Citation Envoyé par bobbyfischer
4) l'inegalite voulut s'obtient tout simplement par iteration de l'inegalite obtenue a la question 3
5) par integration sur [k,k+1] on obtient aisement que
ln(k+1)-ln(k)<1/k
donc par sommation de 1 a n on obtient la majoration voulue car le membre de gauche est egal a ln(n)
Salut,
tu peux en effet faire comme cela, mais e e pense pas que c'est ce qui était attendu vu que tu utilises le fait que le membre de gauche est ln(n) alors qu'il fallait apparemment utiliser ce résultat dans la question suivante (6).
On peut aussi faire comme ça:


Cette relation se voit très bien graphiquement Le terme de gauche est l'aire du rectangle de longueur 1, de hauteur 1/k+1, le terme de droite est l'aire du rectangle de longueur 1 de hauteur 1/k. Ces deux rectangles encadrent l'intégrale de 1/t sur [k;k+1]. Seule l'inégalité de droite nous intéresse ici, et en faisant la somme pour k allant de 1 à (n-1), on a:

Ce qui donne evidemment: