Bonjour,
Exercice intéressant et classique. Bonne idée de martini bird.
Deux points à préciser : l' IPP et le chgt de variable pour calcul d'intégrale.... ne sont plus au programme de TS... oui je sais, mais c'est ainsi....
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Bonjour,
Exercice intéressant et classique. Bonne idée de martini bird.
Deux points à préciser : l' IPP et le chgt de variable pour calcul d'intégrale.... ne sont plus au programme de TS... oui je sais, mais c'est ainsi....
Salut,Envoyé par kingloowyl' IPP et le chgt de variable pour calcul d'intégrale.... ne sont plus au programme de TS... oui je sais, mais c'est ainsi....
le changement de variable n'est plus au programme depuis un moment, mais l'IPP l'est toujours. Il est néanmoins précisé que:
Cordialement.Envoyé par B.OOn se limitera à des cas simples où l'élève aura à trouver lui-même le recours à la technique d'intégration par parties.
Bonjour,
sur une remarque perspicace de matthias, la question 6) a été modifiée: vous lirez donc
au lieu deEnvoyé par martini_bird6- Démontrer l'inégalité
Cordialement.Envoyé par martini_bird6- Démontrer l'inégalité
Bien vu Matthias, il ne s'agirait pas d'oublier la moitié des rapports envisageables...Envoyé par martini_birdBonjour,
sur une remarque perspicace de matthias, la question 6) a été modifiée: vous lirez donc
au lieu de
Cordialement.
En tout cas belle adaptation du sujet, tout de même...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
ce n'était pas la raison principale.Envoyé par doryphoreBien vu Matthias, il ne s'agirait pas d'oublier la moitié des rapports envisageables...
Il y avait un risque que tout le monde essaye de calculer en utilisant les expressions démontrées par récurrence. Et ce n'est probablement pas une très bonne idée.
Bon, je me lance pour le 4)
Les 2 égalités sont vraies pour n=1.
hypothèse de récurrence : les 2 égalités sont supposées vraies pour n quelconque fixé
On a montré au 3) que pour tout n > 0 :
On en déduit que :
De plus d'après (1) :
pour prouver l'hérédité il faut donc montrer que :
D'après (1) et (3) :
Et on se retrouve ainsi avec l'égalité (4). Donc puisque l'égalité (1) est vraie pour n, elle est vraie pour n+1, et par hérédité, (4) est vraie. Donc d'après l'axiôme de récurrence, (1) est vraie pour tout n>0
Je ne détaille pas trop pour l'autre, mais voici :
Pour prouver l'hérédité il faut montrer que
Or, d'après la question 3)
D'où l'hérédité, et donc les deux égalités sont vraies pour tout n>0
Une question : comment arrive-t-on à établir ces formules ??? Les prouver par récurrence une fois qu'on les a, c'est facile, mais les trouver, comment on fait ?
Dernière modification par g_h ; 03/05/2005 à 20h06.
Dis donc t'as appris vite le Latex !!!
Comment t'as fait ça ?
Bon c'est bien pour le 4. : pas d'erreur détectée, faut voir Matthias, Doryphore ou MartiniBird !
Eh ! Allez moins vite ! Laissez une cance aux autres... ^^
Non ça va je déconne... Je suis content que certains pensent à nous...
Vraiment sympa, cet exercice.
Cordialement
Kron
Pour trouver ses formules, on procède par expérience. On calcule les premières intégrales, puis en se creusant un peu la tête (quelques heures ou jours de travail suivant l'inspiration), on conjecture une formule susceptible de coller aux résultats obtenus, puis les liens entre des termes consécutifs ou presque...enfin on démontre le lien entre u_n+2 et u_n et par récurrence, on démontre que la formule conjecturée est la bonne...
Ca doit se passer à peu près comme ça, ça commence par une étude systématique d'un certain type d'intégrales.
Sinon, pour l'initialisation pourquoi avoir pris n=1, ça t'oblige à calculer u_3
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
C'est peut-être une hésitation devant un 0! ?Envoyé par doryphoreSinon, pour l'initialisation pourquoi avoir pris n=1, ça t'oblige à calculer u_3
Par convention on a 0! = 1
On peut donc vérifier que les formules sont aussi valables pour n = 0
Une méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient !
Sinon, pour l'initialisation, hé bien c'est vrai, je ne sais pas pourquoi j'ai pris 1... enfin tant pis, ça ne change pas grand chose.
Sinon, pour la 5)
Je décompose en 2 cas : n pair ou n impair :
- n est pair :
Au lieu de montrer que n.Un.Un-1 = pour n>0, je montre que (n+1).Un+1.Un = pour tout n >= 0, ce qui revient au même.
Comme n est pair, je peux poser n = 2n', avec n' entier naturel
(j'utilise les expressions démontrées au 4)
C'est OK pour n pair.
- n est impair
Je pose n = 2n'+1, n' entier naturel
Dernière modification par g_h ; 03/05/2005 à 20h57.
0!=1 rend bien compte aussi du nombre de bijection du vide dans le vide.
Mais, je ne vois pas trop d'inconvénients pour dire que cette bijection du vide dans le vide a aussi un caractère conventionnel.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
C'est la recherche... Beaucoup de résultats proviennent de recherche "à tatons" plus ou moins inspirées...Envoyé par g_hUne méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient !
