logique incompatible avec ZFC

[Herr_General_Spontz]

Bonjour.

Je vous avez questionné il y a qq temps à propos de la crise des fondements. Vous m'aviez bien aidé ! Du coup, je reviens à la charge. Ce qui suit est ma compréhension du rapport math/logique. Je vous de mande de me remettre dans le droit chemin !

Je comprends que la logique est le langage dans lequel on peut faire des mathématiques. Le langage qui définit les règles de déduction.

On fait des maths dans ZFC (souvent) qui est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles.

Mais il existe plusieurs philosophies différentes en logique. Ces différentes philosophie sont elles toutes compatibles avec ZFC ? Je en sais pas si ma question est claire. Je veux savoir si, lorsqu'on affirme "je suis intuitionniste", on peut construire une axiomatisation ZFC ? Je crois avoir lu (mais vu le flou dans lequel je suis...) que c'est le cas pour l'intuitionnisme. Mais existe-t-il d'autres logiques qui ne permettent pas de construire ZFC donc de faire des maths "standard" ?

Drôle de question, non ?

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

On peut très bien définir ZF en logique intuitionniste (IZF) et même constructiviste (CZF).

A noter que IZFC permet de démontrer le tiers exclu.

Dans toutes les logiques qui autorisent les connecteurs, les quantificateurs, les symboles de relations, il n'y a aucune raison de ne pas pouvoir définir une version de ZF (est-ce qu'elle sera riche et fructueuse est une autre question)

[Herr_General_Spontz]

OK.

Pour que je comprenne bien IZF est la même axiomatique que ZF ? avec les même résultats mathématiques en utilisant IZF et ZF ?

Autrement dit, quelqu'un raisonnant suivant l'intuitionnisme peut utiliser tout théorème démontré par quelqu'un se raisonnant suivant le constructivisme ?

A+

[Médiat]

On n'obtient pas les mêmes résultats dans une logique ou dans une autre (sauf dans le cas IZFC puisque qu'on peut y démontrer le tiers exclu et donc on retombe sur ZFC) ; dans le cas de l'intuitionnisme, il y a une traduction avec la classique mais certains théorèmes sont "légèrement différent" (par exemple en logique intuitionniste on peut, par exemple, pour certaines formules , démontrer mais on ne peut pas démontrer , alors que dans ce cas la logique classique permet de démontrer .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Herr_General_Spontz]

Ce fut très précis !

J'ai mes réponses. Merci !

Par contre, je suis lent pour percuter, mais lef ait que le tiers exclus soit démontrable dans IZFC est très intéressant. Je vais m'y plonger (enfin si le fond du sujet n'est pas abyssal comparé à mon niveau en math).

A+

[Médiat]

Théorème de Diaconescu