[Maths] [TS] Exponentielles/Logarithmes

kNz · 24/01/2007 - 21h11

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x) = \frac{ln(e^{2x}-1}{e^x}$ .

A) Etude de fonctions auxiliaires

1) On définit la fonction g sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par :

$g(x) = 2x - (x-1)ln(x-1)$

a) On admet le résultat suivant :

$lim_{x \rightarrow 0} xlnx = 0$

En déduire la limite de $g(x)$ lorsque x tend vers 1.

b) Calculer $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ] $1;+\infty[$ .

c) Résoudre l'inéquation :

$1-ln(x-1) > 0$

d'inconnue $x$ appartenant à l'intervalle $]1;+\infty[$ .

d) Etudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]1;+\infty[$ .

e) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique, notée $\alpha$ , dans l'intervalle $[e+1;e^3+1]$ , et étudier le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]1;\alpha[$ et $]\alpha;+\infty[$ .

2) Soit $\phi$ la fonction définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par :

$\phi (x) = \frac{ln(x^2 -1)}{x}$

.

a) Déterminer $lim_{x \rightarrow 1} \phi (x)$ et prouver que $lim_{x \rightarrow +\infty} \phi (x) = 0$ .

b) Calculer $\phi ' (x)$ et montrer que $\phi ' (x)$ est du signe de $g(x^2)$ sur l'intervalle $]1;+\infty[$ .

c) Montrer que $\phi$ est croissante sur l'intervalle $]1;\sqr{\alpha}]$ et décroissante sur l'intervalle $[\sqr{\alpha};+\infty[$ .

anonymus · 24/01/2007 - 21h57

$g(x) = 2x - (x-1)ln(x-1)$

1)a)
lim 2x = 2
lim (x-1)ln(x-1) = 0
donc lim g quand x -> 1 = 2

b)
$g'(x) = 1 - ln(x-1)$

c)
$1-ln(x-1) > 0$
$ln(x-1) < 1$
$x-1 < e$ le sens de l'inégalité est conservé car l'exp est une fonction croissante.
$x < e + 1$

d)
$g'(x) = 0$ pour $x = e + 1$
sur $]1;e+1[$ , $g'(x) > 0$ donc g croissante
sur $]e+1;+\infty[$ , $g'(x) < 0$ donc g décroissante

e)
g est une fonction continue sur $[e+1;e^3+1]$ et strictement croissante (monotone).
De plus $g(e+1) > 0$ et $g(e^3 + 1) < 0$ . D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe le réel $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$

sur $]1;\alpha[$ , $g(x) > 0$
sur $]\alpha;+\infty[$ , $g(x) < 0$

2)a)
$lim_{x \rightarrow 1} \phi (x) = -\infty$

anonymus · 24/01/2007 - 22h04

Pour la 2e limite, tu demandes une demo de cours ?

$\phi'(x) = \frac{2x^2 - (x^2-1)ln(x^2-1)}{(x^2-1)x^2}$
Or signe de $\phi'$ = signe de num $\phi'$ car denom de $\phi' > 0$
De plus num de $\phi' = g(x^2$ )

kNz · 26/01/2007 - 15h18

Envoyé par anonymus

$g(x) = 2x - (x-1)ln(x-1)$

1)a)
lim 2x = 2
lim (x-1)ln(x-1) = 0
donc lim g quand x -> 1 = 2

C'est bon, mais si tu prépares le BAC, encore une fois, rédige plus, ex :
(x-1)ln(x-1) est de la forme XlnX. Quand x tend vers 1, on a bien X tend vers 0 et lim = 0

e)
g est une fonction continue sur $[e+1;e^3+1]$ et strictement croissante (monotone).

Erreur d'innatention

De plus $g(e+1) > 0$ et $g(e^3 + 1) < 0$ .

En donnant les valeurs des ordonnées c'est encore mieux

Pour la 2ème limite de la question a, je demande pas une question de cours, c'est un énoncé de bac, réponds ce que tu répondrais seul le jour de l'exam

Bon dans l'ensemble c'est bien, mais la rédaction pourrait être mieux, même si on sait que tu as compris, mais le correcteur du bac sera pas dans cet état d'esprit, donc si tu veux bien le faire le jour J, commence aujourd'hui

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