théorèmes d’incomplétude

[invite6754323456711]

Bonjour,

Les théorèmes d'incomplétude (en l'occurrence le second) permettent-il de dire ? :

On ignore actuellement si ZF est consistante mais on sait que si, un jour, on pouvait démontrer sa consistance par ses propres outils, c’est qu’elle est inconsistante.

La théorie des ensembles ZF ne formalise t'elle pas la quasi totalité des mathématiques ?

En logique classique, si une théorie est inconsistante, i.e. contradictoire, alors toute formule, sans exception, est démontrable. Dans une telle théorie, il ne serait plus possible de distinguer les vérités des faussetés.

Patrick

Contraposée (informelle) du second théorème :

Si T est une théorie récursive, contenant l’arithmétique et capable de démontrer au sein d’elle-même sa propre consistance, alors T est inconsistante.

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[invitea0ece8ff]

Ben on démontre que la réponse a la question: "ZF est consistante", est indécidable, a l'aide de ZF.

Donc si on repond a cette question par la suite, par vrai ou par faux, ""ZF est consistante" est indecidable" est faux, et donc on est arriver a du faux a partir du vrai, et donc ZF est inconsistante.

Enfin j'suis sans doute a coté de la plaque en répondant sa, parce que j'ai du mal a voir qu'elle est la question.

[invite6754323456711]

Ben on démontre que la réponse a la question: "ZF est consistante", est indécidable, a l'aide de ZF.

Donc si on repond a cette question par la suite, par vrai ou par faux, ""ZF est consistante" est indecidable" est faux, et donc on est arriver a du faux a partir du vrai, et donc ZF est inconsistante.

Enfin j'suis sans doute a coté de la plaque en répondant sa, parce que j'ai du mal a voir qu'elle est la question.

« T est consistante » n’est pas démontrable à partir de T. Aucune théorie consistante n’est capable de démontrer sa propre consistance.

La théorie des ensembles a pour but d'introduire et d'étudier les objets fondamentaux du monde mathématique.

Peut généralisé en disant ? :

On ne sait donc pas si les mathématiques sont consistant. Si on arrive à le démontrer mathématiquement alors on démontre qu'ils sont inconsistant ?

Cela est assez troublant. Les théories mathématiques ne sont peut être que des châteaux de sable.

Patrick

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Autrement dit.

Peut montrer que les mathématiques ne sont pas contradictoires ? C'est à dire en montrant qu’un groupe d’axiomes censés axiomatiser les mathématiques est non contradictoire.

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3540c06]

arrêtez vos bêtises , tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction , donc tout raisonnement est une grosse perte de temps .....

[erik]

tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction

Godel point

[invite6754323456711]

arrêtez vos bêtises , tout peut être envisageable tellement le théorème d'incomplétude atteint un tel niveau d'abstraction , donc tout raisonnement est une grosse perte de temps .....

Quel est ton problème ? Que veut dire tout peut être envisageable ?

Je traduit juste ce que je crois avoir compris de l'incomplétude (appliqué par exemple à ZF) et demande confirmation :

Il semble impossible de démontrer l'existence d'un modèle de ZF. De deux choses l'une (et non une infinité) :

Ou bien il n'en existe pas, et alors la théorie des ensembles, mise au point avec tant d'efforts et de temps, s'effondre dans la contradiction.

Ou bien il existe un modèle de ZF, mais toute tentative d'en donner une description complète est vouée à l'échec.


Patrick

[invitea0ece8ff]

« T est consistante » n’est pas démontrable à partir de T. Aucune théorie consistante n’est capable de démontrer sa propre consistance.

La théorie des ensembles a pour but d'introduire et d'étudier les objets fondamentaux du monde mathématique.

Peut généralisé en disant ? :

On ne sait donc pas si les mathématiques sont consistant. Si on arrive à le démontrer mathématiquement alors on démontre qu'ils sont inconsistant ?

Cela est assez troublant. Les théories mathématiques ne sont peut être que des châteaux de sable.

Patrick

C'est le cas, les mathématiques peuvent se reveler contradictoire.
Si tu pensait les math "infaible", détrompe toi, rien est certain dans cette univers.
D'ailleur j'trouve sa asser imagé, qu'une des choses les plus sur connu, dise d'elle même, qu'elle n'est pas sur.

J'trouve qui a pas besoin d'aller aussi loin que le théorème de godel pour douter des maths.
Il suffi de se demander comment prouver la consistance de la théorie utilisée pour prouver la consistance de la théorie qui nous interresse.
C'est une histoire sans fin.
Mais j'entre plus dans un debat philosophique la je pense.

Apres j'me trompe peut etre ( enfin j'pense qui a plus de chance que ma vision des choses soit pas pertinente, que fausse).

