[Maths] [TS] Nombres complexes et leurs propriétés

[Shiho]

Bonjour,

Phys2 voilà tes exos ^^ Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de créer un nouveau fil ?

Echauffement.
Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z² - 3z + 9 = 0. Donner les solutions sous forme exponentielle.

Exercice 1.
Répondre par VRAI ou FAUX. Aucune justification n’est demandée.
a) Le complexe cos + i sin a pour module 1.
b) Le complexe (1 - √2 )eⁱ a pour argument .
c) Un argument de 2 + 3i est l’opposé d’un argument de 2 – 3i.
d) est un argument de sin 3 + i cos 3.
e) 5 – i et ont même argument.
f) Pour tout complexe z non nul arg(-iz) + arg(z) = .

Exercice 2.
On note (E) l’équation z4 – 4z³ + 14z² - 36z + 45 = 0.
1°) Démontrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que :
z4 – 4z³ + 14z² - 36z + 45 = (z² + 9) (az² + bz + c).
2°) Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

Exercice 3.
Soit z₁, z₂ et Z les complexes suivants.
z₁ = 1 + i√3 ; z₂ = 1 – i ;
1°) Déterminer la forme algébrique de Z.
2°) Déterminer le module et un argument de z₁, z₂ et Z.
3°) Déduire des questions précédentes la valeur exacte du cosinus et du sinus de .

Exercice 4.
On définit le complexe :
1°) Déterminer le conjugué du dénominateur de cette fraction.
2°) Démontrer que z est réel en calculant sa valeur.

Enjoy!

Tchoum
Je suis aussi en TS spé PC si tu veux j'ai quelques exos sur le son et l'optique (plusieurs pages pour chaque en fait lol ).
Dis-moi si ça t'intéresse.
-----

[Seirios]

Echauffement.
Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z² - 3z + 9 = 0. Donner les solutions sous forme exponentielle.

Pour le trinôme, on a , et donc

Donc et

Pour ces deux complexes, on a le module égal à 3.

D'où

Et par le même principe

Exercice 1.
Répondre par VRAI ou FAUX. Aucune justification n’est demandée.
a) Le complexe cos + i sin a pour module 1.
b) Le complexe (1 - √2 )eⁱ a pour argument .
c) Un argument de 2 + 3i est l’opposé d’un argument de 2 – 3i.
...

a) FAUX

b) J'ai essayé de calculé l'argument du complexe, mais je me suis retrouvé bloqué à :

c) VRAI

Le reste ce fera en fonction de la réponse à la b)

Exercice 2.
On note (E) l’équation z4 – 4z³ + 14z² - 36z + 45 = 0.
1°) Démontrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que :
z4 – 4z³ + 14z² - 36z + 45 = (z² + 9) (az² + bz + c).
2°) Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

1°) On a

Donc on doit avoir a=1, b=-4, 9a+c=14, 9b=-36 et 9c=45, soit a=1, b=-4 et c=5

Donc les réels a,b et c existent

2°) D'après la question précédente, et comme on a
et que a pour solutions et , nous savons que ces trois valeurs sont solution de (E)=0.

Tchoum
Je suis aussi en TS spé PC si tu veux j'ai quelques exos sur le son et l'optique (plusieurs pages pour chaque en fait lol ).
Dis-moi si ça t'intéresse.

Et bien en fait je ne connais pas les équations physiques de ce domaine

[Seirios]

Pour l'exercice 2 je n'ai plus besoin d'indication (merci à kNz )

Et puis désolé à Tchoum, j'avais pas remarqué que quelqu'un avait ce pseudo donc j'ai cru que Shiho s'adressait à moi Désolé !

[Shiho]

Salut ^^

Alors comment tu les trouves ?

Echauffement
Ok, c'est bon.

Exercice 1
Pour le moment c'est juste.

Exercice 2
Je ne suis pas d'accord. Vérifie les racines de z² - 4z +5.
De plus tu as oublié une solution => une équation du 2nd degré a 2 solutions et une équation du 4ème degré en a 4...

Au fait benjy_star merci pour le titre Ca va me faire une réputation... Et pis faut s'en prendre à mon prof de maths => les 4 derniers exos faisaient partie d'un contrôle de 2h et étaient sur 10 points...

@+++

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour l'exercice 2 j'ai oublié la solution -3i, et les solutions du trinôme ne sont effectivement pas bonnes. Les solutions correctes sont : 2+i et 2-i.

