[Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]

kingloowy · 03/05/2005, 04h55

Bonjour,

Exercice intéressant et classique. Bonne idée de martini bird.
Deux points à préciser : l' IPP et le chgt de variable pour calcul d'intégrale.... ne sont plus au programme de TS... oui je sais, mais c'est ainsi....

**martini_bird** · 03/05/2005, 12h00

Envoyé par kingloowy

l' IPP et le chgt de variable pour calcul d'intégrale.... ne sont plus au programme de TS... oui je sais, mais c'est ainsi....

Salut,

le changement de variable n'est plus au programme depuis un moment, mais l'IPP l'est toujours. Il est néanmoins précisé que:

Envoyé par B.O

On se limitera à des cas simples où l'élève aura à trouver lui-même le recours à la technique d'intégration par parties.

Cordialement.

**martini_bird** · 03/05/2005, 12h07

Bonjour,

sur une remarque perspicace de matthias, la question 6) a été modifiée: vous lirez donc

Envoyé par martini_bird

6- Démontrer l'inégalité

$\text{[math]}$

au lieu de

Envoyé par martini_bird

6- Démontrer l'inégalité

$\text{[math]}$

Cordialement.

**doryphore** · 03/05/2005, 17h16

Envoyé par martini_bird

Bonjour,

sur une remarque perspicace de matthias, la question 6) a été modifiée: vous lirez donc

au lieu de

Cordialement.

Bien vu Matthias, il ne s'agirait pas d'oublier la moitié des rapports envisageables...
En tout cas belle adaptation du sujet, tout de même...

**matthias** · 03/05/2005, 17h27

Envoyé par doryphore

Bien vu Matthias, il ne s'agirait pas d'oublier la moitié des rapports envisageables...

ce n'était pas la raison principale.
Il y avait un risque que tout le monde essaye de calculer $\text{[math]}$ en utilisant les expressions démontrées par récurrence. Et ce n'est probablement pas une très bonne idée.

**g_h** · 03/05/2005, 20h01

Bon, je me lance pour le 4)

Les 2 égalités sont vraies pour n=1.

hypothèse de récurrence : les 2 égalités sont supposées vraies pour n quelconque fixé

$\text{[math]}$

On a montré au 3) que pour tout n > 0 :
$\text{[math]}$
On en déduit que :
$\text{[math]}$

De plus d'après (1) :
$\text{[math]}$
pour prouver l'hérédité il faut donc montrer que :
$\text{[math]}$

D'après (1) et (3) :
$\text{[math]}$
Et on se retrouve ainsi avec l'égalité (4). Donc puisque l'égalité (1) est vraie pour n, elle est vraie pour n+1, et par hérédité, (4) est vraie. Donc d'après l'axiôme de récurrence, (1) est vraie pour tout n>0

Je ne détaille pas trop pour l'autre, mais voici :
Pour prouver l'hérédité il faut montrer que
$\text{[math]}$

Or, d'après la question 3)
$\text{[math]}$

D'où l'hérédité, et donc les deux égalités sont vraies pour tout n>0

Une question : comment arrive-t-on à établir ces formules ??? Les prouver par récurrence une fois qu'on les a, c'est facile, mais les trouver, comment on fait ?

**Romain-des-Bois** · 03/05/2005, 20h20

Dis donc t'as appris vite le Latex !!!

Comment t'as fait ça ?

Bon c'est bien pour le 4. : pas d'erreur détectée, faut voir Matthias, Doryphore ou MartiniBird !

invite4b9cdbca · 03/05/2005, 20h30

Eh ! Allez moins vite ! Laissez une cance aux autres... ^^

Non ça va je déconne... Je suis content que certains pensent à nous...
Vraiment sympa, cet exercice.

Cordialement

Kron

**doryphore** · 03/05/2005, 20h40

Pour trouver ses formules, on procède par expérience. On calcule les premières intégrales, puis en se creusant un peu la tête (quelques heures ou jours de travail suivant l'inspiration), on conjecture une formule susceptible de coller aux résultats obtenus, puis les liens entre des termes consécutifs ou presque...enfin on démontre le lien entre u_n+2 et u_n et par récurrence, on démontre que la formule conjecturée est la bonne...

