Existe-t-il des choses définies mais inaccessible à la logique ?

[pazuzen]

Sur la notion qu'est ce que "vrai" ça me rappelle ce debat entre alain connes et un autre mathematicien dont le nom m'échappe a propos de la formulation originelle de godel qui parle d'assertions vraies et non demontrables quand nous l'apprenons sous la forme d'assertions indecidable
Connes était pour la definition vraie et non demontrable quand l'autre ne comprenait pas ce sûon pouvait qualifier de vrai mais d'indemontrable
Je rechercherai cette video nous sommes dans le meme debat
-----

[Médiat]

En revanche vous n'integrez pas la theorie des nombres dans son intégralité

Bien sûr que si, c'en est même la définition

et j'affirme clairement que si vous l'integrez, aucune theorie ne peut être complete et contradictoire

Et bien vous vous trompez !

[Schrodies-cat]

Bonjour
Non, le théorème de Gödel ne dit pas cela, la preuve : est non contradictoire, complet et intègre la théorie des nombres
(...)

Reprécisons les choses: une théorie T, comme vous le rappelez souvent, est un ensemble d'énoncés clos par inférence, c'est à dire que si A₁, A₂, ,,, , A_n sont des théorèmes de la théorie T, et si B se déduit de A₁, A₂, ,,, , A_n, alors B est aussi un théorème de T.
Le théorème de Gödel, s'applique à des théories définies par un ensemble récursif d'axiomes, ses théorèmes étant les énoncés qui s'en déduisent.
C'est le cas des théories utilisées par les mathématiciens dans lesquelles ils font des démonstration.
Ce n'est pas le cas de la théorie que vous citez, qui ne peut être définie ainsi.

[Médiat]

Ce n'est pas le cas de la théorie que vous citez, qui ne peut être définie ainsi.

Bien sûr, et c'est bien ce qui démontre que la phrase que je contestais ne peut pas être le théorème de Gödel

[PlaneteF]

Bonjour,

D'une part et par definition l'axiome lui meme n'est pas demontrable, c'est la brique elementaire censée être vraie sans démonstration ce qui répond à l'énoncé du post

Si, si, ... un axiome d'une théorie est bel et bien démontrable dans cette théorie, tout simplement par la règle de déduction dite "axiome" qui est la suivante :




Cordialement

[pazuzen]

Voici la video dont je parlais concernant le debat sur l'interprétation du théorème de Godel

Se placer a 9´30
[youtube]http://youtu.be/-fOATGw3bMc[/YouTube]

Est ce que vous pourriez m'expliquer avec des mots comment un axiome peut être demontré par un autre axiome ?

Concernant l'incompletude des systemes formels integrant la theorie des nombres, je ne suis pas technicien
Mais quand Hofstadter cite 3 conditions dont celle ci dans les brins d'une guirlande éternelle ou Trinh Xuan Thuan l'ecrit, comment peuvent ils se planter ?

[pazuzen]

Voici la video dont je parlais concernant le debat sur l'interprétation du théorème de Godel

Se placer a 9´30
[media]http://youtu.be/-fOATGw3bMc[/media]

Est ce que vous pourriez m'expliquer avec des mots comment un axiome peut être demontré par un autre axiome ?

Concernant l'incompletude des systemes formels integrant la theorie des nombres, je ne suis pas technicien
Mais quand Hofstadter cite 3 conditions dont celle ci dans les brins d'une guirlande éternelle ou Trinh Xuan Thuan l'ecrit, comment peuvent ils se planter ?

[Médiat]

Voici la video dont je parlais concernant le debat sur l'interprétation du théorème de Godel

Vidéo inaccessible.

Est ce que vous pourriez m'expliquer avec des mots comment un axiome peut être demontré par un autre axiome ?

Je n'ai jamais écrit "par un autre", sinon : (avec des mots = non mathématique, je ne sais pas faire), une démonstration mathématique se faisant toujours dans le cadre d'une théorie.

Mais quand Hofstadter cite 3 conditions dont celle ci dans les brins d'une guirlande éternelle ou Trinh Xuan Thuan l'ecrit, comment peuvent ils se planter ?

Désolé mais si vous ne citez pas in extenso ces textes, je ne peux pas les commenter.