Compléments pour l'exercice 1 :

b) VRAI
d) FAUX
e) FAUX
f) FAUX

(Mais à mon avis je me suis trompé quelque part parce que je trouve qu'il y a trop de faux...)

[invite19431173]

Au fait benjy_star merci pour le titre

J'étais très pressé !

[Shiho]

Re!

L'exo 2 c'est bon ^^
L'exo 1 c'est moins bien... les propositions d et e sont vraies... t'as plus qu'à trouver pourquoi

Pour la d:




Utilise le cercle trigonométrique.

PS: Je trouve qu'il y a beaucoup de vrai...

@+++

[invite19431173]

Pour la d:

Autre façon de voir : dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est égal au sinus de l'autre... Et la somme des deux angles est de pi/2...

[Seirios]

Alors on a
Par le même principe, on a

Donc (J'ai écris X à la place du reste, après ça fait trop long )et l'affirmation est donc vrai

Pour la e) je vais encore un peu réfléchire

Exercice 3 :

Je marque juste les réponses :

1)

2) d'où et
De même, d'où et

Et par déduction, (on l'obtient en faisant la rapport entre les deux formes exponentielles), d'où et

3) On a donc et

[Shiho]

Bonjour,


désolée pour le temps de correction.

Exercice 1
Ok pour la question d.
Petites indications pour la question e : exprime l'argument du quotient de manière différente et quel est l'argument d'un réel ?

Exercice 3
Nickel ^^

Au fait ça te convient comme exo ?

PS:

J'ai écris X à la place du reste, après ça fait trop long

Flemmard

[g_h]

, et donc

attention, en toute rigueur, ceci ne veut strictement rien dire (juste au cas où...)
sinon, pourquoi choisir et pas ? On ne voit pas bien le "piège" pour les imaginaires purs, mais sur , on ne peut pas parler de signe d'un nombre, donc on ne peut pas privilégier une racine plutôt que l'autre "car elle est positive" : "positif" n'a plus de sens sur , et la fonction racine carrée ne s'étend donc pas sur (en tous cas, pas en terminale, sinon on devrait parler de fonction dite "multiforme", ou "multivaluée").

PS : à moins que tu ne saches me dire lequel de ces 2 nombres est le plus grand : -3 + 3i ou 3 - 3i ?

[Seirios]

Ce serait mieux si j'écrivais ?

[g_h]

Ce serait mieux si j'écrivais ?

Non, presque


Mais tu pourrais très bien écrire :

ça n'a pas d'importance.

PS : je ré-insiste : ce point là est très important, les profs se feraient un plaisir de tout barrer en rouge avec un "ha ha !" dans la marge ! Si tu as des questions n'hésite vraiment pas.

autre exemple : on ne peut pas écrire le truc classique (qui s'écrivait il y a quelques siècles) , c'est exactement pour la même raison, si on veut être rigoureux.

[Seirios]

Alors si j'écris , c'est mieux cette fois-ci ?

[Shiho]

Salut,

en cours comme formule on a vu :
pour résoudre az² + bz + c avec a, b et c des réels.

Ca résoud le problème, il n'y a plus de nombre négatif sous la racine et pas besoin de mettre au carré ^^

[Seirios]

Voilà le reste des exercices :

Pour la e), on a :



Or , d'où

Donc

Donc la réponse est VRAI.

Exercice 4 :

1) Le conjugué du dénominateur est

2) En multipliant le nominateur et le dénominateur par le conjugué précédent, on obtient :



En passant par la forme trigonométrique, et en utilisant les propriétés des fonctions cosinus et sinus (l'imparité de la fonction sinus : ; et ), on obtient :

, soit au final

Donc le complexe est bien un réel

[Shiho]

Salut,

Pour la e) au niveau de la justification j'aurais pas mis pareil. C'est parce que le dénominateur est réel que son argument est égal à 0...

Exo 4
1°) Ok
2°) Je n'ai pas la même chose sur ma correction mais mon prof fait souvent des erreurs dessus donc je vais vérifier...


Tu en veux d'autres ?

@+++

[Seirios]

C'est parce que le dénominateur est réel que son argument est égal à 0...

L'argument d'un réel n'est pas toujours nul : par exemple, on a (avec x un réel strictement négatif)

Tu en veux d'autres ?

Non merci, j'ai commencé un autre chapitre

Mais merci pour ces exercices

[Shiho]

L'argument d'un réel n'est pas toujours nul

Ah oui c'est vrai j'avais pas pensé aux réels négatifs...

De rien pour les exos ^^

EDIT : J'ai pas encore vérifié la deuxième question...