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[Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]



  1. #1
    martini_bird

    Post [Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]


    ------

    Bonjour,

    dans le cadre de vos révisions pour le Bac, je vous soumets un problème dont l'objet est la démonstration de la formule de Wallis. C'est une adaptation d'un exercice classique de sup mais les questions font appel à diverses parties du programme de TS. Ce problème est relativement difficile, mais des indices seront divulgués au fur et à mesure. Les étoiles (*) correspondent aux questions délicates.

    A l'aide de cette formule, vous pourrez démontrer dans un autre problème la formule de Stirling1 .

    Soit la suite définie pour tout n par:

    1- Montrer que pour tout , un>0.

    2- Montrer que la suite (un) est décroissante.

    * 3- A l'aide d'une intégration par partie, exprimer un+2 en fonction de un.

    4- En déduire par récurrence que:





    5- Démontrer que pour tout n>0:



    6- Démontrer l'inégalité



    7- En déduire que



    *8- Prouver la formule de Wallis:
    *9 (bonus)- Dans l'oeuvre de Wallis, (Arithmetica Infinitorum, 1656), la formule est écrite sous la forme
    Sauriez-vous démontrer qu'il s'agit bien de la formule de la question 8?
    Bon courage!

    ______________________________ ______________________________ ___________________________

    1. La formule de Stirling fournit une estimation asymptotique de la factorielle:

    -----
    Dernière modification par martini_bird ; 03/05/2005 à 13h04. Motif: Modification de la question 6)

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  3. #2
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Pas de Terminale pour se lancer ?

  4. #3
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Si, je suis en train d'essayer, mais c'est franchement pas évident... ! (par contre je ne suis pas sur de connaître toutes les propriétés des intégrales)

    Pour la 3, j'essaye dans tous les sens, je ne trouve pas...
    Je trouve juste que Un+2 = Un - (intégrale de 0 à pi/2 de -sinn(x).cos²(x) ) mais c'est pas quelque chose de très simplifié je pense...

    En tous cas merci pour ce problème, et autant dire que la correction m'intéresse beaucoup (pas pour l'instant hein )

  5. #4
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par g_h
    Pour la 3, j'essaye dans tous les sens, je ne trouve pas...
    Je trouve juste que Un+2 = Un - (intégrale de 0 à pi/2 de -sinn(x).cos²(x) ) mais c'est pas quelque chose de très simplifié je pense...
    Tu as visiblement utilisé sin² + cos² = 1.
    Essaie plutôt une intégration par partie d'abord.

  6. #5
    Gwyddon

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    salut à tous,

    Je voulais juste signaler qu'il y a encore peu (3-4 ans) cet exercice était présent dans les livres de maths de TS, donc un exercice parfait pour réviser, et si vous bloquez vraiment, vous trouverez sans doute des indications dans ces livres (en sus de martini_bird, bien sûr )
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    je le dis maintenant : pour tout n dans N,
    sin (x) est positif sur [0;Pi/2]
    donc sin(x) ^n l'est aussi (n positif)
    donc on bosse sur l'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle
    donc un est positive

    excuse me please Latex drives me crazy !

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  10. #7
    Romain-des-Bois

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    (avant c'était le 1.)

    2.
    la je sais pas trop comment faire :
    je propose mais je détaille pas :

    je cherche le maximum de sin(x)^n sur l'intervalle.
    il est en fonction de n
    facilement : plus n grandit, plus le maximum diminue, comme la fonction est strictement croissante sur l'intervalle (et positive mais pas strictement), l'aire du domaine associé à la courbe diminue quand n grandit

    c'est pas rigoureux, mais ... on y arrive !

    donc un diminue quand n augmente, la suite est décroissante !

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    3. avec une IPP ???

  12. #9
    doryphore

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

    Comment montrer que l'inégalité est stricte ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Pour le 2, il suffit de regarder Un+1-Un
    On se retrouve avec l'intégrale de 0 à pi/2 de sinn(x)(sin(x)-1) qui est négative (intégrale d'une fonction négative (au sens large) sur [0; pi/2] )

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par Doryphore
    1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

    Comment montrer que l'inégalité est stricte ?
    Je suis d'accord.

    Pour l'IPP (enfin la 3) j'ai trouvé je crois, mais c'est un peu ch..nt d'écrire sur pc les formules

    Quelqu'un corrige ?

    Pourquoi dans le titre : BacS + ???

    Bonne initiative

    [EDIT : mon + se met pas en gras ??? c'est le + qui est important dans ma question ! pourquoi ce plus alors ?]
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 02/05/2005 à 21h09.

  15. #12
    doryphore

    Thumbs up Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par g_h
    Pour le 2, il suffit de regarder Un+1-Un
    On se retrouve avec l'intégrale de 0 à pi/2 de sinn(x)(sin(x)-1) qui est négative (intégrale d'une fonction négative (au sens large) sur [0; pi/2] )
    D'accord avec toi !
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    GuYem

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par doryphore
    1. Moi, je ne vois qu'une inégalité large là où on attend une inégalité stricte.

    Comment montrer que l'inégalité est stricte ?
    L'inégalité est stricte car la fonction est continue, positive et qu'elle prend au moins une fois une valeur positive.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #14
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Il y a un + parce qu'on aura pas ce genre d'exo au bac (c'est au dessus du niveau du bac quand même)
    Pour le 3), je n'y arrive pas, je me retrouve avec des expressions de dingue, et impossible de faire apparaître Un

    (on va dire que j'ai une excuse, j'ai pas encore fait l'intégration par partie en cours)

    Est-ce qu'il faut intégrer directement sinn+2(x) ?
    Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinn+1(x))

    Je sais intégrer x*cos(x), mais après ça part n'importe comment...

