[Maths] [TS] Introduction à la fonction W0

g_h · 16/01/2007 - 22h49

Salut,

Un exercice supplémentaire, si quelqu'un veut bien le déplacer ? (merci !)

Pour essayer de rassasier anonymus, voici un exo tout frais, petit aperçu faisable en TS de choses qui sont complètement hors programme ! J'espère qu'il te fera réfléchir un peu. Certaines questions demandent un peu d'astuce, comme tu le voulais

Enfin, c'est assez dur pour moi de juger de la difficulté de cet exercice... car la Terminale n'est déjà plus qu'un lointain souvenir, et je ne suis pas prof !

(en plus, c'est pas tous les jours que je fais des énoncés... !)

Exercice : introduction à la fonction W₀

Question 1
$\displaystyle f$ désigne ici une fonction bijective et dérivable, définie sur un intervalle $\displaystyle I \subset \mathbb{R}$ , et dont la dérivée ne s'annule jamais.

Sa fonction réciproque $\displaystyle f^{-1}$ est donc définie sur $\displaystyle f(I) \subset \mathbb{R}$

Démontrer que :
$\displaystyle \forall x \in f(I),\ \left(f^{-1}\right)^'(x) = \frac{1}{f^' \circ f^{-1}(x)$

Dans la suite, on se restreindra à $\displaystyle I = ]-1, +\infty[$
Soit $\displaystyle g\ :\ x\ \maps x exp^x$

Question 2
Démontrer que g remplit les hypothèses de la question 1 (bijective, dérivable et dont la dérivée ne s'annule jamais)

Question 3
Déduire des 2 dernières questions une équation différentielle (non linéaire, loin de là !) que vérifie la fonction $\displaystyle g^{-1}$

Et voilà, cette équation différentielle avec la condition $\displaystyle y(exp^{}) = 1$ définit une fonction unique : la fonction $g^{-1}$ , mais qui est plus connue sous le joli nom de $\displaystyle W_0$ , branche principale de la fonction "W de Lambert"

Connaissant une équation différentielle et une valeur de cette fonction, on pourrait par exemple, si cet exercice ne s'adressait pas à des Terminales, déterminer son développement en série entière de au voisinage de 0.

Question 4 (application)
En utilisant la fonction $W_0$ :

- résoudre dans $I$ l'équation $x = -exp^{x+1}$
- résoudre dans $I$ l'équation $2 \sqrt{2x} = exp^{\frac{x}{8}}$

Dans le dernier cas, il y a 2 solutions, mais l'une n'est pas dans le "champ de vision" de $W_0$ , il faudrait utiliser une autre fonction, connue sous le nom de... $W_{-1}$

En effet, chaque élément de $]-\frac{1}{exp^{}}, 0[$ possède exactement 2 antécédents par g dans $]-\infty, 0[$ , et $W_0$ ne nous donne que celui qui est situé dans $]-1, 0[$ . $W_{-1}$ nous donne alors l'autre.

anonymus · 17/01/2007 - 17h29

Salut !
Es-tu sûr que je peux faire l'exo rien qu'avec mes (maigres) connaissances de TS ?
Déjà la bijectivité, c'est au limite du programme.
J'vais tout de même essayé !

PS: la réponse à la première question est sur wikipédia hihi

mais je ne l'ai pas lue (ni même simplement regardé)

g_h · 17/01/2007 - 18h17

Envoyé par anonymus

Salut !
Es-tu sûr que je peux faire l'exo rien qu'avec mes (maigres) connaissances de TS ?
Déjà la bijectivité, c'est au limite du programme.
J'vais tout de même essayé !

PS: la réponse à la première question est sur wikipédia hihi

mais je ne l'ai pas lue (ni même simplement regardé)

Oui, tu peux tout faire en TS. Par contre, la bijection, c'est en plein dans le programme de TS ! Il y a même un "théorême de la bijection" en TS, et si je me rappelle bien, c'est un cas particulier du théorême des valeurs intermédiaires, et c'est à savoir absolument pour le bac ! Et pour ça, il faut savoir établir qu'une fonction établit une bijection d'un ensemble sur un autre.

Pour montrer qu'une fonction est bijective, c'est très facile : il suffit qu'elle soit ***** et **** ****

Pour la première question, elle demande peut-être un peu d'astuce (non, aller sur wikipedia n'est pas une astuce, lol), mais il ne faut pas chercher trop loin : revenir à la définition de nombre dérivé.

anonymus · 17/01/2007 - 18h29

Envoyé par g_h

Oui, tu peux tout faire en TS. Par contre, la bijection, c'est en plein dans le programme de TS ! Il y a même un "théorême de la bijection" en TS, et si je me rappelle bien, c'est un cas particulier du théorême des valeurs intermédiaires, et c'est à savoir absolument pour le bac ! Et pour ça, il faut savoir établir qu'une fonction établit une bijection d'un ensemble sur un autre.

Oui ça bien sûr mais on a jamais fait autre chose avec.

Pourqu'elle soit bijective, il faut qu'elle soit injective et surjective, j'le sais mais c'est clairement hors programme.

g_h · 17/01/2007 - 18h44

Envoyé par anonymus

Oui ça bien sûr mais on a jamais fait autre chose avec.

