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Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

  1. sperca

    Date d'inscription
    août 2007
    Âge
    25
    Messages
    60

    Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Bonsoir à tous,

    Dans un exercice de révision entre la terminale et le supérieur on me demande de démontrer cette propriété des arguments des nombres complexes :


    Donc pour cela je me suis dit on pose deux nombres z et z' ayant pour valeur respective x+iy et x'+iy', mais à partir de là je ne sais pas trop où aller...

    Si vous pouviez m'aiguiller pour que je comprenne cette démonstration

    Merci à vous.

    Salut

    Sperca.

    PS: c'est drôlement pratique le latex dis donc.


     


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  2. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Bonjour,

    N'est-ce pas plus simple en utilisant la notation exponentielle ?
     

  3. sperca

    Date d'inscription
    août 2007
    Âge
    25
    Messages
    60

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Ah oui effectivement c'est vrai qu'on se rabat sur les propriétés de l'exponentiel. Je ne sais même pas pourquoi je n'y ai pas pensé ^^.
    Merci à toi.

    Il me reste plus qu'à démontrer la propriété de l'exponentiel.
     

  4. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    26
    Messages
    4 541

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Je crains qu'une démonstration utilisant la forme exponentielle ne soit pas valide.
    En effet, cette notation découle du fait qu'on additionne les arguments d'un produit .
    Utiliser les conséquences d'une propriété pour démontrer la propriété...pas génial .
    Cogito ergo sum.
     

  5. sperca

    Date d'inscription
    août 2007
    Âge
    25
    Messages
    60

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Ah merci pour cette indication donc même si après je démontre la propriété de l'exponentiel avec le logarithme, puis celle du logarithme avec la méthode des dérivées, ce n'est pas très très mathématiques :S.

    Comment je peux faire sinon ?

    Merci.

    Sperca
     


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  6. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    26
    Messages
    4 541

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Pas de lograithme complexe !
    (ça se fait mais en bac+n à déterminer )
    Cogito ergo sum.
     

  7. sperca

    Date d'inscription
    août 2007
    Âge
    25
    Messages
    60

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Euh comment je peux commencer alors ?

    Merci à vous.

    Sperca
     

  8. danyvio

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Localisation
    Lyon
    Âge
    72
    Messages
    3 071

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    Il me semble qu'il faudrait revenir aux bonnes vieilles définitions des arguments, définis par leur cos et sin en fonction des parties réelle et imaginaire.
    Ci après j'appelle ARG1, et ARG2 resp. les arguments de z1 et z2.

    Calculer cos (ARG1) = etc..., sin (ARG1) = ..., cos (ARG2)= ... sin (ARG2) =..
    Ensuite faire le calcul trigo classique cos(ARG1+ARG2)=.... sin(ARG1+ARG2)=...

    On devrait s'apercevoir qu'on a trouvé la formulation des arguments de z1z2 ....
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
     

  9. sargueras

    Date d'inscription
    mai 2007
    Localisation
    Tunisie
    Âge
    25
    Messages
    4

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    z×z’= |z|×[cos(θ)+i.sin(θ)]×|z’|×[cos(θ’)+i.sin(θ’)]
    = |z|×|z’|×[ cos(θ)×cos(θ’) + i.cos(θ)×sin(θ’) + i.sin(θ)×cos(θ’) - sin(θ)×sin(θ’)]
    = |z×z’|×[ cos(θ)×cos(θ’) - sin(θ)×sin(θ’) + i.( cos(θ)×sin(θ’) + sin(θ)×cos(θ’))]
    En utilisant la formule d’addition des cosinus et sinus
    = |z×z’|×[ cos(θ + θ’) + i.( sin(θ + θ’) ]
    Donc l'argument du produit z × z' est égal à θ + θ’ , c'est la somme des arguments de z et z'.

    Cordialement
     

  10. Hamb

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Val d'Oise
    Âge
    25
    Messages
    586

    Re : Démonstration : propriétés des arguments (nombres complexes)

    le plus simple a mon avis est de revenir a la définition de l'argument zz'/|zz'|=e^iarg(zz') ensuite la propriété est très simple à démontrer en utilisant les propriétés des modules.
     


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