[Physique] [L1] Masse reliée à un cylindre vertical

[benjy_star]

Voici un exercice que m'a suggéré 09Jul85. Je vais maintenant, essayer de le résoudre, avec son aide. Libre à tout le monde d'y participer.

Une masse m est reliée par l'intermédiaire d'une corde sans masse de longueur à un cylindre vertical de rayon R fixe.

A t=0, on lance la masse avec une vitesse orthoradiale (ie comme pour un mouvement circulaire). On suppose que la corde et la masse restent dans un plan horizontal.

a) Décrire le mouvement.

b) Quelle est la longueur de corde enroulée à l'instant t ?

[benjy_star]

a) Décrire le mouvement.

Alors là, ça commence bien ! Je pense qu'il faut se placer en coordonnées de Frénet.

Somme des forces = ma ==>je vois pas trop comment l'exploiter, tu dis qu'il tourne dans un plan horizontal, on considère que le poids n'influe pas ?

[Jeanpaul]

Je suppose qu'on néglige la pesanteur, sinon c'est coton.
Si tel est le cas, la bonne question est le choix de la variable qui donne la position de la masse M. Je crois que le plus simple est de considérer le point I où la corde touche le cylindre et de prendre ses coordonnées R cos(@) et R sin(@). On peut facilement calculer les coordonnées du point M connaissant la longueur IM = (L - R@) et la tangente en I, de coordonnées ( - sin(@), cos(@ )
En dérivant 2 fois et en écrivant que l'accélération (la force sur M, quoi) est parallèle à la tangente en I, on trouve une équation différentielle en @ du genre (L - R@) @" = R @'².
Il est normal qu'il n'y ait pas de sin ni de cos car le point de départ des @ est arbitraire.
Maintenant, n'y a plus qu'à intégrer.

[benjy_star]

crois que le plus simple est de considérer le point I où la corde touche le cylindre et de prendre ses coordonnées R cos(@) et R sin(@)

Tu veux traiter ça en coordonnée paramétriques ?

[Gwyddon]

Salut à tous,

Je n'avais pas vu (oraux des mines obligent) que benjamin avait posté ce message.

Tout d'abord, je vous suggère d'analyser le problème tel qu'il est posé. Vous vous êtes spontanément lancé dans une étude dynamique à l'aide des forces et du principe fondamental de la dynamique. Mais est-ce vraiment la bonne chose à faire ? Notamment, combien y-a t'il de paramètres caractéristiques du système étudié, a-t'on dissipation d'énergie quelque part ?

L'idée de JeanPaul est bonne concernant l'introduction de I point de contact. La suite de son raisonnement est presque bonne, mais l'équation à la fin n'est pas géniale... A exploiter, en tenant compte de mes remarques ci-dessus

Si jamais ça coince vraiment, je vous donnerai le début.

[Gwyddon]

a) Décrire le mouvement.

Alors là, ça commence bien ! Je pense qu'il faut se placer en coordonnées de Frénet.

Somme des forces = ma ==>je vois pas trop comment l'exploiter, tu dis qu'il tourne dans un plan horizontal, on considère que le poids n'influe pas ?

La question suggère juste un petit raisonnement qualitatif. Un petit dessin par exemple pourra parfaitement convenir

[benjy_star]

Bon, ben je dois vraiment être une catastrophe.

On introduit le point I qui fait contact avec le cylindre de rayon R.

Les coordonnées du point I sont donc :




Les coordonnées du point M sont... compliquées ! IM est tangent au cylindre logiquement ! Donc déjà, la longueur IM est :



Si je ne m'abuse et si mon shéma est correct :



Mais bon, à part ça, ça m'aide pas tant que ça...

[Gwyddon]

Bon, ben je dois vraiment être une catastrophe.

Il ne faut pas dire ça, ce n'est pas vrai. L'exercice n'est pas super simple, il faut bien voir ce qui se passe.

On introduit le point I qui fait contact avec le cylindre de rayon R.

Ça c'est une bonne idée.

Les coordonnées du point I sont donc :

Mais ! Pourquoi donc vouloir à tout prix se placer en cartésien ?

Les coordonnées du point M sont... compliquées ! IM est tangent au cylindre logiquement ! Donc déjà, la longueur IM est :

Super, là c'est parfait. Maintenant il te reste à trouver une autre équation, où apparaît (par exemple) d@/dt.

Je te donne un indice : raisonne sur l'énergie de la masse m.

[benjy_star]

Ça c'est une bonne idée.

Elle est pas de moi !

Mais ! Pourquoi donc vouloir à tout prix se placer en cartésien ?

heu... Coordonnées cylindriques ?

Super, là c'est parfait. Maintenant il te reste à trouver une autre équation, où apparaît (par exemple) d@/dt.

Heu d'accord je vais cherchez des pistes.

Je te donne un indice : raisonne sur l'énergie de la masse m.

Aors avec tout ça : J'ai pensé au théorème de l'énergie cinétique, mais je pense qu'il tombe à l'eau. L'énergie de la masse m est constante, mais bon, ça m'avance peu.

Je vais raisonner sur les accélération :




Là, je rentre dans une impasse je crois.



Pas mieux...

[Gwyddon]

Et pourquoi le théorème de l'énergie cinétique tomberait-il à l'eau ?

C'est bien d'y avoir pensé, c'est LA bonne idée

Je te laisse creuser de ce côté-ci...

[benjy_star]

Je te laisse creuser de ce côté-ci...

Monstre de cruauté !

Alors le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation d'énergie cinétique est égale à la somme de travaux de forces.

Partant de ça...

Travail des forces : on a la force centrifuge qui ne travaille pas.. Ah si ! Le mouvement du point M est une spirale, dont la force centrifuge n'est pas perpendiculaire au déplacement.

Mais je pense que le travail de la force centrifuge est l'opposé du travail de la force centripète (tension du fil), donc .

Ce qui voudrait dire que la vitesse est constante, mais ce n'est pas le cas. Grrrrr !! C'est un sacré exercice dis-moi !

[Gwyddon]

Et pourtant, et pourtant... La vitesse en module est bien constante, c'est la vitesse angulaire qui varie

Ton intuition ( contrairement aux équations que tu obtiens et qui sont bonnes) te fais penser que v varie, mais en fait ce n'est pas le cas. Mais comme on se rapproche du cylindre, c'est la vitesse angulaire qui va varier.

Maintenant, je te laisse finir, tu es presque arrivé (attention, à la fin il faut faire bien attention aux calculs, et notamment au sens à donner aux résultats)

Bonne soirée

[Jeanpaul]

L'équation (L - R @) @" = @'² est absolument simple à intégrer. On peut déjà remarquer que ce n'est rien d'autre que l'accélération centripète.
On pose L - R @ = u et on trouve : u.u" = - u'² donc :
u"/u' = - u'/u soit Log(u') = - Log(u) +A donc u' = B/u
Pas trop dur, non ?

[Gwyddon]

Ok. Mais j'attend toujours le résultat final

[benjy_star]

L'équation (L - R @) @" = @'² est absolument simple à intégrer.

Comment tu arrives là ?

Bon, étant bien aidé, je lance une proposition pour retomber sur la réponse de Jeanpaul :



avec :



==> C'est peut être un peut facile comme proposition ?

D'où :

Et on retombe sur l'équation Jeanpaul. Mais suis-je bien rigoureux ?