  19. #15
    doryphore

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par Romain29
    je le dis maintenant : pour tout n dans N,
    sin (x) est positif sur [0;Pi/2]
    donc sin(x) ^n l'est aussi (n positif)
    donc on bosse sur l'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle
    donc un est positive

    excuse me please Latex drives me crazy !

    ]tex] \sin(x) \geq 0 ]/tex] sur ]tex] [0;\frac {\pi} {2}] ]/tex] donc ]tex] \sin(x)^n ]/tex] l'est aussi en écrivant les deux crochets des tex à l'intérieur...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    doryphore

    Thumbs up Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par GuYem
    L'inégalité est stricte car la fonction est continue, positive et qu'elle prend au moins une fois une valeur positive.
    strictement.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  21. #17
    GuYem

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par doryphore
    strictement.
    Ah boudiou, t'as bien raison de me corriger!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  22. #18
    doryphore

    Smile Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par g_h
    Il y a un + parce qu'on aura pas ce genre d'exo au bac (c'est au dessus du niveau du bac quand même)
    Pour le 3), je n'y arrive pas, je me retrouve avec des expressions de dingue, et impossible de faire apparaître Un

    (on va dire que j'ai une excuse, j'ai pas encore fait l'intégration par partie en cours)

    Est-ce qu'il faut intégrer directement sinn+2(x) ?
    Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinn+1(x))

    Je sais intégrer x*cos(x), mais après ça part n'importe comment...
    Il faut écrire sous la forme d'un produit de deux fonctions mais ceci de façons intelligente afin de faire apparaître ce que l'on veut à l'issue de l'intégration par parties...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  24. #19
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par doryphore
    Il faut écrire sous la forme d'un produit de deux fonctions mais ceci de façons intelligente afin de faire apparaître ce que l'on veut à l'issue de l'intégration par parties...
    et en l'occurence, ce n'est pas une super idée de faire apparaître un x, il vaut mieux rester dans la famille des sinus et cosinus.
    Même si le résultat ne saute pas aux yeux, il faut essayer une intégration par partie la plus simple possible.

  25. #20
    doryphore

    Cool Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Oups, tu as raison, en plus, on risque de mélanger les objets... sin(x) est un nombre alors que le produit de deux fonctions est une fonction.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #21
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par doryphore
    Oups, tu as raison, en plus, on risque de mélanger les objets... sin(x) est un nombre alors que le produit de deux fonctions est une fonction.
    Héhé, je ne suis pas pointilleux à ce point.
    Je parlais de ça:
    Ça me donne du Pi/2 - (n+2)(intégrale de 0 à pi/2 de x*cos(x)*sinn+1(x))

  27. #22
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Ah, je crois que j'ai trouvé alors : on décompose sinn+2 en sinn+1*sin(x)
    Au final ça donne Un+2 = (n+1)*Un - (n+1)*Un+2

    D'où Un+2 = ((n+1)/(n+2))*Un
    Et ça à l'air de marcher... !

  28. #23
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par g_h
    Ah, je crois que j'ai trouvé alors : on décompose sinn+2 en sinn+1*sin(x)
    Au final ça donne Un+2 = (n+1)*Un - (n+1)*Un+2

    D'où Un+2 = ((n+1)/(n+2))*Un
    Et ça à l'air de marcher... !
    Question 3 résolue
    Peut-être pourrais-tu donner les détails.

  29. #24
    doryphore

    Smile Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    ]tex] int_{}^{} f(x) dx ]/tex] pour l'écriture des intégrales.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  31. #25
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    C'est vrai, faudra que je me mettre sérieusement au latex un de ces jours !

    Un+2 = (intégrale de 0 à pi/2 de sinn+2(x))
    = (intégrale de 0 à pi/2 de sinn+1(x)*sin(x))

    Pour l'intégration par partie, on intègre sin(x) et on dérive sinn+1(x)

    = [-cos(x)*sinn+1(x)]0pi/2 - (intégrale de 0 à pi/2 de (n+1)*-cos²(x)*sinn(x) )

    = 0 - (intégrale de 0 à pi/2 de (n+1)*-cos²(x)*sinn(x) )

    = (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de cos²(x)*sinn(x) )

    = (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de (1-sin²(x))*sinn(x) )

    = (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de sinn(x) - sinn+2(x))

    = (n+1)(intégrale de 0 à pi/2 de sinn(x)) - (intégrale de 0 à pi/2 de sinn+2(x)))

    = (n+1)Un - (n+1)Un+2

    D'où ce que j'ai écrit plus haut

    (je vais m'entraîner au latex sur le forum de test )
    Dernière modification par g_h ; 02/05/2005 à 22h04.

  32. #26
    doryphore

    Talking Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par g_h

    = (n+1)Un - (n+1)Un+2
    Pas convaincu !!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  33. #27
    matthias

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Citation Envoyé par doryphore
    Pas convaincu !!
    pourquoi ?

  34. #28
    doryphore

    Thumbs down Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    J'avais oublié que l'autre membre n'était pas zéro.. Mea culpa
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  35. #29
    g_h

    Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Oups, j'ai oublié un (n+1) en facteur à ma 2eme intégrale à l'avant dernière ligne, si c'est le sens de ta remarque... ?

  36. #30
    doryphore

    Talking Re : [Bac S+] Formule de Wallis

    Non, mais ça n'a pas fait de mal on dirait...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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