théorèmes d’incomplétude

[ù100fil]

Bonjour,

Les théorèmes d'incomplétude (en l'occurrence le second) permettent-il de dire ? :

On ignore actuellement si ZF est consistante mais on sait que si, un jour, on pouvait démontrer sa consistance par ses propres outils, c’est qu’elle est inconsistante.

La théorie des ensembles ZF ne formalise t'elle pas la quasi totalité des mathématiques ?

En logique classique, si une théorie est inconsistante, i.e. contradictoire, alors toute formule, sans exception, est démontrable. Dans une telle théorie, il ne serait plus possible de distinguer les vérités des faussetés.

Patrick

Contraposée (informelle) du second théorème :

Si T est une théorie récursive, contenant l’arithmétique et capable de démontrer au sein d’elle-même sa propre consistance, alors T est inconsistante.

[dionisos]

Ben on démontre que la réponse a la question: "ZF est consistante", est indécidable, a l'aide de ZF.

Donc si on repond a cette question par la suite, par vrai ou par faux, ""ZF est consistante" est indecidable" est faux, et donc on est arriver a du faux a partir du vrai, et donc ZF est inconsistante.

Enfin j'suis sans doute a coté de la plaque en répondant sa, parce que j'ai du mal a voir qu'elle est la question.

[ù100fil]

Ben on démontre que la réponse a la question: "ZF est consistante", est indécidable, a l'aide de ZF.

Donc si on repond a cette question par la suite, par vrai ou par faux, ""ZF est consistante" est indecidable" est faux, et donc on est arriver a du faux a partir du vrai, et donc ZF est inconsistante.

Enfin j'suis sans doute a coté de la plaque en répondant sa, parce que j'ai du mal a voir qu'elle est la question.

« T est consistante » n’est pas démontrable à partir de T. Aucune théorie consistante n’est capable de démontrer sa propre consistance.

La théorie des ensembles a pour but d'introduire et d'étudier les objets fondamentaux du monde mathématique.

Peut généralisé en disant ? :

On ne sait donc pas si les mathématiques sont consistant. Si on arrive à le démontrer mathématiquement alors on démontre qu'ils sont inconsistant ?

Cela est assez troublant. Les théories mathématiques ne sont peut être que des châteaux de sable.

Patrick

[ù100fil]

Bonsoir,

Autrement dit.

Peut montrer que les mathématiques ne sont pas contradictoires ? C'est à dire en montrant qu’un groupe d’axiomes censés axiomatiser les mathématiques est non contradictoire.

Patrick

[poinserré]

arrêtez vos bêtises , tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction , donc tout raisonnement est une grosse perte de temps .....

[erik]

tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction

Godel point

[ù100fil]

arrêtez vos bêtises , tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction , donc tout raisonnement est une grosse perte de temps .....

Quel est ton problème ? Que veut dire tout peut être envisageable ?

Je traduit juste ce que je crois avoir compris de l'incomplétude (appliqué par exemple à ZF) et demande confirmation :

Il semble impossible de démontrer l'existence d'un modèle de ZF. De deux choses l'une (et non une infinité) :

Ou bien il n'en existe pas, et alors la théorie des ensembles, mise au point avec tant d'efforts et de temps, s'effondre dans la contradiction.

Ou bien il existe un modèle de ZF, mais toute tentative d'en donner une description complète est vouée à l'échec.


Patrick

[dionisos]

« T est consistante » n’est pas démontrable à partir de T. Aucune théorie consistante n’est capable de démontrer sa propre consistance.

La théorie des ensembles a pour but d'introduire et d'étudier les objets fondamentaux du monde mathématique.

Peut généralisé en disant ? :

On ne sait donc pas si les mathématiques sont consistant. Si on arrive à le démontrer mathématiquement alors on démontre qu'ils sont inconsistant ?

Cela est assez troublant. Les théories mathématiques ne sont peut être que des châteaux de sable.

Patrick

C'est le cas, les mathématiques peuvent se reveler contradictoire.
Si tu pensait les math "infaible", détrompe toi, rien est certain dans cette univers.
D'ailleur j'trouve sa asser imagé, qu'une des choses les plus sur connu, dise d'elle même, qu'elle n'est pas sur.