[Médiat]

Je ne retrouve pas le message mais un forumeur (il y a trop de messages où je cite Gödel) m'avait fait cette remarque que Gödel parlait de "vrai" et non d'indécidable, j'avais relu sa démonstration originale et n'avait trouver le mot vrai que dans une autre acception.

L'ontologie platonicienne naïve, en mathématiques et en philosophie, trouve dans G(m) un exemple de la "magie" des mathématiques: une proposition vraie, mais "indémontrable". Non, le premier théorème d'Incomplétude démontre "seulement" qu'on ne peut pas démontrer cette proposition, ni sa négation, avec les principes de preuve de l'Arithmétique. C'est-à-dire, il démontre qu'elle est indécidable; en particulier, donc, G(m) n'est pas démontrable, dans PA. Aucune mention n'est faite de "vérité" quoique ce soit.

[Schrodies-cat]

Vidéo inaccessible.(...)

Il semblerait qu'il s'agisse de ceci:
https://www.youtube.com/watch?v=-fOA...ature=youtu.be
Mais je n'ai pas regardé assez loin (je le ferais sans doute pour d'autres raisons) pour voir le rapport avec le sujet.

[Schrodies-cat]

Voir vers 4 mn 10 . (je suis en train ...)

[Médiat]

Merci Schrodies-Cat, pazuzen parlait de Alain Connes (un platonicien pur et dur ), ici, il s'agit de Etienne Klein ; si pazuzen veut vraiment que l'on prenne connaissance de ce qui l'a interpelé, il copiera ici le texte concerné...

[PlaneteF]

Merci Schrodies-Cat, pazuzen parlait de Alain Connes (un platonicien pur et dur ), ici, il s'agit de Etienne Klein ; si pazuzen veut vraiment que l'on prenne connaissance de ce qui l'a interpelé, il copiera ici le texte concerné...

Bonsoir Médiat, ... Etienne Klein parle d'Alain Connes et de la discussion en question et cite les 2 protagonistes --> A partir de 7:40

Cordialement

[Schrodies-cat]

Voir en particulier à 9 mn 10 .
Un exemple à mon sens sur la notion de proposition "vraie mais non démontrable":
On considère le cas d'une machine de Turing dont l’Arrêt est indécidable (je me suis convaincu qu'il en existe ...)
Si une machine de Turing donnée s'arrête, son arrêt est décidable, puisqu'il est possible de le prouver en la laissant tourner et en constatant qu'elle s'arrête.
Donc, par contraposition, si son arrêt est indécidable, c'est qu'elle s'arrête effectivement !
corolaire:
Si la consistance d'une théorie axiomatisable est indécidable, c'est qu'elle est consistante !
(considérons un algorithme qui recherche systématiquement une démonstration de l'absurde dans cette théorie .

C'est ainsi que je vois les choses ...
Hum, il doit yavoir une histoire d'oméga-consistance là-dessous ...
Finalement, ce n'est peut-être pas si clair ...

[Médiat]

Bonsoir Médiat, ... Etienne Klein parle d'Alain Connes et de la discussion en question et cite les 2 protagonistes --> A partir de 7:40

Merci PlaneteF, j'attendrai que pazuzen fasse une transcription ...

[Médiat]

Bonjour,

Ma connexion étant meilleure ce matin j'ai écouté Etienne Klein, je note :

André Lichnerowicz dit très exactement ce que je disais là :

aucun article de mathématique ne commence par "Moi XXX, mathématicien platonicien (ou formaliste) ...", et que dans 99% des cas, il n'est pas possible de savoir si un mathématicien est platonicien ou formaliste à la lecture d'un de ses articles (c'est à dire que platoniciens et formalistes font les mêmes mathématiques). J'ai bien écrit 99% et non 100% à cause essentiellement du vocabulaire, et de certaines façons de présenter les choses ; un exemple patent est le cas de l'article de Woodin sur HC

Quant à l'analogie de Connes (Sur-Platonicien dit Klein) : ce n'est qu'une analogie et celle-ci privilégie une "réalité" par rapport aux autres possibilités laissées par ce qui se dit dans le tribunal, ce qui revient à privilégier un modèle plutôt qu'un autre, dans ce cas, pourquoi, comme je l'ai proposé de nombreuses fois, ne pas préciser ce modèle ?

