[Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 16h59

Bon nouvel essai :

$\text{[math]}$

d'où : $\text{[math]}$

ainsi, on a :

d'où : $\text{[math]}$

de plus, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

invitec314d025 · 04/05/2005, 17h05

Tu nous refais la même sans oublier de racines carrées, en faisant bien attention aux exposants, et en rajoutant des quelques parenthèses ?
Je pense que le raisonnement est là, mais ce que tu as écrit est faux.
Il est facile d'oublier des éléments quand on écrit des grosses expressions en LaTeX.

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 17h21

Bon effectivement, j'ai fait quelques oublis ^^

$\text{[math]}$

on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine de n, qui n'est pas nul, pour obtenir :

$\text{[math]}$

ainsi, on a :

d'où : $\text{[math]}$

de plus, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

On en déduit finalement que

$\text{[math]}$

Pfiu, j'espère que c'est bon, cette fois-ci... Sinon, bah... j'aurais plus qu'à recommencer

Kron

invitefffb8ef1 · 04/05/2005, 17h34

bah c'est la honte mais je suis toujours au 2)

J'arrive à $\text{[math]}$

Maintenant comment je retrouve mon $\text{[math]}$

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 17h41

Envoyé par baryon

bah c'est la honte mais je suis toujours au 2)

J'arrive à $\text{[math]}$

Maintenant comment je retrouve mon $\text{[math]}$

Tu n'as pas pris les bonnes fonctions à intégrer par parties, c'est balaud !

Il suffit de décomposer sin^(n+2) x et essayer à chaque fois, on finit par tomber sur un résultat satisfaisant...

Bon courage

Kron

invitec314d025 · 04/05/2005, 18h07

Envoyé par baryon

bah c'est la honte mais je suis toujours au 2)

J'arrive à $\text{[math]}$

Maintenant comment je retrouve mon $\text{[math]}$

C'est la 2 ou la 3 que tu essaye de résoudre ?
Si c'est la 2 (la décroissance), il ne faut surtout pas se lancer dans une intégration.
Si c'est la 3:
j'ai l'impression que tu as fait une erreur en dérivant $\text{[math]}$

Pour Kron, relis tes calculs lentement. Tu es parti de la formule où tu avais fait une erreur. Reprends à partir du message #57.

**g_h** · 04/05/2005, 18h08

Bravo kron ! En tous cas ça m'a l'air d'être ok (edit : ah béh non, si matthias le dit... !)

Plus que la question bonus... !

(passionnant cet exo, merci martini_bird ! si tu as un autre exo sur la formule de Stirling...

)

invitec314d025 · 04/05/2005, 18h12

Envoyé par g_h

Bravo kron ! En tous cas ça m'a l'air d'être ok (edit : ah béh non, si matthias le dit... !)

Plus que la question bonus... !

(passionnant cet exo, merci martini_bird ! si tu as un autre exo sur la formule de Stirling...

)

désolé de jouer les rabat-joie, on y est presque, mais ce n'est pas encore ça.
Le raisonnement y est mais il faudrait partir de la formule du message #57

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 18h43

La relation que j'ai trouvé au post #57 est elle correcte ?

$\text{[math]}$

Je ne vois pas vraiment où est l'erreur... Argh...

invitec314d025 · 04/05/2005, 18h54

Envoyé par kron

La relation que j'ai trouvé au post #57 est elle correcte ?

$\text{[math]}$

Je ne vois pas vraiment où est l'erreur... Argh...

Cette formule est bonne.
Mais ce n'est pas celle que tu as utilisé dans le message #63 !!!

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 19h16

Ah ouais ! j'ai compris ! Erreur bête... C'est pourquoi je ne la voyais pas

$\text{[math]}$

on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine de n, qui n'est pas nul, pour obtenir :

$\text{[math]}$

ainsi, on a :

d'où : $\text{[math]}$

de plus, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

On en déduit finalement que

$\text{[math]}$

Bon là j'espère que c'est bon, qu'il n'y a plus de fautes...

**g_h** · 04/05/2005, 19h20

Il me semble que tu as oublié une racine (pour U_2n/U_2n+1) (EDIT : je suis trop lent

)

Bon j'essaye de refaire sans regarder le message de kron, peut-être que l'erreur va s'en aller sans que je m'en aperçoive... :

$\text{[math]}$

D'où :

$\text{[math]}$

Les limites des 2 racines sont 1 donc... c'est ok ?

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 19h23

Hehe dommage g_h un poil trop lent

Bon on se tente la 9) ? j'ai commencé c'est pas gateau... En fait je sais pas comment partir. Tu as une idée ?

