[Maths] [TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

[kNz]

Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

Exercice

1) On considère l'équation (E₁) : 31x-27y=5 d'inconnue .

a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
b. Résoudre l'équation (E₁).

2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

3) On considère l'équation (E₂) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E₂), alors : x² congru 2y² [5]
b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
c. Résoudre l'équation (E₂).

[kNz]

1.Résoudre dans l'équation : 2001x + 2002y = 1.

2. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) d'entiers naturels admettant 2001 pour somme et 2002 pour produit.

3. On considère l'équation (E) d'inconnue, n entier naturel :

(E) : n² - Sn + 2002 = 0, où S est un entier naturel.
a. Peut-on déterminer S tel que 13 soit solution de (E) ? Si oui, résoudre l'équation.
b. Déterminer toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.

Est-il nécessaire de vous dire que c'est un sujet de 2001-2002 ?

Good luck

[La-dodo]

Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

Exercice

1) On considère l'équation (E₁) : 31x-27y=5 d'inconnue .

a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
b. Résoudre l'équation (E₁).

2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

3) On considère l'équation (E₂) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E₂), alors : x² congru 2y² [5]
b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
c. Résoudre l'équation (E₂).

je me lance!

1)31x-27y=5

a)on calcule le PGCD de 31 et 27 avec l'algorithme d'euclide
31=27*1+4
27=4*6+3
4=3*1+1
3=1*3+0
son PGCD est 1 ils sont donc premiers en eux.
maintenant je remonte!
1=4-3*1
1=(31-27*1)-(27-4*6)
1=(31-27*1)-(27-(31-27*1)*6)
1=31-27*1-27+31*6-27*6=31*7+27*(-8) on multiplie le tout par 5!
5=31(7*5)+27(-8*5)

S0={(-8*5;7*5)}

b)résolution:
on a 27(-8*5)+31(7*5)=5
et 27x+31y=5
on dit donc 27(40-x)+31(35-y)=0
27(40-x)=31(y-35)
on peut donc dire 40-x=31k x=-31k+40
et y-35=27k' y=27K'+35


et pour le reste je ne sais pas

[kNz]

Salut,

Pour la 1, tu arrives à 31*7 + 27*(-8) = 1, c'est à dire : 31*7 - 27*8 = 1, jusque là ok.
Or l'équation diophantienne est bien 31x-27y = 1, donc reprends tes solutions, fais aussi attention à l'ordre dans lequel tu les écris, et marque directement les valeurs numériques dans S₀.

Reprends le reste en changeant ça

A+

[H.Poincaré]

Merci kNz pour les exos qui m'ont servi ... même si on avait une myriade d'exercices (11 pour 2 heures) avec certaines subtilités et des exercices assez peu "classique" finalement (un seul Bezout, pas d'équation diophantienne !)

Mais n'hésite pas à continuer à poster d'autre exos d'arithmétique (et des plus difficiles encore )

Cordialement,
H.Poincaré