[Médiat]

Ou bien il existe un modèle de ZF, mais toute tentative d'en donner une description complète est vouée à l'échec.

La classe des ensembles purs de niveau K est un modèle de ZFC pour K un cardinal inaccessible. Bien sur cela nécessite une théorie plus puissante que ZFC, puisqu'il faut y ajouter un axiome sur l'existence d'un cardinal inaccessible, on a juste poussé le bouchon un peu plus loin.

s'effondre dans la contradiction

la situation que je viens de décrire est comparable à la recherche du moteur immobile, et je ne pense pas que nos voitures refusent d'avancer au nom d'Aristote.

[invitebe0cd90e]

Il faut arreterde se prendre la tete avec Godel. Son theoreme n'est moralement qu'une variante du paradoxe du menteur, qui dit essentiellement que lorsque un objet parle de lui meme il peut se passer des trucs bizzares. Il n'y a rien de tres surprenant la dedans, restrospectivement.

Mais de la a penser qu'on vit tous avec une épée de Damocles au dessus de la tete, sous la menace permanente que les maths s'effondrent du jour au lendemain...

Les maths ne se reduisent pas a une suite de deduction a partir d'axiome. Les objets que les mathematiciens manipulent tous les jours ont un "sens", au moins pour eux, il sont une "existence" et les matheux cherchent a les comprendre.

Donc au final tout ce qu'on fait n'est pas menacé par le theoreme de Godel. ZFC est une tentative de formaliser les bases des maths. Elle est suffisamment proche de notre perception intuitive de la maniere dont doivent se comporter les ensembles, et suffisamment bien pensée pour eviter les contradictions immediate, pour qu'on pense qu'elle ne va pas nous faire defaut. Et quand bien meme, si on trouvait une contradiction dans ZFC (mais ne pariez pas votre chemise la dessus) c'est elle qui serait a revoir, pas le reste des maths !!!

[invitebe0cd90e]

Histoire de donner un exemple bidon : un entier ca n'est pas juste un truc qu'on construit avec les axiomes de Peano. Un entier pour un matheux c'est comme pour n'importe qui, c'est un tuc qui permet de compter, tout le monde sait ce que c'est.

La logique est juste une branche des maths qui tente de l'etudier comme objet, de mieux comprendre comment ca fonctionne derriere.

Si demain on trouve une contradiction dans Peano, comme n'importe quelle decouverte mathematique ca fera progresser notre comprehension des maths, ca ne les mettra pas par terre ! Mais avec toutes les contradictions que vous voulez dans ces axiomes, je serais toujours capable de decomposer n'importe quel entier en produit de facteurs premiers

[Médiat]

Mais avec toutes les contradictions que vous voulez dans ces axiomes, je serais toujours capable de decomposer n'importe quel entier en produit de facteurs premiers

Chiche ! Tu sais que tu peux gagner quelques millions de dollars si tu sais faire cela suffisamment vite .

Blague à part tu as parfaitement raison (théorie vs modèle)

[invitebe0cd90e]

Chiche ! Tu sais que tu peux gagner quelques millions de dollars si tu sais faire cela suffisamment vite .

Je sais, je sais, mais par "capable" il fallait comprendre "en un temps fini". En bon mathematicien, je me soucie surtout du fait que ca soit "possible", la vraie vie des vrais gens du vrai monde réel me concerne assez peu... Sauf quand je dois racheter du café, evidemment

[Médiat]

la vraie vie des vrais gens du vrai monde réel me concerne assez peu...

Shutt..., il ne faut pas le dire parce qu'après "ils" nous pourchassent et nous font brûler au nom du pragmatisme.

[invitebe0cd90e]

Boaf, c'est comme tout, on finit par s'y habituer a ce qu'on nous jettes des pierres

[invite6754323456711]

Jla vraie vie des vrais gens du vrai monde réel me concerne assez peu... Sauf quand je dois racheter du café, évidemment

Pourtant et bien heureusement ce sont bien de vrai gens du vrai monde qui ont construit pour nous l'édifice des mathématiques. Comme dirait newton si nous pouvons voir plus loin, c'est parce que nous sommes porté par des épaules de géants.

Pourquoi un tel mépris, une telle suffisance ?


Patrick

[invité576543]

Il faut arrêter de se prendre la tête avec Gödel. Son théorème n'est moralement qu'une variante du paradoxe du menteur, qui dit essentiellement que lorsque un objet parle de lui même il peut se passer des trucs bizarres. Il n'y a rien de tres surprenant la dedans, rétrospectivement.

Comme dit un certain logicien, ce n'est pas plus surprenant que l'idée qu'une chose qu'on ne peut pas faire ses lunettes sur le nez, c'est resserrer les vis de ses lunettes.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

Pourquoi un tel mépris, une telle suffisance ?

