[Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]

**martini_bird** · 02/05/2005, 09h49

Bonjour,

dans le cadre de vos révisions pour le Bac, je vous soumets un problème dont l'objet est la démonstration de la formule de Wallis. C'est une adaptation d'un exercice classique de sup mais les questions font appel à diverses parties du programme de TS. Ce problème est relativement difficile, mais des indices seront divulgués au fur et à mesure. Les étoiles (*) correspondent aux questions délicates.

A l'aide de cette formule, vous pourrez démontrer dans un autre problème la formule de Stirling¹ .

Soit $\text{[math]}$ la suite définie pour tout n par:

$\text{[math]}$

1- Montrer que pour tout $\text{[math]}$ , u_n>0.

2- Montrer que la suite (u_n) est décroissante.

* 3- A l'aide d'une intégration par partie, exprimer u_n+2 en fonction de u_n.

4- En déduire par récurrence que:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

5- Démontrer que pour tout n>0:

$\text{[math]}$

6- Démontrer l'inégalité

$\text{[math]}$

7- En déduire que

$\text{[math]}$

*8- Prouver la formule de Wallis:

$\text{[math]}$

*9 (bonus)- Dans l'oeuvre de Wallis, (Arithmetica Infinitorum, 1656), la formule est écrite sous la forme

$\text{[math]}$

Sauriez-vous démontrer qu'il s'agit bien de la formule de la question 8?

Bon courage!

______________________________ ______________________________ ___________________________

1. La formule de Stirling fournit une estimation asymptotique de la factorielle:

$\text{[math]}$

**matthias** · 02/05/2005, 18h42

Pas de Terminale pour se lancer ?

**g_h** · 02/05/2005, 18h52

Si, je suis en train d'essayer, mais c'est franchement pas évident... ! (par contre je ne suis pas sur de connaître toutes les propriétés des intégrales)

Pour la 3, j'essaye dans tous les sens, je ne trouve pas...
Je trouve juste que U_n+2 = U_n - (intégrale de 0 à pi/2 de -sinⁿ(x).cos²(x) ) mais c'est pas quelque chose de très simplifié je pense...

En tous cas merci pour ce problème, et autant dire que la correction m'intéresse beaucoup (pas pour l'instant hein

)

**matthias** · 02/05/2005, 19h00

Envoyé par g_h

Pour la 3, j'essaye dans tous les sens, je ne trouve pas...
Je trouve juste que U_n+2 = U_n - (intégrale de 0 à pi/2 de -sinⁿ(x).cos²(x) ) mais c'est pas quelque chose de très simplifié je pense...

Tu as visiblement utilisé sin² + cos² = 1.
Essaie plutôt une intégration par partie d'abord.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Gwyddon** · 02/05/2005, 19h38

salut à tous,

Je voulais juste signaler qu'il y a encore peu (3-4 ans) cet exercice était présent dans les livres de maths de TS, donc un exercice parfait pour réviser, et si vous bloquez vraiment, vous trouverez sans doute des indications dans ces livres (en sus de martini_bird, bien sûr

)

**Romain-des-Bois** · 02/05/2005, 19h56

je le dis maintenant : pour tout n dans N,
sin (x) est positif sur [0;Pi/2]
donc sin(x) ^n l'est aussi (n positif)
donc on bosse sur l'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle
donc un est positive

excuse me please Latex drives me crazy !

**Romain-des-Bois** · 02/05/2005, 20h00

(avant c'était le 1.)

2.
la je sais pas trop comment faire :
je propose mais je détaille pas :

je cherche le maximum de sin(x)^n sur l'intervalle.
il est en fonction de n
facilement : plus n grandit, plus le maximum diminue, comme la fonction est strictement croissante sur l'intervalle (et positive mais pas strictement), l'aire du domaine associé à la courbe diminue quand n grandit

c'est pas rigoureux, mais ... on y arrive !

donc un diminue quand n augmente, la suite est décroissante !