Je ré-enfourche donc mon vieux dada : ce vocabulaire ("vrai" utilisé autrement que dans le paragraphe précédent) ne peut que générer des confusions. En particulier la phrase (lue de nombreuses fois, en particulier chez Girard) "vraie et indécidable" est un oxymore (qui en plus, mélange syntaxique et sémantique), pour moi, inacceptable, dans la mesure ou la précision du modèle n'impose en rien à un platonicien de renoncer à sa philosophie, et n'impose à personne de privilégier un modèle plutôt qu'un autre.

PS : Je note que Klein cite très mal (de façon fausse) le théorème de Gödel

[Médiat]

Pour prolonger l'analogie de Connes : Et si le personnage qui prétend qu'il existe une réalité dans laquelle, démontrable ou non, telle assertion est vraie ou fausse, était en fait un personnage d'un film, à quelle réalité ferait-il référence ? La Matrice ?

(ce prolongement, met en évidence la différence entre formel (formaliste) et formalisation (platonicien))

[pazuzen]

Bonjour à tous
Déjà excusez mes double posts et les problèmes de forme, j'écris d'un petit téléphone

Concernant ce débat, le premier point que je trouve instructif, c'est ce que nous faisons d'ailleurs ici, c'est le recours au langage pour débattre de fondements mathematiques entre deux mathematiciens de haut niveau dont on peut s'étonner que l'interprétation du théorème logique le plus fondamental du 20eme siècle diffère alors que le formalisme mathematique est pourtant identique

Mon parti pris personnel est equivalent a savoir que la maîtrise d'équations est complémentaire et non substitutive à une conceptualisation verbale

Le second point que je souhaitais éclairer est cette notion d'assertion vraie puisque la question m'avait été posée dans le fil
La plupart du temps, répondre vrai ou faux à une assertion dans une theorie revient simplement à là demontrer par la logique deductive de la théorie en partant des axiomes ou meme des théorèmes
Et je peux par exemple demontrer l'assertion consistant à prétendre que le carré de l'hypothemuse est la somme des carrés des deux autres côtés en se basant seulement sur les axiomes et la logique de premier ordre de la theorie
Ici, quelle que soit l'interprétation de connes ou de lichnerowitz, dire qu'une assertion est indecidable suggère dans tous les cas qu'elle puisse être vraie mais non demontrable par la seule theorie

Bref, j'espère que cela éclaire le concept du " vrai" à savoir une assertion demontrable par la theorie elle même, "vraie" par une démonstration appelant d'autres theories ou meme "vraie" et non demontré voire même non demontrable
Des conjectures aujourd'hui sont présumées vraies mais ne sont pas démontrées et certaines pourraient ne pas être demontrable

Bref, bien distinguer véracité et prouvabilité car des vérités resteront inaccessibles logiquement selon l'énoncé même du théorème d'incompletude

Dernier point que j'aimerais évoquer c'est cette notion d'incompletude de toute theorie contenant la theorie des nombres
J'ai lu que nous n'étions pas en accord meme si, mathematiquement, je serais en peine de le demontrer !
J'essayerai si j'ai le temps de produire in extenso les 3 conditions d'incompletude citees par Hofstadter dans son bouquin de 800 pages qui tournent autour de ce théorème
Je sais qu'on retrouve cette notion sur pas mal de liens sur le net sans doute moins "scientifique" que les travaux d'hofstadter mais neanmoins, je me souviens de cette analogie

Selon lui, l'incompletude d'un systeme est proportionnelle à sa complexité et, à partir du moment où elle travaille les nombres et donc à partir du moment ou elle intègre l'arithmétique de peano, toute theorie mathematique ne peut plus etre à la fois cohérente ( non nontradictoire) et complete (etre en mesure de demontrer toutes les propositions dans la theorie)
Il fait cette analogie à la réaction nucléaire ou rien ne se passe jusqu'à un certain seuil au dela duquel elles éclatent de manière exponentielle
Rajouter des axiomes revient à pouvoir demontrer une assertion qui etait hors de portée sans cette introduction et, dans le meme temps, cet ajout multiplie les assertions autoreferentielles et le nombre de nouvelles propositions indécidables

J'essayerai de copier une page de son livre qui liste les 3 conditions pour ne plus pouvoir etre et complet et non contradictoire

