prendre la décision grace à une expérience (en mettant les choses au mieux), mais, même après cette décision, il restera encore des affirmations indécidables.

[Deedee81]

Cela n'empêche pas de se demander si "l'édifice théorique" (hors de toute référence à une hypothétique "réalité", contrairement au premier post), est ou n'est pas soumis aux théorèmes d'incomplétude de Gödel

Il l'est forcément. Les théories sont formulées sur base d'un d'ensemble d'axiomes et d'outils mathématiques eux-mêmes axiomatisés. L'ensemble est donc incomplet (au sens de Gödel). Mais je serais fichtre incapable de citer une seule affirmation dans un seul cadre théorique physique qui serait indécidable. Et je serais encore moins incapable de dire si une telle question pourrait avoir un intérêt physique (*).

Du point de vue calculatoire, c'est plus clair. Il existe des tas de problème analytiquement non résoluble et je suis certain qu'il ne faudrait pas trop creuser pour trouver des cas non calculables (au sens de Turing). Mais ce n'est pas grave car non calculable au sens de Turing ne veut pas dire non calculable pour un ensemble fini de valeurs des paramètres (au sens numérique, les données sont forcément dénombrable). De plus, la physique est toujours FAPP (for all practical purpose), c'est-à-dire soumise entre autre à la précision des mesures. On peut donc toujours travailler avec des approximations théoriques qui (avec de la chance ) sont meilleures que la précision expérimentale. Ce qui permet de résoudre bien des problèmes de calculabilité.

(*) Ces deux dernières phrases sont probablement les plus intéressantes dans le cadre de ce fil, mais là, ça dépasse un peu mes compétences.

[invite23876543123]

Il l'est forcément. Les théories sont formulées sur base d'un d'ensemble d'axiomes et d'outils mathématiques eux-mêmes axiomatisés. L'ensemble est donc incomplet (au sens de Gödel). Mais je serais fichtre incapable de citer une seule affirmation dans un seul cadre théorique physique qui serait indécidable. Et je serais encore moins incapable de dire si une telle question pourrait avoir un intérêt physique (*).

(*) Ces deux dernières phrases sont probablement les plus intéressantes dans le cadre de ce fil, mais là, ça dépasse un peu mes compétences.

Les prix millionnaires :

-résolution équation Navier Stokes !

-P = NP !

-résolution du problème à N corps !

-etc ...

Tout ça est jusqu'à preuve du contraire indécidable !

[invite6754323456711]

Il l'est forcément.

Il y avait cet article de vulgarisation de Jean-Paul DELAHAYE

Si un procédé physique engendre une suite aléatoire (et en mécanique quantique on pense que de tels procédés existent) alors il engendre de l’indécidable.

Le vieux théorème d’incomplétude, loin de décrire un innocent phénomène ne concernant les mathématiques que de loin comme cela a parfois été dit, se révèle, année après année, plus profond, plus grave et plus fondamental, en même temps qu’il nous force à revoir nos idées sur la nature réelle des mathématiques et de leurs rapports avec la physique.

Patrick

[Médiat]

Il l'est forcément. Les théories sont formulées sur base d'un d'ensemble d'axiomes et d'outils mathématiques eux-mêmes axiomatisés. L'ensemble est donc incomplet (au sens de Gödel).

Je ne suis pas convaincu, pour que les théorèmes d'incomplétudes s'appliquent il faut un certain nombre de conditions, y compris sur la logique utilisée, or :

Je ne pense pas qu'on puisse dire qu'en physique on utilise une logique de telle ou telle ordre

[Deedee81]

Salut,

Il y avait cet article de vulgarisation de Jean-Paul DELAHAYE

Ah oui, je l'ai lu mais je n'y pensais pas. Merci,

Je ne suis pas convaincu, pour que les théorèmes d'incomplétudes s'appliquent il faut un certain nombre de conditions, y compris sur la logique utilisée, or :

Ma foi, je ne suis pas capable d'en dire plus. Je ne suis pas assez calé en logique formelle.

[Médiat]

Tout ça est jusqu'à preuve du contraire indécidable !

Cette remarque n'est pas plus valide que

Tout ça est jusqu'à preuve du contraire " """"""""dsfdfxgvrai"
ou que
Tout ça est jusqu'à preuve du contraire "faux"

[invite10421055]

J'ai récemment découvert les théorèmes d'incomplétude de Kurt Gödel :

Premier théorème : Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie

Second théorème : Si T est une théorie cohérente qui satisfait des hypothèses analogues, la cohérence de T, qui peut s'exprimer dans la théorie T, n'est pas démontrable dans T.

(Source : Wikipédia)

J'ai ensuite commencé à chercher ce qu'ils impliquaient.

Donc, si j'ai bien compris, nous ne pourrons jamais trouver une théorie basée sur l'arithmétique capable de décrire complètement notre Univers puisque toute théorie cohérente est incomplète. On sera toujours confrontés à des énoncés à la fois indémontrables et irréfutables.

Est-ce que cela signifie que nous devons renoncer à la notion de réalité absolue (j'entends par là, indépendante de l'observateur) ?
En effet, puisqu'il est impossible de formuler une théorie complète depuis l'intérieur de notre Univers, cela signifie donc que la réalité est inaccessible ou autrement dit inexistante, non ?

Pas besoin de Gödel pour répondre. Il suffit de se référer à la chose-en-soi Kantienne...
La réalité absolue, la chose-en-soi est inaccessible.
La science n'accède qu'à la réalité relative, elle en décrit des relations, et des fonctionnements dans un but utilitaire.
Elle n'a pas d'autre ambition.

Cordialement

[noureddine2]

La science n'accède qu'à la réalité relative, elle en décrit des relations, et des fonctionnements dans un but utilitaire.
Elle n'a pas d'autre ambition.

salut , le problème est que chaque spécialité possède sa réalité relative ou son angle de vue ,
et chacun doit comparer entre elles pour choisir la meilleur ,
j'aimerais bien voir un organisme scientifique qui s'occupe de cette comparaison pour nous aider à voir plus clair.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Choisir le "meilleur" modèle (au sens celui qui décrit le mieux le phénomène observé) n'est pas forcément une bonne idée pour les applications pratiques. Je donne un exemple:

Le meilleur modèle actuellement en vigueur pour décrire la matière et ses interactions est la théorie quantique des champs. En suivant la logique du "meilleur" modèle, un biologiste devrait utiliser ce formalisme pour décrire le fonctionnement d'une protéine. Bien sûr, il ne le fera (ou du moins rarement) car:

1) C'est extrêmement compliqué.
2) Cela demande des moyens financiers et de calculs importants.

Le biologiste se tournera la plupart du temps vers des modèles moins chers et moins précis (lois empiriques de la chimie organique, observations...), qui donneront des résultats approximatifs mais utilisables pour ses besoins.