Pardon ? D'abord c'etait evidemment du second degré (quand meme !!!), et ensuite c'etait de l'autoderision, donc meme pour rire il n'y avait aucun mepris envers les autres, juste l'application a moi meme d'un cliché plutot pejoratif sur les mathematicien, qui dit qu'lls sont un peu effrayé par le monde réel et preferent rester dans le cocon douillet de leur labo avec leurs jolies maths, à toute heure du jour et de la nuit

Voir mon post qui a suivi la reponse de Mediat pour en etre convaincu (je te rassure, on ne m'a jamais vraiment jeté de pierres )

Donc aucun mepris envers ces gens etranges mais souvent fort sympathiques qui ne font pas de maths

[invite6754323456711]

Comme dit un certain logicien, ce n'est pas plus surprenant que l'idée qu'une chose qu'on ne peut pas faire ses lunettes sur le nez, c'est resserrer les vis de ses lunettes.

Cordialement,

Oui mais l'humain du monde réel c'est le faire. Peut-être cela illustre-t-il le fait qu’il faille une part de génie et d’intuition pour pouvoir deviner la vérité de certains énoncés mathématiques ? Ceci, pour l’instant, reste effectivement hors de portée des machines.

Patrick

[invité576543]

Oui mais l'humain du monde réel sait le faire.

Pardon? Tu peux fournir un petit film montrant comme tu fais?

Mais on peut éventuellement trouver un meilleur exemple, l'idée est que lorsqu'on a besoin d'un outil pour faire un certaine tâche, on ne peut utiliser cet outil sur lui-même. C'est une expérience de la vie courante, et c'est tout à fait comparable.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Pardon? Tu peux fournir un petit film montrant comme tu fais?

Mais on peut éventuellement trouver un meilleur exemple, l'idée est que lorsqu'on a besoin d'un outil pour faire un certaine tâche, on ne peut utiliser cet outil sur lui-même. C'est une expérience de la vie courante, et c'est tout à fait comparable.

Cordialement,

Si cet outil c'est l'homme lui même. L’esprit humain surpasse-t-il toute machine ? je pense que Oui.


... Mais j'ai bien peur que l'on s'égare.


Patrick

[invite6754323456711]

Mais avec toutes les contradictions que vous voulez dans ces axiomes, je serais toujours capable de decomposer n'importe quel entier en produit de facteurs premiers

A partir de quelle théorie tu définis un entier ?

Patrick

[invité576543]

A partir de quelle théorie tu définis un entier ?

C'est à côté du point. L'idée est justement que l'on a pas besoin d'une théorie ou d'une définition précise des entiers pour étudier comment les factoriser.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est à côté du point. L'idée est justement que l'on a pas besoin d'une théorie ou d'une définition précise des entiers pour étudier comment les factoriser.

Cordialement,

Factoriser quoi ?

Patrick

[invitebe0cd90e]

A partir de quelle théorie tu définis un entier ?

Patrick

C'est justement ce que je disais : l'axiomatique de Peano est venue pour formaliser la notion intuitive que tout un chacun a d'un entier ! Il ne faut pas renverser l'ordre dans lequel les choses se passent.

[invité576543]

Factoriser quoi ?

Quand on te demande de laver la vaisselle, tu exiges une définition précise du mot "vaisselle" avant de t'atteler à la tâche?

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est justement ce que je disais : l'axiomatique de Peano est venue pour formaliser la notion intuitive que tout un chacun a d'un entier ! Il ne faut pas renverser l'ordre dans lequel les choses se passent.

Peut on bâtir un raisonnement scientifique uniquement sur une structure intuitive ?

Patrick

[invitebe0cd90e]

Factoriser quoi ?

Demande ca a Euclide, Gauss, Fermat, ... C'est a l'axiomatique de Peano de coincider avec ce que ces gens ont démontré, pas l'inverse !!!

La notion d'entier n'est evidemment et heureusement pas un simple sous produit de certains axiomes, c'est une notion qui preexiste, et qui a guidé le choix des axiomes.

[invite6754323456711]

Quand on te demande de laver la vaisselle, tu exiges une définition précise du mot "vaisselle" avant de t'atteler à la tâche?

Cordialement,

Oui si c'est la première fois que je découvre ce mot. Du moins en connaitre ces propriétés car sinon il risque d'y avoir de la case.

Patrick

[invité576543]

Peut on bâtir un raisonnement scientifique uniquement sur une structure intuitive ?

Cela s'est fait, se fait et se fera couramment.

C'est simplement un peu plus risqué que de bâtir de manière rigoureuse. Et on "rigorise" souvent après-coup.

Il y a une distinction à faire entre un processus "idéal", "parfait", "pur", etc. et la pratique courante.

Cordialement,