[pazuzen]

Bon
J'ai ce lien que j'avais trouvé hyper intéressant et très bien fait sur ce thème
Seulement je ne valide pas la source.. et c'est son contenu que j'avais trouvé conforter mes notions sur ce sujet

Bref lui aussi ecrit que toute theorie integrant l'arithmétique de Peano est par definition incomplète
Je pense qu'on retrouve mon assertion un peu partout en tous cas
synthese

[Médiat]

Concernant ce débat, le premier point que je trouve instructif, c'est ce que nous faisons d'ailleurs ici, c'est le recours au langage pour débattre de fondements mathematiques entre deux mathematiciens de haut niveau dont on peut s'étonner que l'interprétation du théorème logique le plus fondamental du 20eme siècle diffère alors que le formalisme mathematique est pourtant identique

Cela n'a rien d'étonnant : il s'agit de philosophie et non de mathématiques.

Ici, quelle que soit l'interprétation de connes ou de lichnerowitz, dire qu'une assertion est indecidable suggère dans tous les cas qu'elle puisse être vraie mais non demontrable par la seule theorie

Non, vous déformez complètement les propos de Lichnerowicz qui dit exactement le contraire !

Bref, bien distinguer véracité et prouvabilité car des vérités resteront inaccessibles logiquement selon l'énoncé même du théorème d'incompletude

Que veulent dire "Vérité", "Véracité" etc... ?

Selon lui, l'incompletude d'un systeme est proportionnelle à sa complexité et, à partir du moment où elle travaille les nombres et donc à partir du moment ou elle intègre l'arithmétique de peano, toute theorie mathematique ne peut plus etre à la fois cohérente ( non nontradictoire) et complete (etre en mesure de demontrer toutes les propositions dans la theorie)

Encore une fois ceci est FAUX, comme le démontre l'exemple que j'ai donné plus haut dans ce fil !

Je l'ai déjà écrit des ...aines de fois ici, les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel sont (en français) :

Théorie du premier ordre suffisamment compliquée (décrire l'arithmétique), et suffisamment simple (récursivement axiomatisable).

[Médiat]

Bref lui aussi ecrit que toute theorie integrant l'arithmétique de Peano est par definition incomplète

Justement NON, ce n'est pas ce qui est écrit dans ce lien !

[Deedee81]

Bonjour,

EDIT croisement avec Mediat

Attention à la notion de "vrai". Il a une signification mathématique bien précise reliée à la sémantique (voir wikipedia logique mathématique par exemple, et la théorie des modèles) et son usage en-dehors de ce cadre peut-être trompeur. Surtout justement quand on traite de syntaxe en logique mathématique. Le plus simple, si on ne l'utilise pas avec sa définition rigoureuse dans le cadre d'un modèle, est de.... l'éviter. Tout bêtement.

Ainsi, on évite non seulement les confusions mais aussi les malentendus.

[pazuzen]

Euh... non, il ne s'agit pas de philosophie...je ne suis pas OK
Je veux bien qu'on parle de philosophie des sciences mais même ça, dans ce contexte, non...

A partir du moment où l'interprétation d'un théorème est l'objet d'un débat entre mathématiciens sur ce qu'il recouvre dans son périmètre mathématique, on parle du fonds du théorème et non d'interprétation philosophique du théorème

Je ne disconviens pas que, concernant ce théorème, d'innombrables interprétations en ont été faites dans d'autres domaine qui dépassent le cadre mathématique mais ici, ce sont deux mathématiciens qui discutent du fonds d'un théorème car en effet, assertions vraies et assertions non décidables, ce n'est pas la même chose au seul sens mathématique du terme...