**Romain-des-Bois** · 02/05/2005, 20h02

3. avec une IPP ???

**doryphore** · 02/05/2005, 20h03

1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

Comment montrer que l'inégalité est stricte ?

**g_h** · 02/05/2005, 20h05

Pour le 2, il suffit de regarder U_n+1-U_n
On se retrouve avec l'intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ(x)(sin(x)-1) qui est négative (intégrale d'une fonction négative (au sens large) sur [0; pi/2] )

**Romain-des-Bois** · 02/05/2005, 20h06

Envoyé par Doryphore

1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

Comment montrer que l'inégalité est stricte ?

Je suis d'accord.

Pour l'IPP (enfin la 3) j'ai trouvé je crois, mais c'est un peu ch..nt d'écrire sur pc les formules

Quelqu'un corrige ?

Pourquoi dans le titre : BacS + ???

Bonne initiative

[EDIT : mon + se met pas en gras ??? c'est le + qui est important dans ma question ! pourquoi ce plus alors ?]

**doryphore** · 02/05/2005, 20h10

Envoyé par g_h

Pour le 2, il suffit de regarder U_n+1-U_n
On se retrouve avec l'intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ(x)(sin(x)-1) qui est négative (intégrale d'une fonction négative (au sens large) sur [0; pi/2] )

D'accord avec toi !

**GuYem** · 02/05/2005, 20h22

Envoyé par doryphore

1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

Comment montrer que l'inégalité est stricte ?

L'inégalité est stricte car la fonction est continue, positive et qu'elle prend au moins une fois une valeur positive.

**g_h** · 02/05/2005, 20h22

Il y a un + parce qu'on aura pas ce genre d'exo au bac (c'est au dessus du niveau du bac quand même)
Pour le 3), je n'y arrive pas, je me retrouve avec des expressions de dingue, et impossible de faire apparaître U_n

(on va dire que j'ai une excuse, j'ai pas encore fait l'intégration par partie en cours)

Est-ce qu'il faut intégrer directement sinⁿ⁺²(x) ?
Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinⁿ⁺¹(x))

Je sais intégrer x*cos(x), mais après ça part n'importe comment...

**doryphore** · 02/05/2005, 20h28

Envoyé par Romain29

je le dis maintenant : pour tout n dans N,
sin (x) est positif sur [0;Pi/2]
donc sin(x) ^n l'est aussi (n positif)
donc on bosse sur l'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle
donc un est positive

excuse me please Latex drives me crazy !

]tex] \sin(x) \geq 0 ]/tex] sur ]tex] [0;\frac {\pi} {2}] ]/tex] donc ]tex] \sin(x)^n ]/tex] l'est aussi en écrivant les deux crochets des tex à l'intérieur...

**doryphore** · 02/05/2005, 20h29

Envoyé par GuYem

L'inégalité est stricte car la fonction est continue, positive et qu'elle prend au moins une fois une valeur positive.

strictement.

**GuYem** · 02/05/2005, 20h31

Envoyé par doryphore

strictement.

Ah boudiou, t'as bien raison de me corriger!

**doryphore** · 02/05/2005, 20h33

Envoyé par g_h

Il y a un + parce qu'on aura pas ce genre d'exo au bac (c'est au dessus du niveau du bac quand même)
Pour le 3), je n'y arrive pas, je me retrouve avec des expressions de dingue, et impossible de faire apparaître U_n

(on va dire que j'ai une excuse, j'ai pas encore fait l'intégration par partie en cours)

Est-ce qu'il faut intégrer directement sinⁿ⁺²(x) ?
Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinⁿ⁺¹(x))

Je sais intégrer x*cos(x), mais après ça part n'importe comment...

Il faut écrire $\text{[math]}$ sous la forme d'un produit de deux fonctions mais ceci de façons intelligente afin de faire apparaître ce que l'on veut à l'issue de l'intégration par parties...

