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[Maths] [MP/L2] Etude qualitative d'une ED

  1. Romain-des-Bois

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    30
    Messages
    3 846

    [Maths] [MP/L2] Etude qualitative d'une ED

    Bonjour !

    Voici un (petit) problème proposé par homotopie à propos des équas diffs


    Etude qualitative d'une équation différentielle

    On considère l'équation différentielle y'=y²-x (E). Ici, le terme solution désignera toujours une solution maximale.

    1) Montrer que pour tout point (x,y) de R² il existe une unique solution fx,y de (E) telle que y=fx,y(x).

    2) Montrer que si pour une solution f de (E) la dérivée s'annule en x0, et en notant Df le domaine de définition de f, alors
    a) f est croissante sur D'={x de Df ; x<=x0} et
    b) f est décroissante sur D"={x de Df ; x>=x0}.
    Indice :
     Cliquez pour afficher


    3) Déterminer le lieu des points de coordonnées (x,y)
    a) la dérivée seconde de fx,y s'annule en (x,y)
    b) fx,y est localement convexe en (x,y)
    c) fx,y est localement concave en x,y
    Indice :
     Cliquez pour afficher


    4) Montrer que si pour une solution f de (E) la dérivée seconde s'annule en x0 alors
    a) f est concave sur D'={x de Df ; x<=x0} et
    b) f est convexe sur D"={x de Df ; x>=x0}.

    Indice :
     Cliquez pour afficher


    On appelle I la famille des solutions admettant une tangente horizontale.
    5) Montrer que pour une fonction f de la famille I, il existe x1 et x2 tels que :
    a) f est croissante et convexe sur {x de D ; x<=x1} ;
    b) f est décroissante et concave sur [x1;x2] ;
    c) f est décroissante et convexe sur {x de D ; x>=x2}.

    Montrer que :
    5)' .

    On appelle S la famille des solutions f telles qu'il existe un couple (x,y) tel que f(x)=y, f"(x)=0 et f'(x)>0. Pour lesquestions 6), f désigne une fonction de cette famille.

    6) Montrer que f est croissante sur Df.

    6)' Il existe x0 tel que
    a) f est concave sur D'={x de Df ; x<=x0} ;
    b) f est convexe sur D"={x de Df ; x>=x0}.

    6)" Montrer que f admet deux tangentes verticales.
    Indice pour la "partie gauche"
     Cliquez pour afficher
    .

    Indice pour la "partie droite" :
     Cliquez pour afficher



    6)"' Montrer que f admet une deuxiè


    7) Montrer qu'une fonction de la famille I admet une tangente verticale. (On pourra utiliser 6)")


    8) Justifier que les familles I et S sont disjointes.

    8)' Montrer qu'une solution f de (E) pour laquelle il existe un couple (x,y) tel que y=f(x), f'(x)>0, et f"(x)>0 appartient à la famille S.

    8)" Montrer qu'une solution f de (E) définie en un réel x>=0 tel que appartient à la famille I.


    Existence et unicité d'une solution concave

    9) Montrer qu'une solution qui n'est dans I ni dans S est une fonction concave sur tout son domaine de définition ; et montrer qu'il en existe au moins une. Indice pour le 2ème partie :
     Cliquez pour afficher


    9)' Montrer qu'une telle solution est unique.

    Indice :
     Cliquez pour afficher


    9)" Montrer que cette unique solution admet une tangente verticale en une abscisse négative et .


    ---

    Merci à homotopie

    ---

    Romain

    -----

     


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