[Maths] [TS] Pi et les intégrales

kNz · 26/01/2007 - 15h54

Quelques petits problèmes intéressants sur le nombre Pi avec les intégrales.

Problème n°1

On pose pour $n \geq 1$ , $u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}$ .
On se propose d'établir que $(u_n)$ converge vers $\frac{\pi}{4}$ .

A) Expression de $u_n$ à l'aide d'une intégrale

1) Montrer que, pour tout réel t :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^nt^{2n} = (-1)^n \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}$ .

2) En déduire que :

$u_n - \displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = (-1)^n \int_0^1 \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt$ .

3) Montrer que, pour tout réel t de [0;1], on a :

$\frac{t^{2n+2}}{1+t^2} \leq t^{2n+2}$ .

En déduire que :

$|u_n - \displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}| \leq \frac{1}{2n+3}$ .

B) Calcul de $I = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$

On pose pour tout x, $F(x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2}$ .

1) Justifier la dérivabilité de F et calculer F'(x).

2) On pose pour $x \in [0;\frac{\pi}{2}[$ , u(x) = F(tan x).

a. Montrer que u est dérivable sur $[0;\frac{\pi}{2}[$ et calculer u'(x).
b. Calculer u(0) ; en déduire que pour x, u(x) = x.
c. Déduire des questions précédentes que $I =\frac{\pi}{4}$ .

3) Déduire des questions précédentes que $I = \frac{\pi}{4}$ .

4) Conclure.

anonymus · 30/01/2007 - 17h52

1) On veut montrer que $\sum_{k=0}^n (-1)^nt^{2n} = (-1)^n \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}$

$\sum_{k=0}^n (-1)^nt^{2n}$ $=$ $\sum_{k=0}^n (-t^2)^n$ $=$ $\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}$ $=$ $\frac{(-1)^n(t^2)(t^2)^n}{1+t^2}$ $=$ $X_1$

$(-1)^n \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}$ $=$ $\frac{(-1)^n(t^2)(t^{2n})}{1+t^2}$ $=$ $X_2$

$num(X_1 - X_2)$ = 0
<=> $X_1 = X_2$
$CQFD$

kNz · 30/01/2007 - 18h58

Bon ok dès la première question j'mets un énoncé erroné, désolé.

Montrer que :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^kt^{2k} - \frac{1}{1+t^2} = (-1)^n \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}$ .

jinmu · 03/08/2008 - 10h08

Bonjour,desole de la remontee de topic.Je suis en train de plancher sur cet exercice,et je bloque sur la premiere question.Serait-il possible d'avoir une piste.Voila ce que j'ai commence à faire.

$\sum{(-1^k)t^{2k}-\frac{1}{1+t^2} = {\frac{1+t^{2n+2}}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}$ (somme d'une suite geometrique de premier terme 1 et de raison $-t^2$
J'arrive en developpant a : $\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}$ ce qui n'est pas la relation demandee ,donc quelle est mon erreur?
Pour la 2) Je ne vois pas du tout comment la prendre.En calculant,je n'aboutis pas.Serait-ce possible d'avoir une piste?

J'ai commence la partie B:
1)F est definie continue et derivable sur $[0;x]$ car $1+x^2$ est definie continue et derivable et ne s'annule pas sur $R$
On a donc $F^'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
2)Avec $u(x)=F(tan(x))$ on trouve $F^'(tan(x))=\frac{1}{1+tan^2(x )}$ et $u(0)=0$ car $tan^2(0)=0$ donc la fonction a integrer devient $1$ dont la primitive est $x$ Par contre je n'arrive pas à deduire $u(x)=x$ .
Par ailleurs les questions 2)c) et 3) ne sont-elles pas identiques?

Merci d'avance pour votre aide.Et bravo pour cet excellent forum que j'ai decouvert il y a pas longtemps,et sur lequel je souhaite passer de bons moments.

Thorin · 04/08/2008 - 12h07

Dans le numérateur de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, tu as fait trop vite disparaitre le "moins" de la raison, en effet, le "moins" aussi est mis à la puissance qu'il faut !

Pour la 2), il suffit de prendre l'intégrale de la relation précédente. Pour le terme dans le sigma, il est très simple de calculer son intégrale : la primitive est simple (il suffit de changer les puissances et diviser par le bon coefficient correcteur), puis évaluer en 1 et en 0, et soustraire...

Pour la Partie B, question2 :
il ne faut pas calculer F'(tan(x)), mais F(tan(x))', ce qui donne, par formule de dérivation des composées : tan' * F'(tan(x)) = ... = 1, car tan'(x)=1+tan²(x)
Ca va devenir beaucoup plus facile.

jinmu · 05/08/2008 - 08h57

Bonjour,

Merci de ton aide.

En suivant tes indications,j'ai trouve pour la question 1 du A une somme de $\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}$
Apres developpement,je trouve $\frac{(-1)^{n+2}(t^{2n+2})}{1+t^2}$ ce qui est egal à la relation demandee car $(-1)^{n+2}=(-1)^{n}$
Je vais essayer de continuer la suite de cette partie, en integrant la relation trouvee en 1)

Pour la partie B,c'est plus clair pour moi.Comme $F^'(tan(x))=1$ alors sa primitive est $x$ et donc en integrant entre 0 et x,on trouve bien $F(tan(x))=x$
Pour calculer $I$ Je fais un changement de variable avec $t=tan(x)$ .J'integre donc entre $arctan(0)=0$ et $arctan(1)=\frac{\pi}{4}$
Et $dt=1+tan^2(x)dx$
et donc $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} dx$
ce qui donne bien $I=\frac{\pi}{4}$

jinmu · 05/08/2008 - 12h53

Desole du double post.Je crois avoir fini l'exercice si je n'ai pas fait d'erreurs.
Pour la A) 2) J'integre la relation obtenue en 1) ,et je trouve comme primitive de $t^{2n}$
$\frac{t^{2n+1}}{2n+1}$ ce qui donne la relation demandee,en integrant entre 0 et 1 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}t^{2k}$
Pour la question 3) on a $0<t<1$
donc $0<t^2<1$ et $1<t^2+1<2$
et on a $\frac{1}{2}<\frac{1}{t^2+1}<1$
et donc en multipliant par $t^{2n+2}$ terme positif on a la relation de mandee.

En integrant $t^{2n+2}$ entre 0 et 1 on trouve $\frac{1}{2n+3}$ et donc comme $t^{2n+2}>\frac{t^{2n+2}}{t^2+1 }$ on a la relation demandee.
On majore ensuite $\frac{1}{2n+3}$ par $\frac{1}{n}$ et on trouve que la limite de $|u_n- \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}|$ est 0 et donc que $u_n$ converge vers $\frac{\pi}{4}$ (selon le B))

Merci Thorin pour ton aide et kNz pour ce bel exercice.
Cordialement.