**matthias** · 02/05/2005, 20h37

Envoyé par doryphore

Il faut écrire $\text{[math]}$ sous la forme d'un produit de deux fonctions mais ceci de façons intelligente afin de faire apparaître ce que l'on veut à l'issue de l'intégration par parties...

et en l'occurence, ce n'est pas une super idée de faire apparaître un x, il vaut mieux rester dans la famille des sinus et cosinus.
Même si le résultat ne saute pas aux yeux, il faut essayer une intégration par partie la plus simple possible.

**doryphore** · 02/05/2005, 20h41

Oups, tu as raison, en plus, on risque de mélanger les objets... sin(x) est un nombre alors que le produit de deux fonctions est une fonction.

**matthias** · 02/05/2005, 20h47

Envoyé par doryphore

Oups, tu as raison, en plus, on risque de mélanger les objets... sin(x) est un nombre alors que le produit de deux fonctions est une fonction.

Héhé, je ne suis pas pointilleux à ce point.
Je parlais de ça:

Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinⁿ⁺¹(x))

**g_h** · 02/05/2005, 20h50

Ah, je crois que j'ai trouvé alors : on décompose sinⁿ⁺² en sinⁿ⁺¹*sin(x)
Au final ça donne U_n+2 = (n+1)*U_n - (n+1)*U_n+2

D'où U_n+2 = ((n+1)/(n+2))*U_n
Et ça à l'air de marcher... !

**matthias** · 02/05/2005, 20h53

Envoyé par g_h

Ah, je crois que j'ai trouvé alors : on décompose sinⁿ⁺² en sinⁿ⁺¹*sin(x)
Au final ça donne U_n+2 = (n+1)*U_n - (n+1)*U_n+2

D'où U_n+2 = ((n+1)/(n+2))*U_n
Et ça à l'air de marcher... !

Question 3 résolue

Peut-être pourrais-tu donner les détails.

**doryphore** · 02/05/2005, 20h55

]tex] int_{}^{} f(x) dx ]/tex] pour l'écriture des intégrales.

**g_h** · 02/05/2005, 21h01

C'est vrai, faudra que je me mettre sérieusement au latex un de ces jours !

U_n+2 = (intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ⁺²(x))
= (intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ⁺¹(x)*sin(x))

Pour l'intégration par partie, on intègre sin(x) et on dérive sinⁿ⁺¹(x)

= [-cos(x)*sinⁿ⁺¹(x)]₀^pi/2 - (intégrale de 0 à pi/2 de (n+1)*-cos²(x)*sinⁿ(x) )

= 0 - (intégrale de 0 à pi/2 de (n+1)*-cos²(x)*sinⁿ(x) )

= (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de cos²(x)*sinⁿ(x) )

= (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de (1-sin²(x))*sinⁿ(x) )

= (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ(x) - sinⁿ⁺²(x))

= (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ(x)) - (intégrale de 0 à pi/2 de sinⁿ⁺²(x)))

= (n+1)U_n - (n+1)U_n+2

D'où ce que j'ai écrit plus haut

(je vais m'entraîner au latex sur le forum de test

)

**doryphore** · 02/05/2005, 21h15

Envoyé par g_h

= (n+1)U_n - (n+1)U_n+2

Pas convaincu !!

**matthias** · 02/05/2005, 21h17

Envoyé par doryphore

Pas convaincu !!

pourquoi ?

**doryphore** · 02/05/2005, 21h20

J'avais oublié que l'autre membre n'était pas zéro.. Mea culpa

**g_h** · 02/05/2005, 21h20

Oups, j'ai oublié un (n+1) en facteur à ma 2eme intégrale à l'avant dernière ligne, si c'est le sens de ta remarque... ?

**doryphore** · 02/05/2005, 21h24

Non, mais ça n'a pas fait de mal on dirait...

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