Ca doit se passer à peu près comme ça, ça commence par une étude systématique d'un certain type d'intégrales.

Sinon, pour l'initialisation pourquoi avoir pris n=1, ça t'oblige à calculer u_3

**matthias** · 03/05/2005, 20h43

Envoyé par doryphore

Sinon, pour l'initialisation pourquoi avoir pris n=1, ça t'oblige à calculer u_3

C'est peut-être une hésitation devant un 0! ?

Par convention on a 0! = 1
On peut donc vérifier que les formules sont aussi valables pour n = 0

**g_h** · 03/05/2005, 20h55

Une méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient !

Sinon, pour l'initialisation, hé bien c'est vrai, je ne sais pas pourquoi j'ai pris 1... enfin tant pis, ça ne change pas grand chose.

Sinon, pour la 5)
Je décompose en 2 cas : n pair ou n impair :

- n est pair :
Au lieu de montrer que n.U_n.U_n-1 = $\text{[math]}$ pour n>0, je montre que (n+1).U_n+1.U_n = $\text{[math]}$ pour tout n >= 0, ce qui revient au même.

Comme n est pair, je peux poser n = 2n', avec n' entier naturel

$\text{[math]}$ (j'utilise les expressions démontrées au 4)

C'est OK pour n pair.

- n est impair
Je pose n = 2n'+1, n' entier naturel

$\text{[math]}$

**doryphore** · 03/05/2005, 20h57

0!=1 rend bien compte aussi du nombre de bijection du vide dans le vide.

Mais, je ne vois pas trop d'inconvénients pour dire que cette bijection du vide dans le vide a aussi un caractère conventionnel.

**doryphore** · 03/05/2005, 21h01

Envoyé par g_h

Une méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient !

C'est la recherche... Beaucoup de résultats proviennent de recherche "à tatons" plus ou moins inspirées...

**martini_bird** · 04/05/2005, 00h07

Envoyé par g_h

Une méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient ![/TEX]

Salut,

il y a néanmoins une méthode pour ce type de problème: u_n vérifie la relation

$\text{[math]}$

Donc u_n-2 vérifie:

$\text{[math]}$

et en réinjectant cette expressions dans celle de u_n :

$\text{[math]}$

On peut ainsi continuer et remplacer u_n-4 par son expression en u_n-6, etc.

En itérant k fois le procédé, on aboutit à l'expression suivante de u_n:

$\text{[math]}$

Supposons que n soit pair: n=2m. Prenons alors k=m dans la formule et ainsi:
$\text{[math]}$

C'est dans ces termes que l'aurait écrit Wallis.

Désormais, comment parvenir à la formule avec les factorielles?

Hé bien, remarquons que le numérateur peut s'écrire $\text{[math]}$ de sorte que u_m vaut:
$\text{[math]}$

Mais factorisons 2 dans chaque facteur de $\text{[math]}$ : cette expression vaut donc
$\text{[math]}$

Le travail est maintenant achevé, car:
$\text{[math]}$

Pour u_n avec n impair, on procède bien sûr de la même manière.

Cordialement.

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 12h10

Pour la 6/ j'ai trouvé ça :

On pose 2n=k
La suite (U_n) est décroissante et positive, donc U_k+1 > U_k+2

or Un>0 donc on a U_k+1/U_k > U_k+2/U_k

Ainsi U_k/(U_k+1 < U_k/U_k+2 or, U_k/U_k+2 = (k + 2)/(k + 1)

D'où U_k/U_k+1 < (k+2)/(k+1)

De plus, (k+2)/(k+1) < (k+1)/k

Donc U_k/U_k+1 < (k+1)/k

On obtient donc finalement :

1 < U_k/U_k+1 < (k+1)/k

d'où 1 < U_2n/U_2n+1 < 1 + 1/2n

CQFD

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 12h17

Pour la 7/, on montre que lim 2/n = 0

d'où lim 1 + 2/n = 1

Or, Pour tout n, 1 < U_2n/U_2n+1 < 1 + 2/n

Donc U_2n/U_2n+1 = lim 1 = lim 1 + 2/n

D'où U_2n/U_2n+1 = 1

**doryphore** · 04/05/2005, 12h27

Je suis entièrement d'accord avec la réponse de la question 6/

Pour la question 7, il doit y a voir une erreur d'étourderie dans la conclusion...