J'trouve qui a pas besoin d'aller aussi loin que le théorème de godel pour douter des maths.
Il suffi de se demander comment prouver la consistance de la théorie utilisée pour prouver la consistance de la théorie qui nous interresse.
C'est une histoire sans fin.
Mais j'entre plus dans un debat philosophique la je pense.

Apres j'me trompe peut etre ( enfin j'pense qui a plus de chance que ma vision des choses soit pas pertinente, que fausse).

[Médiat]

Ou bien il existe un modèle de ZF, mais toute tentative d'en donner une description complète est vouée à l'échec.

La classe des ensembles purs de niveau K est un modèle de ZFC pour K un cardinal inaccessible. Bien sur cela nécessite une théorie plus puissante que ZFC, puisqu'il faut y ajouter un axiome sur l'existence d'un cardinal inaccessible, on a juste poussé le bouchon un peu plus loin.

s'effondre dans la contradiction

la situation que je viens de décrire est comparable à la recherche du moteur immobile, et je ne pense pas que nos voitures refusent d'avancer au nom d'Aristote.

[jobherzt]

Il faut arreterde se prendre la tete avec Godel. Son theoreme n'est moralement qu'une variante du paradoxe du menteur, qui dit essentiellement que lorsque un objet parle de lui meme il peut se passer des trucs bizzares. Il n'y a rien de tres surprenant la dedans, restrospectivement.

Mais de la a penser qu'on vit tous avec une épée de Damocles au dessus de la tete, sous la menace permanente que les maths s'effondrent du jour au lendemain...

Les maths ne se reduisent pas a une suite de deduction a partir d'axiome. Les objets que les mathematiciens manipulent tous les jours ont un "sens", au moins pour eux, il sont une "existence" et les matheux cherchent a les comprendre.

Donc au final tout ce qu'on fait n'est pas menacé par le theoreme de Godel. ZFC est une tentative de formaliser les bases des maths. Elle est suffisamment proche de notre perception intuitive de la maniere dont doivent se comporter les ensembles, et suffisamment bien pensée pour eviter les contradictions immediate, pour qu'on pense qu'elle ne va pas nous faire defaut. Et quand bien meme, si on trouvait une contradiction dans ZFC (mais ne pariez pas votre chemise la dessus) c'est elle qui serait a revoir, pas le reste des maths !!!

[jobherzt]

Histoire de donner un exemple bidon : un entier ca n'est pas juste un truc qu'on construit avec les axiomes de Peano. Un entier pour un matheux c'est comme pour n'importe qui, c'est un tuc qui permet de compter, tout le monde sait ce que c'est.

La logique est juste une branche des maths qui tente de l'etudier comme objet, de mieux comprendre comment ca fonctionne derriere.

Si demain on trouve une contradiction dans Peano, comme n'importe quelle decouverte mathematique ca fera progresser notre comprehension des maths, ca ne les mettra pas par terre ! Mais avec toutes les contradictions que vous voulez dans ces axiomes, je serais toujours capable de decomposer n'importe quel entier en produit de facteurs premiers

[Médiat]

Mais avec toutes les contradictions que vous voulez dans ces axiomes, je serais toujours capable de decomposer n'importe quel entier en produit de facteurs premiers

Chiche ! Tu sais que tu peux gagner quelques millions de dollars si tu sais faire cela suffisamment vite .

Blague à part tu as parfaitement raison (théorie vs modèle)

[jobherzt]

Chiche ! Tu sais que tu peux gagner quelques millions de dollars si tu sais faire cela suffisamment vite .

Je sais, je sais, mais par "capable" il fallait comprendre "en un temps fini". En bon mathematicien, je me soucie surtout du fait que ca soit "possible", la vraie vie des vrais gens du vrai monde réel me concerne assez peu... Sauf quand je dois racheter du café, evidemment

[Médiat]

la vraie vie des vrais gens du vrai monde réel me concerne assez peu...

Shutt..., il ne faut pas le dire parce qu'après "ils" nous pourchassent et nous font brûler au nom du pragmatisme.

[jobherzt]

Boaf, c'est comme tout, on finit par s'y habituer a ce qu'on nous jettes des pierres