Pourqu'elle soit bijective, il faut qu'elle soit injective et surjective, j'le sais mais c'est clairement hors programme.

Oui, ça, c'est hors programme. Par contre, "continue et strictement monotone", ça, tu dois le savoir pour le bac !

anonymus · 17/01/2007 - 18h50

Oui on est d'accord et je viens de réaliser ma bêtise.
J'aurai du lire bijective <=> continue et strictement monotone. Au lieu de chercher du hors programme. Milles excuses

Gwyddon · 17/01/2007 - 18h58

Envoyé par g_h

Pour la première question, elle demande peut-être un peu d'astuce (non, aller sur wikipedia n'est pas une astuce, lol), mais il ne faut pas chercher trop loin : revenir à la définition de nombre dérivé.

Salut g_h, juste une petite question : elle demande de l'astuce si l'on se limite au programme de TS, sinon elle se fait en 30 secondes non ?

g_h · 17/01/2007 - 19h00

Envoyé par Gwyddon

Salut g_h, juste une petite question : elle demande de l'astuce si l'on se limite au programme de TS, sinon elle se fait en 30 secondes non ?

Oui, nous sommes bien d'accord !
Je pense qu'en TS une formule comme ça peut dérouter un peu, c'était le sens de ma remarque. C'est pour ça que je précise "il ne faut pas chercher trop loin : revenir à la définition de nombre dérivé."

Gwyddon · 17/01/2007 - 19h02

Ok alors, car je pensais à difféomorphisme+compo des dérivées

g_h · 17/01/2007 - 19h04

Envoyé par anonymus

Oui on est d'accord et je viens de réaliser ma bêtise.
J'aurai du lire bijective <=> continue et strictement monotone. Au lieu de chercher du hors programme. Milles excuses

Première erreur

Il n'y a aucune raison qu'il y ait une équivalence entre les 2 propriétés ! on a seulement <=

par contre on a bien :
bijective ET continue <=> continue et strictement monotone

EDIT : Ou en plus clair, si f est continue, alors f bijective <=> f strictement monotone

kNz · 17/01/2007 - 19h16

'Soir,

g_h elle est un peu sadique ta première question sans une p'tite indication quand même

g_h · 17/01/2007 - 19h20

Envoyé par kNz

'Soir,

g_h elle est un peu sadique ta première question sans une p'tite indication quand même

Lol, non, ce n'est pas sadique

Ca aurait sadique si j'étais prof en TS et que j'avais mis cette question sur 10 points

Là, le but est de réfléchir, et anonymus a explicitement demandé un exercice hors des sentiers battus !

Mais je suis prêt à donner toute indication que vous demanderez. C'est mieux que si je donne tout, tout de suite

Point de départ : écrire le taux d'accroissement de $f^{-1}$ en un point a.

kNz · 17/01/2007 - 19h24

C'est vrai tu as raison

Bonne chance à anonymus

PS : n'oublie pas qu'il y a aussi tout pleins d'exos sur les logs non résolus

anonymus · 18/01/2007 - 00h18

$(f^{-1})' =$ $\lim_a$ $\frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x-a}$
Déjà, ça c'est juste ? (moi et les nombre dérivé ça fait $e^e$

)

Sinon j'pense m'y mettre tout doucement parce que j'ai DS de physique/chimie (pas que les maths dans la vie !

) vendredi.

g_h · 18/01/2007 - 00h45

Envoyé par anonymus

$(f^{-1})' =$ $\lim_a$ $\frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x-a}$
Déjà, ça c'est juste ? (moi et les nombre dérivé ça fait $e^e$

)

Sinon j'pense m'y mettre tout doucement parce que j'ai DS de physique/chimie (pas que les maths dans la vie !

) vendredi.

Oui, c'est exactement ça !
Ou plus exactement :
$\displaystyle (f^{-1})^'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x-a}$ car ta notation est un peu abusive, même si elle se comprend bien !

Par contre... (c'est là qu'il faut être très très précis !) tu as le droit d'écrire ça UNIQUEMENT aux points a ou f^-1 est dérivable... et ça, à ton niveau, rien ne te le dit !

Le chemin à suivre est de montrer que la limite que tu écris (la limite du taux de variation) existe, cela a donc pour conséquence ET la dérivabilité de f^-1 (par définition de la dérivée), ET donc l'égalité entre la dérivée et cette limite... tu me suis ?

Car ce que tu écris suppose que f^-1 est dérivable sur l'intervalle, et si tu supposes ça, tu peux tilter sur le message de Gwyddon et écrire :
Partout ou f^-1 est dérivable, on a :
$\left(f \circ f^{-1}\right)(x) = x \\ \Rightarrow \left(f \circ f^{-1}\right)^'(x) = 1 \\ \Rightarrow \left(f^{-1}\right)^'(x) \times \left(f^' \circ f^{-1}\right)(x) = 1$ et tu en déduis directement la formule, car f' ne s'annule pas, par hypothèse.

Mais... resterait alors à montrer que f^-1 est dérivable partout

Donc en fait, ça n'est pas "exactement" ça