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 12h41

Oui exact... Je me suis un peu empressé...

Je reprends la fin :

lim U_2n/U_2n+1 = lim 1 = lim 1 + 2/n

d'où lim U_2n/U_2n+1 = 1

J'avais oublié les limites ^^

Kron

PS : Je travaille sur la 8... Mais le racine de pi me pose un léger problème... Non non dites rien, je trouverai ! La niac !

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 13h45

Bon je ne vois vraiment pas comment introduire ce $\text{[math]}$ dans les limites étudiées précédemment... Un petit indice ?

**matthias** · 04/05/2005, 14h23

Tu as calculé $\text{[math]}$ ?

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 14h38

Envoyé par matthias

Tu as calculé $\text{[math]}$ ?

Oui j'ai trouvé ceci :

$\text{[math]}$

Mais de là, je ne vois pas trop comment passer aux limites...

**matthias** · 04/05/2005, 14h43

Envoyé par kron

Oui j'ai trouvé ceci :

$\text{[math]}$

Mais de là, je ne vois pas trop comment passer aux limites...

Bon alors déjà, si tu compares avec l'expression à obtenir, tu vois que tu as $\text{[math]}$ et qu'il faut obtenir $\text{[math]}$ , tu as un $\text{[math]}$ et il faut obtenir un $\text{[math]}$ , tu as un $\text{[math]}$ et il faut obtenir un $\text{[math]}$ ...

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 14h51

Ben en fait je l'ai fait aussi (isoler le pi) mais je trouve ça :

$\text{[math]}$

Mais je ne suis pa sûr du résultat... Me suis-je trompé ? Si non, je ne vois ps comment faire apparaître après le $\text{[math]}$

**matthias** · 04/05/2005, 14h55

Envoyé par kron

$\text{[math]}$

Je ne comprends pas comment tu trouves ça.
Il ne te manquerait pas quelques racines carrées ?

invitefffb8ef1 · 04/05/2005, 15h08

hé doucement je suis encore a la question 2 (je viens d'arriver). Alors pour la 2 est ce qu'il faut calculer Un+1 - Un?

**matthias** · 04/05/2005, 15h25

Envoyé par baryon

hé doucement je suis encore a la question 2 (je viens d'arriver). Alors pour la 2 est ce qu'il faut calculer Un+1 - Un?

La réponse est dans le fil.
Tu peux utiliser Un+1 - Un ou comparer les deux directement en comparant les fonctions sous l'intégrale.

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 15h55

Envoyé par kron

Ben en fait je l'ai fait aussi (isoler le pi) mais je trouve ça :

$\text{[math]}$

Mais je ne suis pa sûr du résultat... Me suis-je trompé ? Si non, je ne vois ps comment faire apparaître après le $\text{[math]}$

Ben en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :

$\text{[math]}$

Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?

**matthias** · 04/05/2005, 16h10

Envoyé par kron

Ben en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :

$\text{[math]}$

Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?

On avance

Maintenant tu peux faire apparaître artificiellement un racine carrée de n, et voir ce que ça donne sur ta racine carrée de 2n+1. Et n'oublies pas que tu ne cherches pas une égalité, mais une limite.

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 16h23

Envoyé par kron

Ben en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :

$\text{[math]}$

Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?

Est ce que je peux faire ça :

$\text{[math]}$

or, $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

de plus, $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

De plus, $\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$

CQFD.

Edit : Même si c'est faux, je suis content en quelques posts j'ai appris à utiliser le latex... pas mal !

**matthias** · 04/05/2005, 16h35

Envoyé par kron

Est ce que je peux faire ça :
or, $\text{[math]}$

Non.
Par contre tu peux dire:
$\text{[math]}$

Ensuite le plus simple, c'est de partir de l'expression dont tu cherches la limite, pas de la limite elle-même.

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