Après, je veux bien qu'on entre dans la définition sémantique des termes utilisés.
Une assertion vraie ou fausse ne me semble pas nécessiter de multiples exposés mais bon, je suis preneur de vos définitions si vous les posez

Il y a également un problème d'interprétation de Mediat sur mon propos et je le développe pour clarifier
Dire qu'une assertion est vraie à la place de non décidable chagrine Lichnerowitcz
Je suis entièrement d'accord et ce n'est pas mon propos.
Il demande aussi quel sens donner à vrai si ce n'est pas démontrable dans le système.
Pas de souci j'ai bien compris sa position et je pars de sa position

Mon propos est de dire que la formulation originelle parle de propositions vraies mais non démontrables (position Connes) alors que la formulation "académique" parle de propositions simplement indécidables (position Lichnerowizc).
Ce que je dis, c'est qu'indécidables signifie "qu'on ne peut décider" ce qui signifie qu'elles peuvent être vraies (on rejoint alors la première formulation) ou fausses (on en étend le périmètre)

Donc même dans la vision de Lichnerowitz, dire qu'une proposition est indécidable donc qu'on ne peut calculer pour donner la valeur Vraie ou fausse sous tend qu'on sait définir vrai ou faux sinon on ne saurait pas la qualifier d'indécidable (elle ne peut être à la fois ni vraie ni fausse, elle est seulement indécidable mais elle est bien soit vraie soit fausse...)
J'ai vu un post sur "l'indécidabilité de la décidabilité" et je ne suis pas OK avec ce propos

Elle est simplement indécidable car on ne sait pas dire dans le système formel et uniquement dans le système formel considéré qu'elle est vraie et parce qu'on ne sait pas dire non plus qu'elle est fausse.
Quoi qu'il en soit, nous sommes certains qu'elle est soit vraie soit fausse, elle n'est pas dans un "état superposé" ni dans un état indéfini qui sortirait du binaire O/N
Donc on écarte pas qu'elle soit vraie...

[Médiat]

assertions vraies et assertions non décidables, ce n'est pas la même chose au seul sens mathématique du terme...

Sauf que "Vrai" ne veut rien dire en mathématiques, si on ne le précise pas, et/ou si on ne fait pas intervenir de philosophie !

Une assertion vraie ou fausse ne me semble pas nécessiter de multiples exposés mais bon, je suis preneur de vos définitions si vous les posez

C'est vous qui utilisez ce vocabulaire, pour ma part, je le combats depuis des années, c'est donc à vous de le définir, je ne sais absolument pas ce que vous entendez par là !

Mon propos est de dire que la formulation originelle parle de propositions vraies

Vous avez une source, parce que j'ai souvenir du contraire dans la démonstration originale de Gödel

Ce que je dis, c'est qu'indécidables signifie "qu'on ne peut décider" ce qui signifie qu'elles peuvent être vraies (on rejoint alors la première formulation) ou fausses (on en étend le périmètre)

Sans les définitions de "vraies" et "fausses", je ne vois pas quel sens donner à cette phrase

Donc même dans la vision de Lichnerowitz, dire qu'une proposition est indécidable donc qu'on ne peut calculer pour donner la valeur Vraie ou fausse sous tend qu'on sait définir vrai ou faux sinon on ne saurait pas la qualifier d'indécidable (elle ne peut être à la fois ni vraie ni fausse, elle est seulement indécidable mais elle est bien soit vraie soit fausse...)

Une fois de plus, Lichnerowicz dit exactement le contraire !

J'ai vu un post sur "l'indécidabilité de la décidabilité" et je ne suis pas OK avec ce propos

Je ne sais pas de quoi vous parlez

Elle est simplement indécidable car on ne sait pas dire dans le système formel et uniquement dans le système formel considéré qu'elle est vraie et parce qu'on ne sait pas dire non plus qu'elle est fausse.
Quoi qu'il en soit, nous sommes certains qu'elle est soit vraie soit fausse, elle n'est pas dans un "état superposé"
Donc on écarte pas qu'elle soit vraie...

Sans les définitions de "vraies" et "fausses", je ne vois pas quel sens donner à cette phrase

[pazuzen]

Excusez moi mais si la définition d'une assertion vraie ou fausse pose un problème sémantique et je suis bien en phase pour dire qu'elle peut en poser.
Pourquoi n'en proposez vous pas votre propre définition sur laquelle éventuellement nous accorder ?

Je veux dire, personnellement, je distingue "prouvabilité" de "vérité" mais c'est évident que si vous entendez par "assertion vraie" une assertion qui découle du dispositif d'axiomes et de la logique du premier ordre alors vous entendez que rien de ce qui n'a été prouvé aujourd'hui n'est vrai.
Cela peut s'entendre mais me pose un problème en retour.

Qu'est ce qu'une assertion vraie pour vous ?