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Salut,Envoyé par g_hUne méthode "à tâtons" ? Hé bien, il faut être patient ![/TEX]
il y a néanmoins une méthode pour ce type de problème: un vérifie la relation
Donc un-2 vérifie:
et en réinjectant cette expressions dans celle de un :
On peut ainsi continuer et remplacer un-4 par son expression en un-6, etc.
En itérant k fois le procédé, on aboutit à l'expression suivante de un:
Supposons que n soit pair: n=2m. Prenons alors k=m dans la formule et ainsi:
C'est dans ces termes que l'aurait écrit Wallis.
Désormais, comment parvenir à la formule avec les factorielles?
Hé bien, remarquons que le numérateur peut s'écrire de sorte que um vaut:
Mais factorisons 2 dans chaque facteur de : cette expression vaut donc
Le travail est maintenant achevé, car:
Pour un avec n impair, on procède bien sûr de la même manière.
Cordialement.
Pour la 6/ j'ai trouvé ça :
On pose 2n=k
La suite (Un) est décroissante et positive, donc Uk+1 > Uk+2
or Un>0 donc on a Uk+1/Uk > Uk+2/Uk
Ainsi Uk/(Uk+1 < Uk/Uk+2 or, Uk/Uk+2 = (k + 2)/(k + 1)
D'où Uk/Uk+1 < (k+2)/(k+1)
De plus, (k+2)/(k+1) < (k+1)/k
Donc Uk/Uk+1 < (k+1)/k
On obtient donc finalement :
1 < Uk/Uk+1 < (k+1)/k
d'où 1 < U2n/U2n+1 < 1 + 1/2n
CQFD
Pour la 7/, on montre que lim 2/n = 0
d'où lim 1 + 2/n = 1
Or, Pour tout n, 1 < U2n/U2n+1 < 1 + 2/n
Donc U2n/U2n+1 = lim 1 = lim 1 + 2/n
D'où U2n/U2n+1 = 1
Je suis entièrement d'accord avec la réponse de la question 6/
Pour la question 7, il doit y a voir une erreur d'étourderie dans la conclusion...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Oui exact... Je me suis un peu empressé...
Je reprends la fin :
lim U2n/U2n+1 = lim 1 = lim 1 + 2/n
d'où lim U2n/U2n+1 = 1
J'avais oublié les limites ^^
Kron
PS : Je travaille sur la 8... Mais le racine de pi me pose un léger problème... Non non dites rien, je trouverai ! La niac !
Bon je ne vois vraiment pas comment introduire ce dans les limites étudiées précédemment... Un petit indice ?
Tu as calculé ?
Oui j'ai trouvé ceci :Envoyé par matthiasTu as calculé ?
Mais de là, je ne vois pas trop comment passer aux limites...
Bon alors déjà, si tu compares avec l'expression à obtenir, tu vois que tu as et qu'il faut obtenir , tu as un et il faut obtenir un , tu as un et il faut obtenir un ...Envoyé par kronOui j'ai trouvé ceci :
Mais de là, je ne vois pas trop comment passer aux limites...
Ben en fait je l'ai fait aussi (isoler le pi) mais je trouve ça :
Mais je ne suis pa sûr du résultat... Me suis-je trompé ? Si non, je ne vois ps comment faire apparaître après le
Je ne comprends pas comment tu trouves ça.Envoyé par kron
Il ne te manquerait pas quelques racines carrées ?
hé doucement je suis encore a la question 2 (je viens d'arriver). Alors pour la 2 est ce qu'il faut calculer Un+1 - Un?
La réponse est dans le fil.Envoyé par baryonhé doucement je suis encore a la question 2 (je viens d'arriver). Alors pour la 2 est ce qu'il faut calculer Un+1 - Un?
Tu peux utiliser Un+1 - Un ou comparer les deux directement en comparant les fonctions sous l'intégrale.
Ben en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :Envoyé par kronBen en fait je l'ai fait aussi (isoler le pi) mais je trouve ça :
Mais je ne suis pa sûr du résultat... Me suis-je trompé ? Si non, je ne vois ps comment faire apparaître après le
Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?
On avanceEnvoyé par kronBen en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :
Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?
Maintenant tu peux faire apparaître artificiellement un racine carrée de n, et voir ce que ça donne sur ta racine carrée de 2n+1. Et n'oublies pas que tu ne cherches pas une égalité, mais une limite.
Est ce que je peux faire ça :Envoyé par kronBen en fait oui je me suis plantouillé, j'ai dû oublié quelques racines... J'arrive cependant au résultat suivant :
Mais ça ne m'avance pas beaucoup... Me serais je trompé au niveau des factorielles et puissances ?
or,
Donc
de plus,
donc
d'où
De plus,
D'où
CQFD.
Edit : Même si c'est faux, je suis content en quelques posts j'ai appris à utiliser le latex... pas mal !
Non.Envoyé par kronEst ce que je peux faire ça :
or,
Par contre tu peux dire:
Ensuite le plus simple, c'est de partir de l'expression dont tu cherches la limite, pas de la limite elle-même.