Kron

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 19h33

*9 (bonus)- Dans l'oeuvre de Wallis, (Arithmetica Infinitorum, 1656), la formule est écrite sous la forme

$\text{[math]}$

Sauriez-vous démontrer qu'il s'agit bien de la formule de la question 8?

Hmmm... Je suppose que ce sont des virgules, et non un produit de deux entiers, sur les fractions ?

**g_h** · 04/05/2005, 19h38

EDIT : non, il me semble que ça veut dire "multiplier" et non "virgule"

Sinon, la formule avec la suite de nombres se décompose en un produit infini :

Si tu fais le calcul, tu vas trouver que la suite qu'a écrit martini_bird s'écrit en fait :
$\text{[math]}$

Apparemment on peut décomposer le produit en puissances de 2 et en factorielles... je vais chercher de ce côté

**g_h** · 04/05/2005, 19h43

Pour le numérateur, ça vaut (comme par hasard

) $\text{[math]}$ avec n qui tend vers $\text{[math]}$

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 19h58

Hmm... on a :

$\text{[math]}$

Donc on devrait avoir, à moins que je ne me trompe (encore ^^)

$\text{[math]}$

Non ? Bon bah je vais partir par là plutôt... on se rejoint à la solution, g_h ?

**g_h** · 04/05/2005, 20h07

Ok

Bon, je pense avoir démontré que la suite de martini_bird vaut :

$\text{[math]}$

Je vais essayer de décoincer ça...

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 20h19

Peux- tu m'éxpliquer un peu ? Moi je dois avouer que je tourne en rond depuis tout à l'heure... Comme un poisson dans un bocal ^^

Non plus sérieusement, je n'y arrive vraiment pas, je vois pas trop comment factoriser le dénominateur.

**g_h** · 04/05/2005, 20h24

Oups, en fait, je me suis planté dans le post précédent...

J'étais parti du fait que ((2n-1)(2n+1))! = (2n-1)!(2n+1)!, ce qui est faux évidemment...

**doryphore** · 04/05/2005, 20h30

Envoyé par g_h

Ok

Bon, je pense avoir démontré que la suite de martini_bird vaut :

$\text{[math]}$

Je vais essayer de décoincer ça...

Je ne pense pas qu'il soit utile de revenir à la suite $\text{[math]}$

invitec314d025 · 04/05/2005, 20h35

Envoyé par doryphore

Je ne pense pas qu'il soit utile de revenir à la suite $\text{[math]}$

Si, on a aussi une solution simple en réutilisant U2n+1/U2n
Mais l'expression obtenue est beaucoup plus simple que celle trouvée par g_h

Essayez d'exprimer les produits:
$\text{[math]}$
en fonction, respectivement, de (2n)! et (2n+1)!

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 20h36

Un peu d'aide, messieurs ? siouplé ! juste une piste, pour nous dire si on est sur la bonne voie ou pas...

Edit : lool juste au moment où... ^^

**doryphore** · 04/05/2005, 20h50

Envoyé par matthias

Si, on a aussi une solution simple en réutilisant U2n+1/U2n
Mais l'expression obtenue est beaucoup plus simple que celle trouvée par g_h

Essayez d'exprimer les produits:
$\text{[math]}$
en fonction, respectivement, de (2n)! et (2n+1)!

On peut les exprimer aussi uniquement en fonction de (2n)! par exemple, ça nous rapproche de l'expression du post #77.

**g_h** · 04/05/2005, 20h51

Oui, ces 2 produits c'est ce que l'on cherchait à faire justement, pour factoriser ce fichu dénominateur !

Je pense que j'en ai un (trouvé plus ou moins à tâtons... !)

$\text{[math]}$

L'autre ne doit pas être bien différent...

**doryphore** · 04/05/2005, 20h54

C'est ça, l'autre est en effet très proche....

**g_h** · 04/05/2005, 20h56

Hop :

$\text{[math]}$

Ca devrait aller mieux... !

**doryphore** · 04/05/2005, 20h58

Ecris la plutôt avec (2n!), tu as tout à y gagner... enfin selon moi!

**g_h** · 04/05/2005, 21h01

En faisant le produit des 2, ça se simplifie, on trouve ainsi :

$\text{[math]}$

Je continue...

invite4b9cdbca · 04/05/2005, 21h02

Envoyé par g_h

Hop :

$\text{[math]}$

Ca devrait aller mieux... !

Hmmm j'ai peur de mal comprendre ce signe... c'est un produit, non ? Est ce que quelqu'un pourrait détailler un peu le calcul pour moi ?

Merci

Kron

PS : kron, complètement larguépour la dernière... dommage il était bien parti

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