Attention, je ne dis pas que j'ai la science infuse ni raison sur tout, entendons nous bien, j'apprends tous les jours et je peux me tromper.
Mais j'ai tout de même besoin d'une base parce que si l'ensemble des mots sont refusés de mon argumentation faute de les définir, c'est somme toute un argument réversible

J'ai essayé de préciser les notions d'assertions vraies et fausses mais je ne connais rien de vos définitions.
Pouvez vous développer ?

Par exemple, je développe l'argument de Lichnerowitz et vous me dites qu'il dit le contraire.
Non, il dit une chose que j'ai parfaitement bien compris mais ce sont les conséquences que j'en tire qui sont différentes de ce qu'il dit...
Et heureusement sinon il suffit de l'écouter.
Je donne donc mon point de vue et si je comprend qu'il est bien différent du sien en partant de ses propos pour aboutir à autre chose via l'argumentation logique, je ne vois pas ce qui dans mes arguments ne serait pas recevable.

[pazuzen]

Vous avez une source, parce que j'ai souvenir du contraire dans la démonstration originale de Gödel

Je n'ai que cette vidéo de Klein
J'ai le défaut de lui faire entière confiance sur ses sources même si évidemment, on peut contester ses idées.
Je ne l'imagine pas inventer cette histoire de rédaction originale différente de la rédaction académique sans s'être penché sur le bien fondé de son discours.
Néanmoins, s'il s'est trompé il m'a trompé en retour.

[Médiat]

Pourquoi n'en proposez vous pas votre propre définition sur laquelle éventuellement nous accorder ?

Parce que c'est vous qui utilisez ce vocabulaire, j'énonce le théorème d'incomplétude en parlant d'indécidables et de démonstration, pas de vérité !

Qu'est ce qu'une assertion vraie pour vous ?

Rien, pour moi, cela ne veut rien dire (en fait c'est trop ambigu, pour que ce soit une expression acceptable dans ce contexte)

Mais j'ai tout de même besoin d'une base parce que si l'ensemble des mots sont refusés de mon argumentation faute de les définir, c'est somme toute un argument réversible

Mais, encore une fois, ce n'est pas moi qui utilise ce vocabulaire, mais vous (et en général les platoniciens (je ne sais pas si c'est votre cas))

J'ai essayé de préciser les notions d'assertions vraies et fausses mais je ne connais rien de vos définitions.

Je n'ai pas vu où

Pouvez vous développer ?

Quand j'aurai votre définition, je pourrai la commenter (ou non) mais là, je ne sais pas de quoi vous parlez.

Non, il dit une chose que j'ai parfaitement bien compris mais ce sont les conséquences que j'en tire qui sont différentes de ce qu'il dit...

A quel endroit Lichnerowicz dit-il qu'une assertion est forcément "soit vraie soit fausse" comme vous l'affirmez ?

[Médiat]

Néanmoins, s'il s'est trompé il m'a trompé en retour.

Le texte original est en allemand, langue que je ne parle pas, le titre parle de "unentscheidbare", traduit généralement par indécidable ...

[pazuzen]

Vous m'avouerez qu'Etienne Klein qui parle de ce débat entre Connes et Licherowitz pendant 5 minutes dans sa conférence aurait loupé l'éléphant du couloir !
Je vais essayer de regarder ce que je trouve la dessus mais je ne peux pas croire qu'il ne se soit pas renseigné...

Tiens, toujours à propos d'indécidabilité / vérité... j'ai trouvé un super site qui s'appelle... futura mathématiques..

Extrait : "Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude. "

Bon.... d'une part ils ne s'embarrassent pas tant que nous sur la notion de vérité mais de plus ils semblent avoir tranché pour nous le débat et je ne retirerai pas une ligne à cet énoncé à titre personnel

[Médiat]

Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question.

Ce n'est pas en citant encore et encore une "formule" que jamais Gödel n'a démontrée que cela la rendra plus crédible ! C'est aussi ridicule que si j'affirmais que le théorème de Pythagore affirme que dans tous triangles, la somme des carrés de deux côtés est égal au carré du troisième côté !

Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer.

Que veut dire "vraies" dans cette phrase ? Je ne sais pas ce qui vous gêne dans les mots que vous utilisez (en citation ou non) mais vous semblez refuser d'en donner une définition !